−8 +0.845845tCos t +2.Sin t −0.533429tSin t ,
2.Cos t −0.533429tCos t +3.Sin t −0.845845tSin t ,
2.0562Cos t −1.29673Sin t ,−1.29673Cos t −2.0562Sin t
ParametricPlot x10 t ,x20 t , t,0, π ,
AxesLabel → 8"x@81","x@2D"<D @ D< 8 <Graphics
Исследование поведения решения сопряженной системы
Plot ψ10 t , ψ20 t , t,0, π ,
AxesLabel@8 @ →D8"t","@ D<ψ1,ψ28"<D <
Graphics
Вычисление оптимального значения функционала
3 ∗ x10 π ^2 + 2 ∗ x20 π ^2
0.56252@ D @ D
Проверка постоянства функции Понтрягина
Q@t_20D = ψ10@tD∗ik@x20D @tèD + è@ψD @ D + ψ@ D y{^2 y{ +ψ t ∗ik−8x10 t + ψ20 ;
t
Graphics
Вычисление значения функционала на произвольном управлении
Srav =
NDSolve
@y1D<DtAtDDD +8y2è@@tHDD<<@+ @DèD8=@8LDê@@DDψH10@t@@D+D<+D@0.1ψ20Dê8@tLD − 0.1<<EL^2 , t− @@ ψ10 t 0.1 ^2 ,
y1 0 == −3,y2 0 2 , y1 t ,y2 t , t,0, π ;
y1 t_ ,= y1 t .Srav,y2 t .Srav ;
388∗ y1@@πD^2 + 2 y2@ D^2
0.598124
Пример 2.3.
Интегрирование сопряженной системы с граничными условиями
Sopr = DSolve@@ |
, tD,
,
tD ψ1 t_ , t_ , ψ3@ D<<@ D<=
Re.Sopr , Re @ Dê D
@ @ Dê D<решения сопряженной системы
Plotψ1 t , t,0,1 , AxesLabel@ D →88"t","ψ<1"<Dψ1
Graphics
Plotψ2 t , t,0,1 , AxesLabel@ D →88"t","ψ<2"<Dψ2
Graphics
Plotψ3 t , t,0,1 , AxesLabel@ D →88"t","ψ<3"<D700ψ3
Graphics
Определение момента переключения управления
FindRoot ψ1 t 0, t,0.6,0.8 t → 0.741061@ @<D 8 <DИнтегрирование основной системой с полностью определенными оптимальными управлениями и с начальными условиями
Osn =
NDSolve@x2' t 10 x1 t x2 t 35 ∗ x3 tD −
1,
8x1t_ D−, 3.,x2@@0DD 2@,xD3@0D@==<DD1.<,
88x1 @ DDD<@@ DêDê
@ D D<, @@ DêD<< = D x1@,x2 t ,x3 t ;Re@@x1 t,
8Re@x3 t
Вычислениеоптимального значения функционала
x1 1 + 2 ∗ x2 1 − x3 1
−366.188@ D @ D @ D
Сравнение с неоптимальным управлением
Srav =
DSolve@tD −
1, y10@DD−3.,y2@@0D@DD<2@@,y@DD3D<<Dê@0D@==D1.D<,
t t ,t ; D , y3 t_ =
Re y1 @y2 t .Srav ,
y1
−365.348@ D @ D @ D
Проверка постоянства функции Понтрягина
PlotQHPlotRangeHH2t_210∗D∗x1∗=x1@@x1Q@t@D@tt +D D x2→8@ D8862,864∗ x3<@1,D∗ψ<3D@Lt D2@tD@t+DDL∗ψ1@tD+Graphics
Пример 2.5.
Построение фундаментальной матрицы Коши
Resh1 =
DSolve x11' t 2 ∗ x11 t + 9 ∗ x21'@8@DtD x11@@D@D<tD + D2 ∗ x21@ @Dt, t ,x21 t ,t ; x12't 2 ∗ x12 t + 9 ∗ x22 t ,@ Dt;
x22'@8t x12D@D<tD + 2 ∗Dêx22@@@DD<tD 8 @@DD<<@DDê <,
tx21 t ,
t .Resh2,x21 t .Resh1,
X =.t → 1 − τ
::
подынтегральногоD−1+τNêH−1+ 6H1−τLL>,: и61 внеинтегрального−1+τH−1+ 6H1−τLL, 12 −1выражений+τH1+ 6H1−τLL>> функцииипсилон
XT = Transpose X ;L = l1 ;
= − 4 ∗ @ D+ 9 ∗ l2^2Jl2N+ 50 ∗ l1 + 30 ∗ l2;
τ
=
Построениедвух ветвей функции ипсилон
Eps1 l1_; Eps2@@l1_DD = Dob2 − NIntegrate@ @ D 8 <<DD;
Решение задачи математического
u = −1;If Eps1 −1 < Eps2 −1 ,S = Eps2 −1 = u;