Разность между этими двумя числами — ошибка календаря, которая накапливается за один календарный период. Разделив это число на n, получим среднегодовую ошибку календарной системы (пятый столбец последней таблицы):
Δ = [365(n – m) + 366m – 365,2422n]/n =
[365(n – m) + 366m]/n – 365,2422 = (m/n) – 0,2422.
Следовательно, целые сутки накопятся за (1/|Δ|) лет.
Например, для юлианского календаря: (m/n)=1/4=0,25.
Поэтому Δ = 0,25 – 0,2422 = 0,0078(сут/год). Сутки накапливаются за 1: 0,0078=128 лет.
При этом отметим, что такие большие значения, как 50.000 лет, 100.000 лет, до некоторой степени условны. Они вычислены в предположении, что продолжительность тропического года неизменна и равна в точности 365,2422 средних солнечных суток.
Но это не так. Продолжительность тропического года медленно меняется хотя бы потому, что вращение Земли постепенно тормозится из-за приливов, и, кроме того, орбита Земли меняется вследствие планетных возмущений.
Да и кому нужны здесь точные цифры? Например, ошибка, равная одним суткам, в новоюлианском календаре накапливается или за 43.500 лет, или за 50.000 лет, — не всё ли равно?! Пусть тот, кому нужна точность, доживёт и проверит!
9. О правилах високосных годов
Представим себе, что в григорианском календаре, сначала пройдут подряд все 97 високосных лет, а потом 303 простых года. Такой календарь будет, как мы знаем, давать ошибку на протяжении календарного периода одни сутки за Δ=3280 лет.
Но жить с таким календарём не лучше, чем с древнеегипетским! В самом деле, за 97 лет должно быть примерно 24 високосных года. Поэтому окажется 97–24=73 високосных года лишних, откуда следует, что ошибка такого календаря будет достигать δ=73 суток, — более двух месяцев.
Такую ошибку все заметят!
После чего ошибка постепенно уменьшится почти до нуля, потому что все оставшиеся 303 года будут простыми.
Этот пример показывает, что
— нужно различать среднегодовую ошибку (Δ) и текущую ошибку календаря (δ).
— важно сформулировать хорошие правила високосных годов, т.е. такие правила, которые удачно распределяют високосные годы внутри календарного периода.
Выведем формулу, которая позволит проводить диагностику правил високосных годов, — какие правила лучше, а какие хуже.
Допустим, что прошло t лет (t ≤ n), из которых, согласно правилу високосных годов, было b високосных и t-b простых. Тогда текущая ошибка календаря будет равна:
δ = |366b + 365(t - b) – 365,2422t| =
= |b – 0,2422t|.
Пример.
Правило високосных годов юлианского календаря:
Если порядковый номер года делится без остатка на 4, то год високосный, если нет, — то простой.
Рассмотрим текущую ошибку юлианского календаря, начиная с 2011 года:
| t | № года | Какой год | b | δ |
| 1 | 2011 | простой | 0 | 0,2422 |
| 2 | 2012 | високосный | 1 | 0,5156 |
| 3 | 2013 | простой | 1 | 0,2734 |
| 4 | 2014 | простой | 1 | 0,0312 |
Таблица для 2012 года:
| t | № года | Какой год | b | δ |
| 1 | 2012 | високосный | 1 | 0,7578 |
| 2 | 2013 | простой | 1 | 0,5156 |
| 3 | 2014 | простой | 1 | 0,2734 |
| 4 | 2015 | простой | 1 | 0,0312 |
Ещё две таблицы для 2013 и 2014 года не приводятся, так как они не содержат текущую ошибку больше, чем 0,7578.
Отсюда понятно, максимальная текущая ошибка юлианского календаря составляет 0,7578 средних солнечных суток.
Точно также, перебрав всевозможные варианты, можно найти максимальную текущую ошибку для любой календарной системы с любым конкретным правилом високосных годов. Именно максимальная текущая ошибка является показателем качества правила високосных годов.
Однако на практике, оказывается, всё очень просто. — Високосные годы следует распределять в календарном периоде как можно более равномерно. Тогда ошибка не превысит 1,5 — 2 суток. Такую ошибку никто не заметит, кроме нескольких астрономов, но им — всё равно.
10. Взаимосвязь систем солнечных календарей.
Оказывается, что все солнечные календари, за исключением древнеегипетского и республиканского, являются производными от двух календарей, — юлианского и календаря Омара Хайяма.
Теперь пара слов на языке математики, а потом то же самое скажу простым человеческим языком.
