Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана (стр. 2 из 4)
Рівняння (2.6) називається канонічною формою рівнянь гіпер-болічного типу. Покажемо, що характеристиками рівняння (2.6) будуть прямі, паралельні координатним осям, тобто x = const, h = const.
Для (2.6) рівнянням характеристичних змінних буде
dxdh = 0.
Звідки будемо мати
x = const, h = const.
§3. Формула Остроградського-Гаусса.
Нехай P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – три функциї змінних x, y, z, які задані у області D’ и мають в ній неперервні похідні першого порядку по x, по y та по z.
Розглянемо у D’ деяку замкнену поверхню S, яка складається з скінченного числа кусків з неперервно змінюючеюся на них дотичною площиною.
Таку поверхню називають кусочно-гладкою. Ми будемо, крім того, вважати, що прямі, паралельні координатним осям, зустрічають її або у скінченному числі точок, або мають загальним цілий відрізок.
Розглянемо інтеграл
, (3.1)де через cos(nx), cos(ny), cos(nz) обозначені косінуси кутов, які складені внутрішньою нормаллю до поверхні S з осями координат, а dS – додатній елемент поверхні. користуючись векторними позначеннями, ми можемо вважати P, Q, R компонентами деякого вектора, який позначимо літерою Т. Тоді
P cos(nx) + Q cos(ny) + Rcos(nz) = Tn,
де Tn – проєкція вектора Т на напрям внутрішньої нормалі.
Класична теорема з інтегрального счислення дозволяє перейти від поверхневого інтегралу (3.1) до об’ємного, расповсюдженого на область D, обмежену гладкою поверхнею S (яка задовольняє всім обмеженням, які було наведено вище). Ми будемо мати:
або у векторних позначеннях
(3.2)где dv означає диференціал об’єму, а
.Приведена нами формула справедлива у більш загальних припущеннях відносно S. Зокрема, формула (3.2) має місце для будь-якій кусочно – гладкої поверхні S, яка обмежує деяку область D.
§4. Існування та єдиність розв’язку
задачі Гурса.
Розглянемо найпростішу задачу з даними на характеристиках
(4.1)Додаткові умови даються на прямих x = 0 та t = 0, які, як було доведено вище, є характеристиками рівняння (4.1). Будемо вважати, що функції j(x) та y(t) диференцюємі та задовольняють умові спряжіння j(0) = y(0). Інтегруючи послідовно по x та по t рівняння (4.1), отримуємо:
або
(4.2)Таким чином, для найпростішого рівняння, яке не містить перших похідних
та шукаємої функції, розв’язок представляється у явному аналітичному вигляді (4.2). З формули (4.2) безпосередньо слідує єдиність та існування розв’язку поставленої задачі.Перейдемо до розв’язку лінійного рівняння гіперболічного типу
(4.3)при додаткових умовах на характеристиках x = 0, t = 0
u(x, 0) = j(x),
u(0, t) = y(t), (4.4)
де j(x) та y(t) задовільнюють вимогам диференцюємості та спряження. Коефіцієнти a, b та c будемо вважати неперервними функціями x та t.
Формула (4.3) показує, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційному рівнянню
(4.5)Для доведення існування та єдиності розв’язку рівняння (4.5) скористаємось методом послідовних наближень. Виберемо в якості нульового наближення функцію
u(x, t) = 0.
Тоді (4.5) дає для послідовних наближень слідуючі вирази:
(4.6)Зауважимо, що
(4.7)Доведемо рівномірну збіжність послідовностей
{un(x, t)},
, 
.Для цього розглянемо різниці
Нехай М – верхня межа абсолютних величин коефіцієнтів a(x, t),
b(x, t), c(x, t) та H – верхня межа абсолютних величин z0 = u1(x, t) та її похідних
|z0| < H,
при зміні x та t всередині деякого квадрату (0 £ x £ L, 0 £ t £ L). Побудуємо мажорантні оцінки для функцій
Очевидно, що 
Припустимо, що мають місце рекурентні оцінки
де К > 0 – деяке стале число, значення якого наведемо нижче. Користуючись ціми оцінками та формулою для (n+1)-го наближення після деяких спрощінь, які посилюють нерівність, маємо:
де
K = L + 2.
В правих частинах цих нерівностей з точністю до множників пропорційності стоять загальні члени розкладання функції е2KLM. Ці оцінки показують, що послідовності функцій
збігаються рівномірно до граничних функцій, котрі ми зазначимо
Переходячи до границі під знаком інтегралу у формулах (4.6) та (4.7), будемо мати:
Звідси випливають рівності
,які дозволяють встановити, що функція u(x, t) задовільнює інтегро-диференційному рівнянню
(4.5)а також диференційному рівнянню (4.3), що перевіряється безпосереднім диференціюванням рівняння (4.5) по x та по t. Функція
задовільнює також додатковим умовам.Доведемо тепер єдиність розв’язку задачі (4.3)-(4.4). Припустимо існування двох розв’язків u1(x, t) та u2(x, t). Отримуємо для їх різниці
U(x, t) = u1(x, t) – u2(x, t)
однорідне інтегро-диференційне рівняння
Позначаючи далі через H1 верхню межу абсолютних величин
, 
, 
для 0 £ x £ L, 0 £ t £ L та повторюючи оцінки, які було проведено для функцій zn(x, t), переконуємось у справедливості нерівності
для будь-якого значення n. Звідси і випливає
U(x, t) º 0 або u1(x, t) º u2(x, t),
що і доводить єдиність розв’язку задачі Гурса.
§5. Спряжені диференційні оператори.
Розглянемо лінійний диференційний оператор 2-го порядку
,де Aij, Bi и C є двічі диференцюємими функціями x1,x2,…,xn.