Определенный интеграл (стр. 1 из 5)

Определенный интеграл

Содержание

Лекция 1. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Основные свойства определенного интеграла

4. Формула Ньютона–Лейбница

5. Замена переменной в определенном интеграле

6. Интегрирование по частям

Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы

1. Площадь криволинейной трапеции

2. Объем тела вращения

3. Длина дуги плоской кривой

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Литература

Лекция 1. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция

определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1) разобьем отрезок

точками на n частичных отрезков ;

2) в каждом из частичных отрезков

, выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

3) найдем произведения

, где – длина частичного отрезка , ;

4) составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке[а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма

представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5) найдем предел интегральной суммы, когда

.

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка

на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом,

.

В этом случае функция

называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция

непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке

задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = aи x = b(рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл

от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.

3. Основные свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Если

, то, по определению, полагаем

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6. Если функция

интегрируема на и , то

.

7. ( теорема о среднем). Если функция

непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

4. Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция

непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность

принято записывать следующим образом:

,

где символ

называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную

для подынтегральной функции ; на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .