Контрольная работа по Математике 3 (стр. 1 из 2)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Контрольная работа

по дисциплине: «Математика»

Вариант 1

Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5

Проверил:___________________________

Тюмень 2007 год

Содержание

«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного

переменного……………………………………………………………………2

«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6

«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11

«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»

1. Вычислить предел:

.

Решение.

При

имеем

Следовательно,

.

2. Найти асимптоты функции:

.

Решение.

Очевидно, что функция не определена при

.

Отсюда получаем, что

Следовательно,

– вертикальная асимптота.

Теперь найдем наклонные асимптоты.

.

Следовательно,

– горизонтальная асимптота при .

3. Определить глобальные экстремумы:

при

.

Решение.

Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим

.

А затем находим критические точки.

.

Теперь найдем значение функции на концах отрезка.

.

Сравнивая значения, получаем:

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции:

.

Решение.

Сначала находим

.

.

Затем находим критические точки.

.

x		0		1		3
	+	0	+	0	–	0	+
	возрастает	нет экстр.	возрастает	max	убывает	min	возрастает

Отсюда следует, что функция возрастает при

, убывает при .

Точка

– локальный максимум.

Точка

– локальный минимум.

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

.

Решение.

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.

.

.

.

x		2
	–	0	+
	выпуклая	перегиб	вогнутая

Отсюда следует, что функция

выпуклая при

,

вогнутая при

.

Точка

– точка перегиба.

«Дифференциальное исчисление функций и его приложение»

1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

.

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Поскольку

, функция не является четной или нечетной.

3) Точки пересечения с осями:

а) с оx:

б) с oy

.

4) Асимптоты.

а)

.

Следовательно,

– вертикальная асимптота.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда получаем, что

– наклонная асимптота при .

5) Критические точки

К тому же

не существует при .

6)

К тому же

не существует при

x		0		2		4
	+	0	–	Не сущ.	–	0	+
	–	–	–	Не сущ.	+	+	+
y	возрастает выпуклая	max	убывает выпуклая	не сущ.	убывает вогнутая	min	возрастает вогнутая

Эскиз графика функции