Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 37 из 49)

0

по переменным l l₂, ₃ и l₄ . Ее решением будут числа

l₂⁰ = 0.76217, l₃⁰ = 0.00721295, l₄⁰ = 0.947403.

Из равенства (9) находим

l₁⁰ = 0.947403.

Тогда

h

t l h l h l h l h t ,

1

ρ₀ = ∫ h⁰ ( )τ τ τ, h⁰ ( ) d = 0.999996

0

Оптимальное управление определяется по формуле (4). При этом

⁰ 1

I U⎡_⎣ ( )⋅ ⎤_⎦ =

_ρ0 =1.00000

На рис. 2 приведен график изменения величины

для

оптимального управления из примера 4

Рис. 2

Из него видно, что функционал (8) для этого управления принимает значение 1.01073 >1.00000 . Такой результат является естественным, поскольку оптимальное управление в примере 4 определялось для критерия «минимум энергии», а не «минимум силы». Обратно, из формулы (5) следует, что критерий «минимум энергии» на управлении U ⁰ (⋅) принимает значение 1.00000. Этот результат «хуже», чем величина 0.999712 , которая была получена на оптимальном в смысле критерия «минимум энергии» управлении в примере 4.

Для проверки проведенных вычислений, покажем, что полученное управление U ⁰ ( )⋅ переводит фазовый вектор из положения x₀ в положение x_T за время [0,1]. Действительно, проинтегрируем систему дифференциальных уравнений

x₁ = x₃,

x₂ = x₄ ,

x₃ = (cost x) ₃ +tx₄ +U₁⁰,

1 0

x₂ =

x₃ +(sint x) ₄ +U₂ t +1

с начальными условиями x₁₀ = x₂₀ = x₃₀ = x₄₀ = 0. В результате получим

⎛ 0.0000221525 ⎞

⎜ ⎟

x₀ ( )1 − xT = ⎜−0.0000337122⎟ ≈ 0.

⎜ −0.000318149 ⎟

^⎜⎜⎝ 0.000376441 ^⎟⎟_⎠

Упражнения для самостоятельной работы

Для линейных управляемых динамических систем

x₁ = −3x₁ + 4x₂ −6x₃ +u₁, x₁ = −2x₁ −4x₂ −60x₃ +u₁, x₂ = x₁ −2x₂ + 2x₃ +u₂, x₂ = −4x₁ − x₂ −51x₃ +u₂,

а) x₃ = 2x₁ − x₂ +3x₃ +u₃, б) x₃ = 2x₁ −2x₂ + x₃ +u₃, t₀ = 0,T =1, t₀ = 0,T =1,

x₁₀ = 0, x₂₀ = 0, x₃₀ = 0, x₁₀ = 0, x₂₀ = 0, x₃₀ = 0,

x₁ = 2x₁ + 4x₂ −16x₃ +u₁, x₁ = −3x₁ − x₂ −5x₃ +u₁, x₂ = 2x₁ − x₂ + 21x₃ +u₂, x₂ = x₁ − x₂ +u₂,

в) x₃ = −2x₁ −2x₂ + x₃ +u₃, г) x₃ = x₁ + x₂ + 2x₃ +u₃, t₀ = 0,T =1, t₀ = 0,T =1, x₁₀ = 0, x₂₀ = 0, x₃₀ = 0, x₁₀ = 0, x₂₀ = 0, x₃₀ = 0.

решить задачу оптимального управления по критерию «минимум энергии»

⎡ 1 3 ⎤

I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = ⎢∫∑u_i ( )τ d^τ⎥

⎣ 0 i=1 ⎦

и по критерию «минимум силы»

I ⎡⎣u( )⋅ ⎤⎦ = vrai d .

τ∈[t T₀, ^] ₀

В каждом случае сравнить оптимальную величину функционала с его значением на управлении, найденном из условия оптимальности другого критерия.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Пример 1.3.

Ввод правых частей дифференциальных уравнений

=

H

2 b v1 2 ∗ b ∗ c ∗ y4^2 ∗ Sin@y1 − y2D −

∗

∗ − y2

H y2D^2LDLê, H H @ @@ HD D @LDLêLLLL< D

H@ Sin y1 − y2 −

− y2 +

∗ − y2

2 a ∗ b − c^2 ∗ Cos y1 − y2 ^2 ;

Вычисление матрицы А

A = Transpose ∂_y1 Y1,Y2,Y3,Y4 ,

∂y2 @8 8 <

∂y3

∂y4 88 <<<D;

MatrixForm

8

v2 _{→ 0} @ Dê y1 → 0,y4 → 0,v1 → 0,

i

Вычисление{ матрицы В

B = Transpose ∂_v1,

∂_v2 ⁸Y1,Y2,Y3,Y4@8Dê

MatrixForm.

8

y1 → 0,y2 0,y3 → 0, v2 → ⁰

0− 0^<− y

00

abbc2 ⁻ abcc2 k{

−

Пример 1.4.

Построение матрицы X ( )t = (x^{( )1} ( )t ,x^{( )2} ( )t ,x^{( )3} ( )t ) и ввод матрицы A

X

t t

@;

0@ DD −@10D@∗ CosD @tD@@ DD −4 ∗ Cos@@tDD+@2D∗ Sin@ @DtDy{

1 4 1

A=1 1 1;

i2 −4 1{y

kПроверка того факта, что каждый столбец матрицы X является решением

дифференциального уравнения

X' t −A.X t

0_,0,D 0 @ DD

матрицы X (0)

Det X ⁰ −10@ @ DD

Пример 1.5.

Построение Фундаментальной матрицы Коши

2 ∗ Exp 3 ∗ t 7 ∗ Cos t + Sin t 3 ∗ Cos t − Sin t

Z@ t ^{D =}τk Exp@3@∗ tDD Cos@tD@⁻D2 ∗ Sin@ ^D@^@@DLt@^DDDDê ⁻@@SinLDD^D@tD ^@ @^D D^y{;