Определенный интеграл (стр. 5 из 5)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:

, (14)

где с – любая точка интервала

. Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).

Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а)

; б) ; в) ; г) .

Решение. а)

, следовательно, данный интеграл расходится;

б)

. Так как при предел не существует, то интеграл расходится;

в)

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно ;

г)

= [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = [замена:

] =

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно

.

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция

непрерывна на конечном промежутке , но не ограничена на этом промежутке.

Определение. Несобственным интегралом

от функции у= f ( x ) на промежутке называется предел , т.е.

. (15)

Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции

непрерывной, но не ограниченной на промежутке :

. (16)

Если функция

не ограничена при , где , и непрерывна при и , то несобственный интеграл от функции у= f ( x ) на отрезке обозначается и определяется равенством

. (17)

Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.

Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а)

; б) .

Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция

не определена в точке , при эта функция неограниченно возрастает).

По определению имеем

[замена: ] = , следовательно, данный интеграл сходится.

б) по определению

.

Значит, данный интеграл является расходящимся.

Литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I . – М.: Наука, 1982. – 616 с.

2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.