Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 7 из 49)

⎜ ⎟ ⎜ −4sin(t −τ) ⎟

⎝ ⎠

( )3 ^⎛⎜2e3³t⁽−^tτ^{−τ) ⎞}⎟ 3 ⎛⎜7cos(t −τ)+sin(t −τ)⎟⎞ 1 ⎛⎜ 3cos(t −τ)−sin(t −τ) ⎞⎟

3 ( )

x [t,τ] = ⋅⎜ e ⎟−⎟ ⋅⎜⎝cos(t −τ)−2sin(t −τ)⎟+ 2 ⋅⎜⎜−4cos(−t −sinτ)(+t −2τsin) (t −τ)⎟⎠⎟ =

10 ⎜ ⎟ 10 ⎜ −10cos(t −τ) ⎠⎟ ⎝

⎜ 0

⎝ ⎠

⎛ 53 e3(t−τ) − 53 cos(t −τ)− 54 sin(t −τ) ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ 103 e3(t−τ) − 103 cos(t −τ)+ 101 sin(t −τ)⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ cos(t −τ)+sin(t −τ) ⎟

⎝ ⎠

Получили совпадение с формулой (10). Непосредственно убеждаемся, что равенства (1)-(4) выполняются (см. приложение).

В случае A= const дадим другую интерпретацию для фундаментальной матрицы Коши.

Определение 4. Квадратная матрица e^tA , определенная степенным рядом

etA = + + + + + +E 1!A t A2!2 t2 A3!3 t3 " Akk! tk " , (11)

где E - единичная матрица размера n×n , называется экспоненциалом матрицы A.

Покажем, что ряд (11) сходится абсолютно для любого фиксированного t ∈ R¹ . Действительно, с одной стороны,

Akk! tk ≤ Ak!k t k , k = 0,1,2,",

а с другой стороны, степенной ряд

1+ + + + + +1!A t A2!2 t2 A3!3 t3 " Ak!k tk "

сходится абсолютно при всех t ∈ R¹ .

Из абсолютной сходимости ряда (11) следует, что его можно почленно дифференцировать. Вычисляем

d

tA d A A2 2 A3 3 Ak k A2 A3 2 Ak k

e = (E + + + + + + = + + + + + =1! t _2! t _3! t " k_! t ") A _1! t _2! t " k_! t "

dt dt

= + + + + +A(E 1!A t A2!2 t2 A3!3 t3 " (kA−k−1 !1) tk−1 + =") AeAt . (12)

Из (12) вытекает справедливость матричного равенства

d tA At

e = Ae , dt

которое означает, что столбцы экспоненциала матрицы A являются решениями однородного дифференциального уравнения

x = Ax. (13)

В силу очевидного равенства e^Att0 = E эти столбцы образуют фундаменталь-

₌

ную систему решений дифференциального уравнения (13). Таким образом,

X [t,τ]= e(t−τ)A, t,τ ∈ R1 .

1.4. Допустимые реализации вектора управляющих параметров.

Пусть управление динамическим объектом осуществляется на промежутке времени [t T₀, ]. Начальную точку траектории x₀ называют левым концом траектории, а конечную x_T – правым концом траектории. Начальный t₀ и конечный

T моменты времени в общем случае не являются фиксированными. Предполагается, что t₀ ∈θ0 ⊂ R¹, T

R t t . На левый и правый концы траектории обычно накладываются ограничение в форме включений

x₀ ∈S₀ ( )t₀ ⊂ Rⁿ, t₀ ∈θ₀, x_T ∈S T₁( ) ⊂ Rⁿ, T ∈θ₁ .

В задачах теории оптимального управления принята следующая терминология: если множество S₀ (множество S₁ ) состоит из одной точки и не зависит от t₀ ∈θ₀ (T ∈θ₁ ), то говорят, что левый (правый) конец траектории закреплен; если S₀ (t₀ ) = Rⁿ , t₀ ∈θ₀ , (S₁ (T) = Rⁿ ,T ∈θ₁ ), то левый (правый) конец траектории называют свободным.

