Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 6 из 49)

^⎛⎜

^dX[t,τ]^⎞_⎟X[τ,t]+ X[t,τ]

^dX[τ,t]= 0 .

⎝dτ ⎠ dτ

Перепишем последнее равенство с учетом (5):

^⎛⎜

^dX[t,τ^]^⎞⎟ X[τ,t]= −X[t,τ]A( )τ X[τ,t]. (6)

⎝ dτ ⎠

Умножим равенство (6) на матрицу X ⁻¹[τ,t] справа. В результате получим искомое равенство (4) Теорема доказана.

Равенству (4) в доказанной теореме можно дать следующую трактовку: d X t[ ,τ]=−X t[ ,τ] ( ) d −1[τ,t]=−X −1[τ,t A] ( )τ ⇒

A τ ⇒ X dτ dτ

d { −1[τ,t]}Tр =−ATр( )τ {X −1[τ,t]}Tр .

dτ

Таким образом, матрица {_X⁻¹[t,τ]}^T является фундаментальной матрицей Коши для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

dψ Tр

= −A ( )t ψ. (7)

В дальнейшем систему (7) будем называть сопряженной системой дифференциальных уравнений по отношению к системе (2.1).

Укажем один способ построения фундаментальной матрицы Коши для случая, когда известна фундаментальная система решений _x⁽¹⁾( )⋅ , ,_x⁽ⁿ⁾(⋅) дифференциального уравнения (2.1), не связанный с вычислением обратной матрицы для матрицы

Z ( )⋅ = (_x^{( )}¹( )⋅ , ,_x^{( )}ⁿ( )⋅ ).

Для каждого номера i∈{1, ,n} составим систему линейных алгебраических уравнений

c x1 1(1) (τ)+ +c xn 1(n) (τ) = 0,

…………………………..

c x1 i(1) (τ)+ +c xn i(n) (τ) =1,

………………………….

c x1 n(1) (τ)+ +c xn n(n) (τ) = 0,

τ∈[t₀,T] (8)

относительно переменных c₁, ,c_n. Эта система имеет решение при всех τ∈[t₀,T], т. к. ее определитель отличен от нуля при всех τ∈[t₀,T]. Пусть c_k⁽ⁱ⁾( )τ , k i, =1, , ,n τ∈[t₀,T] – решение системы (8). Положим

⎛c1( )i ( )τ x1( )1 ( )t + +cn( )i ( )τ x1( )n ( )t ⎞

( )i ⎜ ⎟ x [t,τ] = ⎜ ................................ ⎟ , t,τ∈[t T₀, ] , i =1, ,n .

⎜⎜⎝c

x t c x t ⎟⎟⎠

Вектор x^{( )}ⁱ[t,τ] представляет собой i -й, i =1, ,n , столбец фундаментальной матрицы Коши.

В случае, когда матрица A постоянна в алгоритме построения фундаментальной матрицы Коши система алгебраических уравнений (8) заменяется на следующую систему:

c x1 1(1) (0)+ +c xn 1(n) (0) = 0,

…………………………..

c x1 i(1) (0)+ +c xn i(n) (0) =1,

………………………….

c x1 n(1) (0)+ +c xn n(n) (0) = 0.

Пусть c_k⁽ⁱ⁾, ,i k =1, ,n – ее решение. Столбцы фундаментальной матрицы Коши строятся по формуле

⎛c x1( )i 1

( ) t c xi 1n t ⎞

⎜⎟

( )i

x [t,τ] = ⎜ ................................ ⎟ , t,τ∈[t T₀, ] , i =1, ,n. (9) ⎜⎜⎝c x1( )i 1

( ) t c xi 1n t ⎟⎟⎠

Пример 5*. Требуется построить фундаментальную матрицу Коши для однородного дифференциального уравнения из примера 4 и проверить для нее выполнение равенств (1)-(4).

