Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 43 из 49)

5

ϕ2x1,x2= x1 − x2 + 5;

@ ОпределениеD точек пересечения прямой и эллипса

Gran = NSolve ϕ1 x1,x2 0, ϕ2 x1,x2 0 , x1,x2

88x1 → −5.,x2@8→ 0.^@<, 8x1D→ −1.09756,x2@ ^→D 3.90244< ⁸ << <D

Решение совместной системы дифференциальных уравнений для оптимальных управлений

Sopr = DSolve ψ1' t ψ2 t , ψ2' t −ψ1 t , 8^ψ=¹@DSolve^@tt^{, ψ}−²@8^tx1x1'^D<@t^,t@@t+^DDD<<D^; x2@⁸@t^DD^@₊ψ^Dê2^èC@t@D@D@D^ψD^1C@^@t@=DDêD<@ ^D <

^ψ1C t_ , ψ2C t_ = ψ1 t .Sopr, ψ2 t .Sopr ;

⁸⁸Osn ^DD< A9^@8 ψ¹C t ^2 ^{+ ψ}2C t ^2 ,

x2'^{@ D @ D} ψ1C t ^2 + ψ2C t ^2 ,

88x1@t_@1@^@DD^DD<D,x2→ C1,C@8t_@@DD<@,@D2DψD<<1→E@C2,Ct_è8, ψ@32@@Dêt_D@D<D<ê= @ D @ Dê< < x1 t ,x2 t ,t ;

x1C8 t , x2C t = x1 t .Osn,x2 t .Osn ;

8 x1C t ,x2C t , ψ1C t , ψ2C t .

8C@DD@ D → C3,C 4 → C4

Случай 1

Построение фундаментальной матрицы Коши

Resh1 =

DSolve x11' t x21 t ,x21' t −x11 t ,

x11^@00^@8D 10,x,x@ 2122^D @00D @01<D,,8x11@@tDD,x21@tD<@ ,tD ^D;

^{Resh2 =}

DSolve x12' t x22 t ,x22' t −x12 t ,

x12^@@@8 @ D D8@@Dê<D@8D<^x12@8@^tDD,x22@ D<<@@DêtD<@ ,tD D; ⁸⁸88X8@t_,^@@τt_^DêDê^D<− τDD₌DJ8,Sinx21x11^@@@@<tttD<^@DD− τx12x22D<,@@tt8DD−SinNê.t@t − τ→ tD^{− τ} @ D<< x11 t , x12 t , x21 t , x22 t ⁼

x11 t .Resh1,x12 t .Resh2,x21 t .Resh1, x22 t .Resh2 ;

Cos ,Cos t − τ

Вычисление@ внеинтегрального слагаемого

X0 = x10 ;L = l1 ;U = u1 ; 88Transposel1x10Jx20N@X@π,0^JD<<^l2.X0^ND.L J^u2N

− − l2x20

Вычисление подынтегрального слагаемого

Collect Part Transpose X π, τ .U .L,1,1 , u1,u2

u2 −l2Cos@= @HτD−D@l2Cos+ l1Sin@τ@D@τEDL<@DL@+ u1H@D−DLl1CosD @τD −Dl2Sin8 @τDL<D a1,a2H < è@8 + l1Sin τ ,

−l1Cos τ − l2Sin τ ;

SimplifyH A a1^2 + a2^2

"

l12+l22

Вычисление максимина

Aw = Array aw,200 ;Bw Array ;

F x_,l1_@= −l1 ∗ xD+ ^èè1 ^{∗ 4} ∗ è25D − x^2;

@ D = −l1 ∗ x − 1 − l1^2 ^∗ ₅ ∗ 25 − x^2;

= −1 +

= −5;S = F x,l1

DoA @@If@@F@x,l1@ DD> F@x@+ δ ∗ i,l1^@@D,SD <<^DEE@ @ i,l1DD,DD

= j,0,200

Do F1 x,l1 ;

Do i,l1 ,S = F1 x + δ ∗ i,l1 ,

j,0,200 ;

Max

3.52737

Случай 3

Prim =

NSolve C1 µ2,C2 == −µ2,x10 − x20 + 5 0,C3 == x10,

C4 ^==A9x20,iè−C1 π ∗6 ^{∗ i}kèC1^2^{π ∗ C1}y{= ^y{,

−C2 4 ∗C1^2 +C2C2^2 + C4,

µ2,x10,x20 ;

C1 , C2 ,C3 , C4 , µ2 , x10 , x20 = .Prim,C4ê <<8ê.Prim,<<

^.Prim ê значения функционала

3 ∗ x1π ^2 + 2 ∗ x2 π ^2

0.372455@ D @ D

Оптимальная траектория

ParametricPlot@8x1@tD,x2@tD<,8t,0,1<D

Graphics

Случай 4

Clear C1,C2,C3,C4, µ2,x10,x20

Первое@ решение D

Gran,1,2

− µ2, D<

C3 x1,C4 x2, C1 6C3,

C1^2 C2^2

88 ==A9 ∗ == π ∗ è− +∗ iky{è= 8π ∗+C1 +y{ µ µ <E

C2

−C2 4C4, C1,C2,C3,C4, 1, 2

è

C1^2 + C2^2

→ k→ →− →

→−× −7 µ →− ×

C3 x1,C4 x2, C1 6C3,

C1^2 C2^2

88 →→==A9 ∗ k ==µπ ∗→−→−è− +∗ ik{yµè= →−→8π ∗+C1 + {y µ µ <E

C2

−C2 4C4, C1,C2,C3,C4, 1, 2

C1^2 + C2^2

C1 1.09307,C2 3.58865,C3 1.09756,

C4 3.90244, 1 3.04339, 2 0.545264 <<

Пример 2.10

Множество S₀

Plot3D 3 ∗ 1 +

¹ ∗ x1 − ¹ x2 , x1, −9,0 ,

8x2,0,6A <J,AxesLabel9 →6 8"xN1","x8 2","x3<"<E

SurfaceGraphics

Интегрирование сопряженной системы

Sopr =

NDSolve ^@D @ D @ D @^tD^,

∗ ψ ∗ ψ ,

1.D ,

;

888

^@ D< 8 @ ^ψ2D<@^tDê⁸ @88@88@ 0D<<.,^ψ1.^@<<<<<<Dê^.SoprD@D@D@ D<D<<D<<