Реализация вектора управляющих параметров не является произвольной функцией времени. Эта функция должна быть достаточно «гладкой» и в любой момент времени удовлетворять геометрическим ограничениям

u t( )∈ P⊂ R^r, t ∈[t T₀, ].

Оба приведенных требования обусловливаются техническими возможностями механизмов, осуществляющих управляющие воздействия на объект.

С другой стороны, слишком «бедное» множество возможных реализаций вектора управляющих воздействий может не обеспечить достижение поставленной цели управления. В частности, таковым является класс непрерывных на отрезке времени [t T₀, ] функций. Покажем это на примере.

Пример 6. Рассмотрим поезд, движущийся от станции A к станции B в соответствии с уравнениями

x1 = x₂, x2 =u ,

где x₁ - расстояние от станции A до поезда; u - тяга поезда, которой можно управлять. На величину тяги наложено ограничение u ≤1. Требуется так выбрать управление, чтобы поезд преодолел путь между станциями за наименьшее время. При этом скорость в начальный и конечный моменты времени должна быть нулевой.

x1

Рис. 4

Нетрудно сообразить, что время перехода будет минимальным, когда поезд до половины пути разгоняется с максимальным ускорением u t( )=+1, а вторую половину максимально затормаживается, т.е. u t( )=−1. Таким образом, реализация оптимального управления в данном случае имеет вид

₀ 1, , , u t

1, , ,

Функция u⁰ (t), t ∈[t T₀, ] терпит разрыв в точке

T .

Из опыта решения прикладных задач следует, что реализации вектора управляющих воздействий принадлежат классу C⁰ [t T₀, ] – кусочно-непрерывных функций, то есть таких функций u:[t₀ ,T]→ R ^r , которые непрерывны в каждой точке t∈[t₀ ,T], за исключением, быть может, конечного числа точек τ₁, ,τ_m ∈[t₀ ,T], в которых функция u()⋅ терпит разрывы первого рода. В этих точках существуют конечные пределы

t→limτi −0 u(t) = u(τ_i − 0), t→limτi +0 u(t) = u(τ_i + 0),

но u(τ_i − 0)≠ u(τ_i + 0),i =1, ,m. В теории оптимального управления принимается, что в точках разрыва реализации вектора управляющих воздействий непрерывны справа. Таким образом,

t→limτi +0 u(t) = u(τ_i ),i =1, ,m .

Определение 5. Реализация u()⋅ вектора управляющих воздействий называется допустимой, если u()⋅ ∈C t T⁰ [ 0, ], функция u()⋅ непрерывна справа в точках разрыва и выполнено условие u t( )∈ P⊂ R^r, t ∈[t T₀, ].

Определение 6. Движением линейного динамического объекта, отвечающим допустимой реализации вектора управляющих воздействий u()⋅ и выходящим из начального положения x₀ ∈ S₀ (t₀), называется решение следующей задачи Коши для векторного дифференциального уравнения

x = A t x( ) +B t u t( ) ( )+C t( ), x t( 0)= x₀ . (1)

Это движение будем обозначать символом x(⋅, ,t₀ x u₀, ()^⋅ ).

Кусочно-непрерывная реализация вектора управляющих воздействий не гарантирует непрерывность по переменной t правой части дифференциального уравнения (1), поэтому условия классической теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения здесь не выполняются. В связи с этим предлагается следующая процедура построения движения динамического объекта, отвечающего реализации вектора управляющих воздействий u( )⋅ ∈C⁰ [t T₀, ] и выходящего из начального положения x₀ ∈ S₀ ( )t₀ . Пусть τ₁, ,τ_m ∈[t₀ ,T] - точки разрыва функции u(⋅). Движение объекта на полуинтервале [t₀ ,τ₁ ) отождествим с решением задачи Коши

x = A t x( ) +B t u t( ) ( )+C t( ), x t( )₀ = x₀, t ∈[t₀,τ1).

В силу непрерывности управления u(⋅) на полуинтервале [t₀ ,τ₁ ) сформулированная задача Коши имеет решение и притом единственное. Доопределим фазовый вектор в момент времени τ₁ по непрерывности, положив

x₁ = x(τ₁ )= lim x(t) .