Выше было показано, что система решений

⎜⎛2e ⎞

x( )1 ( )t =⎜⎜⎜⎜ e33tt ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x( )2 ( )t =⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝7coscos−10t−t +cos2sinsint tt⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x( )3 ( )t =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−43coscos−tsint−+sint2sint t⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, t ∈ R1

⎜⎜⎜⎝ 0 ⎠⎟⎟

этого уравнения является фундаментальной. Построим фундаментальную матрицу Коши непосредственно следуя ее определению. Имеем

X t[ ,τ]=⎛⎜⎜2e33tt 7cost +sint 3cost−sint ⎞ ⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⋅⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜2ee033ττ 7coscos−τ10τ−cos+2sinsinτ ττ −34coscos−ττsin−+τsin2sinττ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟−1 = ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜ e0 cos−10t−cos2sint t −4cos−sint +t2sint⎠ ⎝⎟⎟⎟⎟

⎛⎜⎜⎜ 54 e3(t−τ) + 15 cos(t−τ)− 52 e3(t−τ) − 52 cos(t−τ)+ 53 e3(t−τ) − 53 cos(t−τ)− ⎟⎟⎟⎟⎞⎟

⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟

⎜_⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜ 2^sin(^t−τ) ⎜

−4sin(t−τ)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟⎟⎟ cos(t−τ)+sin(t−τ)

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−52 e153(sint−τ)(−t−52 τcos) (t−τ)− +15 e523 sint−τ (+t−54 cosτ) (t−τ)+ 103 e₁₀¹3^sint−τ (−^t103 τcos⁾(t−τ)+⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟^⎟⎟. (10)

Осуществим построение фундаментальной матрицы Коши, не прибегая к обращению матрицы Z ( )⋅ . Для этого последовательно решаем три системы линейных алгебраических уравнений

2c11−+ + =+107c^c222 −34c^c33==10., ⎜⎝⎜⎛⎜⎜⎜cc132( )(111)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎜⎜⎛⎜⎝⎜⎜⎜⎜−152 52⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, 2cc11−+ + =+107ccc222 −34cc33 ==010,, ⇒ ⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜ccc132( )(( )222)⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎜⎛⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜−15542⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. c c 0, ⇒ ⎜⎜

⎜⎜c( )⎠⎟⎟

2c11−+ + =107cc222 34cc33 01, ⎜⎛⎜⎜c132( )(333)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜−10123103 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. c + c = 0, ⇒ ⎜⎜⎜⎜c

− = ⎜⎝⎜c( )⎠

По формуле (9) определяем столбцы фундаментальной матрицы Коши

( )1 ^⎛⎜2e3³t⁽−^tτ⁻^τ)^⎞⎟ 2 ⎛⎜7cos(t −τ)+sin(t −τ)⎞⎟ ⎜⎛ 3cos(t −τ)−sin(t −τ) ⎟⎞

2 ( )

x [t,τ] =

⋅⎜ e ⎟−

(t −τ)⋅⎜cos(t −τ)− 2sin(t −τ)⎟+⎜ −sin(t −τ) ⎟ =

5 ⎜⎜ 0 ⎟^⎟5 ⎜⎝ −10cos ⎟⎠ ⎜⎝−4cos(t −τ)+ 2sin(t −τ)⎟⎠

⎝ ⎠

⎛ 54 e3(t−τ) + 15 cos(t −τ)− 75 sin(t −τ)⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ₅²e³⁽^t⁻^τ)− ₅²cos(t −τ)− ¹₅sin(t −τ)⎟,

⎜ ⎟ ⎜ 2sin(t −τ) ⎟

⎝ ⎠

( )2 ⎜^⎛2e3³t⁽−^tτ⁻^τ)⎟^⎞4 ⎜⎛7cos(t −τ)+sin(t −τ)⎟⎞ ⎛⎜ 3cos(t −τ)−sin(t −τ) ⎟⎞

1 ( )

x [t,τ] =

⋅⎜ e ⎟+

⋅⎜cos(t −τ)−2sin(t −τ)⎟− 2⋅⎜ −sin(t −τ) ⎟ =

5 ⎜⎜ 0 ^⎟⎟ 5 ⎜⎝ −10cos(t −τ) ⎠⎟ ⎜⎝−4cos(t −τ)+ 2sin(t −τ)⎟⎠

⎝ ⎠

⎛ 52 e3(t−τ) − 52 cos(t −τ)+ 145 sin(t −τ)⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ¹₅e³⁽^t⁻^τ)+ ₅⁴cos(t −τ)+ ₅²sin(t −τ) ⎟,