Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 38 из 49)

0 −10 ∗ Cos t −4 ∗ Cos t + 2 ∗ Sin t

X_ = Z t . Inverse Z t .t → τ

7Sin t − τ ,

− − τ + @− τ ,

H @ D ^,

1 H2 3t−3τ − 2Cos@t − τD − @− τ DL=,

2Sin@t − τDL,

101H 3 3t−3τ − 3Cos@ t − τD + Sin@ t − τDL ,

82Sin^H@t ^{− τ}D, −4Sin^@@t ^{− τD}D,Cos@@t ^{− τ}DDL=+ Sin@t ^{− τ}D<=.

Проверка равенства (1)

Simplify MatrixForm X s,s

^{1 0 0}@@ @ DDD k0 0 1y{

0 1 0

Проверка равенства (2)

Simplify MatrixForm Inverse X t,τ −X τ,t 0 0 0@ @ @ @ DD @ DDD

0 0 0

k

0 0 0y{

Проверка равенства (3)

1 4 1

A =1 1 1;Simplify MatrixForm ∂_t X t, τ − A.X t, τ

2 −4 1

i

0 0 0^ky{ {^y@ @ @ D @ DDD

0 0 0

0 0 0

k Проверка равенства (4)

Simplify MatrixForm ∂_τ X t,τ +X t,τ .A k 0 0 0^y{@ @ @ D @ D DD

0 0 0

0 0 0

Пример 1.7. Определение движения на промежутке [0,1)

u0 t_ = 1;Dv0 = DSolve x' t u0 t ,x 0 0 ,x t ,t ;

t @@ DD @ Dê @ @8 @ DD @ D @ D < @ D D x0 t_ = x t .Part Dv0,1,1

Определение движения на промежутке [1,^[2])

u1 t_ = t;Dv1 = DSolve x' t u1 t ,x 1 == x0 1 ,x t ,t ;

x1@@Ht_1+DDt= xL@tDê.Part@Dv1,1,1@8 @ DD @ D @ D @ D< @ D D

1 ₂

u2 t_ = −t;Dv2 = DSolve x' t u2 t ,x 2 == x1 2 ,x t ,t ;

x21@@Ht_9 −DD = xL@tDê.Part@Dv2,1,1@8 @DD @ D @ D @ D< @ D D

2 t2

Определение движения на промежутке [3,4]

u3 t_ = −1;Dv3 = DSolve x' t u3 t ,x 3 == x2 3 ,x t ,t ; x3@@t_DD = x@tDê.Part@Dv3,1,1@8 @DD @ D @ D @ D< @ D D

3 − t

Построение движения в целом на промежутке [0,4] x t_ := x0 t ;t ≥ 0 t < 1 x@t_DDDD@:@= x1D @@@@8tDêDêDêDê;t ≥<D1flflflt < 2

x@@@t_ := x2 t ;t ≥ 2 t < 3 x t_ := x3 t ;t ≥ 3

Plot x t , t,0,4

Пример 1.8.

Ввод программного управления

,u2@t_D<⁼8t,2∗t<

Решение задачи Коши

x1' t

998x2'@t@8tD→ 1@H@D<²==D D @ D 1,xL2@ D <, x1 t@ ,x2 t

x1 DDD 6 6 + 6t + 3t2 + 2t3 , x2@@t → 1 + t

Ввод фундаментальной матрицы Коши и начального положения фазового вектора

B;X t, τ_ = ^{1 t − τ} ; uu1N@@ττDD@N; D J0 1 N

u2

=

Формула Коши

t

X τ .B.u@τD τ 1 + t

99

Пример 1.9.

Ввод программного управления Sin

D i t u t_ = Cos

Sin t , Cos t , t

88 Ввод@ D<k фундаментальной8@ D@{ D< 8 << матрицы Коши и начального положения фазового

вектора Z

Xk t_,i τ_@D = yD @@ZD@tD.H@Inverse D@ D @Z@tDDê@.tD → τ@ DLD; @ D{y i;

1 0 0

B=0 1 0;

0 0 1

k

i1 {

1y x0 =1 ;

Формула{ Коши

t

X1@t_D = X@t,0D.x0 ⁺ ‡0 X@t, ^τD.B.u@^τD τ;

Проверка граничных условий на правом конце траектории

¹

NAHPart@Transpose@X1@1DD.X1@1D,1,1DL^

₂E

46.531

Вычисление функционала

49.7931

Пример 2.2.

Решение сопряженной системы дифференциальных уравнений

Sopr = DSolveψ1' t ψ2 t , ψ2' t −ψ1 t , ψ1 ψ2@ ;D @ D @ D @ D<

1t .Sopr, ψ2 t .Sopr Cos@^@t^DDê− C^@1^DSin^@t^D<<@ Dê <

системы дифференциальных уравнений с оптималь-

ными управлениями

Osn = DSolvet t ^ψ^21@^{+ ψ}tD2@tD^{^2} , x2'@ D @ D è @ D @ D ^@@t^DD^2 =,

t t ,t

x1 = t .Osn

tDêD>, <

::è@

:è @@DD + @@DD @ D @ D è @@DD2 + @@DD² − C@3DSin@tD>>

Решение нелинейной системы уравнений Относительно неизвестных

C C₁, ₂

= .

Fin 3,Ax20

∗ Ax1π, 88 ψ<2π8 −<4@8∗8Ax2<π 8, << ê<D <

C1 , C2 , C3 , C4 =

.Fin,C4 .Fin 88 < 8 <^,8 <^,8 <<

147

Подстановка найденных констант в общее решение объединенной системы дифференциальных уравнений

8

x10 t_ ,x20 t_ , ψ10 t_ , ψ20 t_ =

C 1 → C1,C 2 → C2,C 3 → C3,C 4 → C4

3x1.Cos@@@@t@tDDDD,x2D@ D @tD@,@ ψDD1@@@@DtDDD,@ψ2@@@D@tDDD<êD @.@D D<@ D@@DD@ <D<