Доказательство. Необходимость теоремы вытекает непосредственно из определения 1 и следствия из леммы 1. Достаточность в части линейной зависимости системы решений x(1)(⋅),",x(s)(⋅) доказана в лемме 1. Наконец, если набор векторов x(1)(t0),",x(s)(t0) является линейно независимым при некотором значении t
R , то для системы решений x(1)(⋅),",x(s)(⋅)равенство∑s αi x( )i ( )t0 = 0
i=1
невозможно ни при каких ненулевых наборах констант α1,",αs ∈ R1 . Это означает, что система решений x(1)(⋅),",x(s)(⋅) не является линейно зависимой, и поэтому она линейно независима. Теорема доказана.
Определение 2. Линейно независимая система решений
x(1)(⋅),",x(n)(⋅) (3)
дифференциального уравнения (1), где n - размерность вектора x, называется фундаментальной системой решений дифференциального уравнения (1). Теорема 2. Для уравнения (1) существует фундаментальная система решений, и любое решение этого уравнения может быть представлено как линейная комбинация решений, составляющих фундаментальную систему. Доказательство. Пусть набор векторов
e1,",en ∈ Rn
образует базис в Rn . Определим систему решений (3) условиями
x(i)(t0)= =e ii, 1,",n .
По теореме 1 из линейной независимости векторов x(1)(t0),",x(n)(t0) вытекает линейная независимость системы решений (3). Таким образом, существование фундаментальной системы решений для уравнения (1) установлено.
Покажем, что каждое решение x()⋅ уравнения (1) можно представить в виде
x( )t =∑n αi x( )i ( )t , t ∈ R1 .
i=1
Набор векторов x(1)(t0),",x(n)(t0) является базисом в Rn . Тогда для любого решения x(⋅) уравнения (1) найдется набор констант α1,",αn ∈ R1 такой, что
n x( )t0 =∑αi x( )i ( )t0 .
i=1
Решения x()⋅ и ∑n αi x( )i ()⋅ имеют общее начальное условие и потому совпадают.
i=1
Теорема доказана.
Пример 4*. Рассмотрим однородную линейную систему дифференциальных уравнений третьего порядка
x1 = + +x1 4x2 x3,
x2 = + +x1 x2 x3, (4) x3 = 2x1 −4x2 + x3.
Приведем векторно-матричную форму записи этой системы
⎜⎝⎛⎜⎜⎜xx123⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜112 −144 111⎠⎝⎞⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxx123⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
⎜⎜x ⎠
⎜⎜
Покажем, что следующая система решений этого уравнения
⎜⎛2e ⎞
x( )1 ( )t =⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ e033tt ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x( )2 ( )t =⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝7coscos−10t−t +cos2sinsint tt⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x( )3 ( )t =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−43coscos−tsint−+sint2sint t⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, t ∈ R1
⎜
образует фундаментальную систему решений.
Сначала непосредственно проверяем, что каждый член системы
2e3t D t( )= e3t 0 | 7cost +sint cost−2sint −10cost | 3cost−sint −sint . −4cost +2sint |
Вычислим его значение при t = 0. Имеем
2 7 3D( )0 =1 1 0= −10 ≠ 0.
0 −10 −4
Таким образом, D( )0 ≠ 0 и набор векторов x(1)(0), x(2)(0), x(3)(0) является линейно независимым. Тогда по теореме 1 система решений x(1)(⋅),x(2)(⋅),x(3)(⋅) уравнений
(2) является фундаментальной системой решений.
1.3. Фундаментальная матрица Коши. Пусть
x( )1 ()⋅ =⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛x1n( )( )"11 ((⋅⋅))⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,",x( )n ()⋅ =⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx1n( )( )"nn ((⋅⋅))⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎝⎜⎜⎜x
фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения (2.1). Для всех t ∈ R1 построим квадратную матрицу Z(t) следующего вида
Z t( )=⎛⎜⎜⎜⎜⎜x1( )"1 (t) | " " | x1( )n (t)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. " |
⎜
⎝⎜⎜⎜xn( )1 (t) " xn( )n (t)⎠⎟⎟⎟
Из теоремы 1 следует, что матрица Z(t) является невырожденной при всех t ∈ R1 и, следовательно, для всех t ∈ R1 существует обратная матрица
⎛ζ1( )1 ( )t ⎜ Z −1 ( )t = ⎜ ⎜⎜ζn( )1 ( )t ⎝ Полагаем | ζ1( )n ( )t ⎞ ⎟ ⎟. ζn( )n ( )t ⎟⎟⎠ |
X [t,τ]= Z t Z( ) ( )τ = −1 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝xx1n( )( )11"[[tt,,ττ]] | " x1n( )( )nn [[tt,,ττ]]⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, t,τ ∈ R1 . " " " x |
Определение 3. Матрица X [t,τ] , t,τ ∈ R1 называется фундаментальной матрицей Коши для однородного дифференциального уравнения (2.1).
Установим ряд свойств фундаментальной матрицы Коши.
Теорема 3. Для всех t, ,τ s∈ R1 имеют место равенства
⎛⎜⎜⎜" " "1 " 0 ⎞⎟
X s s[ , ]= =E ⎜⎝⎜⎜⎜⎜ 0 " 1 ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, . (1)
(X [t,τ])−1 = X [τ, ,t] (2)
d
X [t,τ]= A t X t( ) [ ,τ], (3)
dt
d
dτ X t[ ,τ]=−X t[ ,τ] ( )A τ . (4)
Доказательство. Равенство (1) является простым следствием определения 3. Докажем равенство (2). Имеем
(X [t,τ])−1 =(Z t( ) Z−1 ( )τ )−1 =(Z−1 ( )τ )−1 Z−1 ( )τ = Z( )τ Z−1 ( )t = X [τ,t] .
Для вывода равенства (3) замечаем, что
n xi( )j [t,τ]=
xi( )s ( )t ζs( )j ( )τ , ,i j =1,",n.s=1
Тогда
⎜⎜⎛x( )[t,τ]⎞
x( )j [t,τ]=⎜⎜⎜⎜ 1n( )jj"[t,τ]⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
s=n1 ζ j τ ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxi( )"ss ( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.⎜⎜⎜x
⎝
Таким образом, столбцы матрицы X[t,τ], t,τ∈[t0 ,T] являются линейными комбинациями столбцов матрицы Z(t) и поэтому представляют собой решения уравнения (2.1). Последнее означает, что
d x( )i [t,τ]= A t x( ) ( )i [t,τ] , i =1,",n ⇒ d X t[ ,τ]= A t X t( ) [ ,τ]. (5) dt dtДля вывода равенства (4) продифференцируем по переменной τ очевидное тождество X[t,τ] [X τ,t]= E . Имеем