Определенный интеграл (стр. 4 из 5)

(кв. ед.);

(кв. ед.). Следовательно:

(кв. ед.).

Рис. 8

Рис. 9

В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми

, осью

и непрерывной на

кривой

(рис. 9), то ее площадь находится по формуле

2. Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке

функции

, осью

, прямыми

, вращается вокруг оси

(рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

. (9)

Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси

криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой

, прямыми

и осью

Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).

Из условия задачи следует, что

. По формуле (9) получаем

Рис. 10

Рис. 11

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке

функции

(рис. 12), определяется по формуле

. (10)

Рис. 12

Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х² = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования:

. По формуле (10) получаем:

Рис. 13

3. Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая

, заданная уравнением

, где

, лежит в плоскости

(рис. 14).

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги

понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция

и ее производная

непрерывны на отрезке

, то длина дуги кривой

вычисляется по формуле

. (11)

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой

, заключенной между точками, для которых

Решение. Из условия задачи имеем

. По формуле (11) получаем:

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

При введении понятия определённого интеграла

предполагалось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и

являются конечными;

б) подынтегральная функция

ограничена на отрезке

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция

определена и непрерывна на промежутке

, тогда

(12)

называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).

Если

существует и конечен, то несобственный интеграл

называется сходящимся; если данный предел не существует или равен

, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл

от неотрицательной функции

выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

, снизу – осью

, слева – отрезком прямой

и неограниченной справа (рис. 15).

Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.

Рис. 15

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:

. (13)

Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.