Определенный интеграл (стр. 3 из 5)
Решение. Полагая
, определяем 
. Следовательно: 
[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: 
; следовательно: 
] = 
= 
.Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
1. Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция
неотрицательна и непрерывна на отрезке 
. Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью 
, слева и справа – прямыми 
и 
(см. рис. 2) вычисляется по формуле 
. (5)Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией
и осью .Решение. Графиком функции
является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой 
). Для этого решаем систему уравнений 
Получаем:
, откуда 
, 
; следовательно, 
, 
.
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
(кв. ед.).Если функция
неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и 
, вычисляется по формуле 
. (6)В случае если функция
непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
. (7) 
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью
и графиком функции 
при 
. 
Рис. 5
Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей
и 
. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим 
, 
. Следовательно: 
; 
.Таким образом, площадь
заштрихованной фигуры равна 
(кв. ед.). 
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке
функций 
и 
, а слева и справа – прямыми
и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле 
. (8)Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
и 
.Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений
находим 
, 
; следовательно, 
, 
. На отрезке 
имеем: 
. Значит, в формуле (8) в качестве 
возьмем x , а в качестве 
– 
. Получим: 
(кв. ед.).Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, 
, 
.Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью
, слева и справа – прямыми 
и 
, сверху – графиками функций и 
. Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой 
на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий 
и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):