Любую календарную систему с високосными годами можно изобразить матрицей–столбцом, где верхнее число, — количество високосных лет (m), среднее число — количество простых лет (n – m), нижнее число — календарный период (n).
Пусть МЮ и МОХ — матрицы, характеризующие юлианский календарь и календарь Омара Хайяма соответственно. Тогда матрица М любого солнечного календаря с високосными годами может быть представлена как линейная комбинация:
М = α МЮ + β МОХ ,
здесь α и β — некоторые целые числа.
| Название календаря | Длительность календарного периода в годах, n | Число простых лет в периоде, n – m | Число високосных лет в периоде, m | α | β |
| Древнеегипетский | 4 | 4 | 0 | — | — |
| Юлианский | 4 | 3 | 1 | 1 | 0 |
| 29-летний | 29 | 22 | 7 | – 1 | 1 |
| Григорианский | 400 | 303 | 97 | 1 | 12 |
| Омара Хайяма | 33 | 25 | 8 | 0 | 1 |
| Новоюлианский | 900 | 682 | 218 | – 6 | 28 |
| Иоганна Медлера | 128 | 97 | 31 | – 1 | 4 |
| 545-летний | 545 | 413 | 132 | – 4 | 17 |
На простом человеческом языке это означает, что если α, взятое из таблицы, умножить на 1, т.е. число високосных лет в юлианском календаре, а β, взятое из той же строки таблицы, умножить на 8, число високосных лет в календаре Омара Хайяма, то получим число високосных лет в соответствующем календаре. Аналогично для простых лет, а также для календарных периодов.
Например, для григорианского календаря, α=1, β=12:
Число високосных лет: 1х1+12х8=97;
Число простых лет: 1х3+12х25=303
Календарный период в годах: 1х4+12х33=400.
Это значит, что григорианский календарь составлен из 12 календарных периодов календаря Омара Хайяма, к которым добавлен один период юлианского календаря.
Ещё пример, для календаря Иоганна Медлера, α=–1, β=4:
Число високосных лет: (–1)х1+4х8=31;
Число простых лет: (–1)х3+4х25=97;
Календарный период в годах: (–1)х4+4х33=128.
Это значит, что календарь Иоганна Медлера составлен из четырёх календарных периодов календаря Омара Хайяма, а затем из них исключён один период юлианского календаря.
Впрочем, и без этого календарь Иоганна Медлера возникает очень естественно: в юлианском календаре ошибка в одни сутки набегает в течение 128 лет, и за это же время должно быть 128:4=32 високосных года. В календаре Иоганна Медлера только 31 високосный год, т.е. календарь Медлера получается в результате очевидного исправления юлианского календаря.
11. Три типа солнечных календарей.
Первый тип, когда ошибка не исправляется. Таков древнеегипетский календарь, где календарный год содержит 365 средних солнечных суток. Поэтому ошибка, возникающая вследствие того, что тропический год не укладывается в целое число средних солнечных суток, никак не исправляется.
Второй тип, когда ошибка исправляется нерегулярно, по мере необходимости. Таков республиканский календарь или, иначе, календарь французской революции (конец XVIII века — начало XIX века). В этом календаре ошибка совсем не накапливается, потому что компенсируется по мере необходимости, исходя из астрономических вычислений. Год в этом календаре начинался в полночь того дня, на который по среднему солнечному парижскому времени приходился момент осеннего равноденствия.
Високосные годы вследствие этого наступают то через четыре, то через пять лет. А точнее, семь раз подряд високосные годы повторяются через четыре года, а восьмой високосный год наступает через пять лет. Иначе говоря, в 33-летнем периоде високосными годами являются 4-й, 8-й, 12-й, 16-й, 20-й, 24-й, 28-й, и, наконец, 33-й.
Точно также високосные годы чередуются в календаре Омара Хайяма, при условии, что високосные годы расположены внутри 33-х летнего периода оптимальным образом. И это совсем неудивительно, — календарь Омара Хайяма является самым точным из простейших календарей.
Третий тип, промежуточный, когда ошибка исправляется введением високосных лет. Арифметическая теория таких календарей нами уже полностью рассмотрена. Оказалось, что все календари третьего типа являются производными от двух календарных систем, — юлианского календаря и календаря Омара Хайяма.
Всё!
Больше ничего в теории солнечных календарей от астрономии нет. Всё остальное в солнечных календарях — никак не детерминировано той или иной астрономической реальностью; некоторые особенности календарей, может быть, и были когда-то, в далёком прошлом, связаны с астрономическими явлениями, но теперь такая связь утрачена.