Пример 1. Вычислить интеграл

.
Решение. Для подынтегральной функции

произвольная первообразная имеет вид

. Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:

. Тогда

.
Пример 2. Вычислить интеграл

.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция

непрерывна на отрезке

. Тогда, если: 1) функция

и ее производная

непрерывны при

; 2) множеством значений функции

при

является отрезок

; 3)

,

, то справедлива формула

, (3)
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования

и

(для этого надо решить относительно переменной t уравнения

и

)).
На практике часто вместо подстановки

используют подстановку

. В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается:

,

.
Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле

. Определим

и

. Возведя в квадрат обе части равенства

, получим

, откуда

. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу

подставим старые пределы

и

. Получим:

, откуда

и, следовательно,

;

, откуда

и, следовательно,

. Таким образом:

.
Пример 4. Вычислить интеграл

.
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим

, откуда

,

. Найдем новые пределы интегрирования: если

, то

; если

, то

. Значит,

. Следовательно:

.
Пример 5. Вычислить интеграл

.
Решение. Положим

, тогда

, откуда

. Находим новые пределы интегрирования:

;

. Имеем:

. Следовательно:

.
6. Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть функции

и

имеют непрерывные производные на отрезке

. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)
Доказательство
Так как

, то функция

является первообразной для функции

. Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

,
откуда

.
Пример 6. Вычислить

.
Решение. Положим

, отсюда

. По формуле (4) находим

.
Пример 7. Вычислить

.
Решение. Пусть

, тогда

. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.
Пример 8. Вычислить

.