Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 8 из 49)
t→τ1−0
Движение объекта на полуинтервале [τ1,τ2 ) отождествим с решением задачи Коши x = =x A t x( ) +B t u t( ) ( )+C t( ) , x(τ1) = x1, t ∈[τ τ1, 2 ),
которое также существует и единственно. Фазовый вектор в момент времени τ2 снова доопределим по непрерывности
x2 = x( )τ2 = lim x(t).
t →τ2 −0
Аналогичные построения производятся на каждом полуинтервале времени[τi−1,τi ),i =1, ,m .
В результате получим искомое движение динамиче-
x2 ского объекта (см. рис 5). В Рис. 5 книге [7] приводится теорема существования и единственности такого движения. Заметим, что для любого момента времени t∈[t0 ,T] имеет место равенство
τ τ τ x( )t = +x0 ∫ A( ) ( )τ x τ τd +∫ B( ) ( )τ u τ τd +∫ C( )τ τd . (2)
t0 t0 t0
Равенство (2) может служить и непосредственным определением движения x(⋅, ,t0 x u0, ()⋅ ). Таким образом, движение объекта принадлежит классу D t T0 [ 0, ]- классу кусочно-дифференцируемых на промежутке [t T0, ] функций и удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) во всех точках промежутка [t T0, ] за исключением тех, где реализация вектора управляющих воздействий терпит разрыв. Пример 7*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
x =u x, ∈ R1, u∈ R1, [t T0, ]=[0,4 ,] x0 = 0.
Пусть реализация управляющего воздействия имеет вид
⎧ 1, t∈[0,1),
⎪⎪ t, t∈[1,2),
u(t) = ⎨
⎪− t, t∈[2,3), ⎪⎩−1, t∈[3,4].
Построим движение, отвечающее данной реализации управляющего воздействия и выходящее из начального положения x0 = 0. Полагаем
τ0 = 0,τ1 =1,τ2 = 2,τ3 = 3 и проводим необходимые построения на каждом полуинтервале [τi ,τi+1 ),i = 0,1,2,3. Последовательно определяем
i = 0, x0 = 0, x(t) = t, t∈[0,1),
i
, i = 2, x2 =
, x 
, i = 3, x3 = 0, x(t) = 3−t, t ∈[3,4].
Рис 6.
Итоговая конструкция изображена на рис. 6.
1.5. Формула Коши. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект, динамика которого описывается дифференциальным уравнением (1.2).
Пусть t s, ∈ R1 ,x∗ ∈ Rn, u(⋅ ∈) C0 ⎡⎢⎣R1⎥⎦⎤ . Для движения x( )⋅ = x(⋅, ,s x u∗, (⋅)) этого объекта справедливо следующее утверждение.
Теорема 4 (Формула Коши). Для всех t∈R1 , в которых реализация вектора управляющих воздействий u( )⋅ непрерывна, имеет место равенство
t t
x( )t = X t s x[ , ] ∗ +∫ X t[ ,τ] ( ) ( )B τ u τ τd +∫ X t[ ,τ] ( )C τ τd , t ∈ R1. (1)
s s
Доказательство. Требуется доказать следующие два равенства:
x(s) = x∗ ,
d 1
dt x( )t = A t x t( ) ( )+B t u t( ) ( )+C t( ), t ∈ R . Первое из них следует непосредственно из теоремы 3 (равенство (3.1)), а второе доказывается путем дифференцирования по аргументу t правой части равенства (1). Действительно,
d d d t d t
dt x t( )= dt X t s x[ , ] ∗ + dt ∫s X t[ ,τ] ( ) ( )B τ u τ τd + dt ∫s X t[ ,τ] C( )τ τd =t
= A( )t X t s x[ , ] ∗ + X t t B t u t[ , ] ( ) ( )+∫ A t X t( ) [ ,τ] ( ) ( )B τ u τ τd + X t t[ , ] C t( )+
s
t
+∫ A t X t( ) [ ,τ] C( )τ τd =
s
⎡
= A( )t ⎢⎢⎢⎣X t s x[ , ] ∗ +∫st X t[ ,τ τ] ( ) ( )B u τ τd +∫st X t[ ,τ] C( )τ τd ⎤⎥⎥⎦⎥ +B t u t( ) ( )+ =W t( )
= A t x t( ) ( )+B t u t( ) ( )+C t( ), t ∈ R1 .
Теорема доказана.
Для однородной системы дифференциальных уравнений (т.е., если B t( ) ≡ 0, C t( ) ≡ 0) формула Коши принимает вид
x( )t = X t s x[ , ] ∗, t ∈ R1.
Тогда решение ψ(⋅) сопряженной системы дифференциальных уравнений (3.7), удовлетворяющее условию ψ(s) =ψ∗ , можно записать в виде
ψ( )t ={X −1 [t s, ]}Tψ∗, t ∈R1 . (2)
Пример 8*. Рассмотрим линейную управляемую систему
x1 = x2 +u1, x2 = u2, t∈R1 (3)
с начальными условиями
x1(0)=1, x2(0)=1. (4)
В качестве реализации вектора управляющих воздействий выберем вектор-
функцию u R: 1 → R2 , определенную формулой
⎛u t1 ( )⎞ ⎛ ⎞t 1 u t( )=⎜ ⎟=⎜ ⎟ , t∈R .
⎝u2 ( )t ⎠ ⎝ ⎠2t
Нетрудно видеть, что после подстановки этой функции в (1) и интегрирования полученной системы дифференциальных уравнений с начальными условиями (4) получим
x
. (5)Покажем, что движение x(⋅), определенное формулой Коши (1), совпадает с выражением (5). Действительно, для данного примера имеем
C t( ) = 0, B t( ) = ⎛⎜⎜⎝⎜10 10⎞⎠⎟⎟⎟⎟ , X t[ ,τ]=⎛⎝⎜⎜⎜10 t −1τ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ , t,τ ∈ R1 .
Подставляя последние выражения в формулу (1), получим
⎛ x1 ( )t ⎞ ⎛1 t⎞⎛1⎞ t ⎛1 t −τ⎞⎛1 0⎞⎛ τ ⎞
⎜⎜x2 ( )t ⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝0 1⎟⎠⎟⎜⎝⎜1⎟⎠⎟ + ∫0 ⎝⎜⎜0 1 ⎟⎠⎟⎜⎜⎝0 1⎟⎠⎟⎜⎜⎝2τ⎟⎟⎠dτ= ⎝
⎛1+ t⎞ t ⎛1 t −τ⎞ ⎛ τ ⎞ ⎛1+ t⎞ t ⎛τ+ 2tτ− 2τ2 ⎞
=⎜⎜⎝ 1 ⎟⎠⎟ + ∫0 ⎝⎜⎜0 1 ⎟⎟⎠ ⎜⎝⎜2τ⎟⎠⎟dτ= ⎜⎝⎜ 1 ⎠⎟⎟ + ∫0 ⎜⎜⎝ 2τ ⎟⎠⎟ dτ=
⎛ 1 2 3 2 3 ⎞ ⎛1 3 1 2 ⎞
= ⎜⎛1+t⎟⎞+⎜⎜⎜⎝ 2t +tt2 − 3t ⎟⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎜⎝ 3t +t22 +t 1+ +t 1⎟⎟⎟⎠, t∈R1 . ⎝ 1 ⎠
Искомое совпадение установлено.
1.6. Критерии качества управления динамическими объектами. Цель управления динамическим объектом состоит в оптимизации некоторого критерия качества, который формализуется в виде функционала, определенного на множестве реализаций вектора управляющих параметров и отвечающих им движений объекта. Обычно функционал представляет собой следующее выражение:
T
∫ f0(τ,x( ) ( )τ ,u τ )dτ+ Φ(t0,x0,T,x( ))T , (1)
t0
где f0 : Rn+r+1 → R1, Φ : R2(n+1) → R1 - заданные функции, непрерывные по совокупности своих аргументов. Первое слагаемое в (1) называется интегральным, а второе – терминальным.
Определение 7. Функционал (1) называется функционалом Больца. В частности, если f0 ≡ 0, то функционал (1) называют функционалом Майера, а если Φ≡ 0 , то - функционалом Лагранжа.
Задача управления, в которой критерий качества имеет вид функционала Лагранжа с подынтегральной функцией f0 ≡1, называется задачей на предельное быстродействие.
Пусть задан критерий (1). Уточним схему, в соответствии с которой, можно оценить качество управления динамическим объектом в случае, когда известно дифференциальное уравнение движения объекта (1.2), промежуток времени процесса управления [t T0, ], начальное положение объекта x0 ∈ S0 ( )t0 и реализация вектора управляющих параметров
u(⋅ ∈) D t T0 [ 0, ], u t( )∈ P⊂ Rr, t ∈[t T0, ].
Сначала определяется движение x(⋅)= x(⋅, ,t0 x u0, (⋅)) динамического объекта, отвечающее реализации вектора управляющих воздействий u(⋅ ∈) D t T0 [ 0, ], u t( )∈ P, t ∈[t T0, ] и выходящее из начального положения x0 ∈ S0 ( )t0 . Оно находится в результате решения задачи Коши (4.1), например, с помощью формулы Коши (5.1). В конечный момент времени T это движение должно удовлетворять граничному условию x(T)∈ S T1( ). В противном случае оценивать качество управления динамическим объектом не имеет смысла. Далее для пары (u() ()⋅ ,x ⋅ ) вычисляется значение функционала (1). Полученное число и является количественной оценкой качества управления динамическим объектом.