Формула Герона

Герон Александрийский

Герон Александрийский жил во второй половине первого века нашей эры. О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов, на основании которых Герона вполне заслуженно считают величайшим инженером. Он изобрел автоматические двери, которые производили огромное впечатление на людей, приходивших в храмы, первый торговый автомат, наливавший за монетку определенное количество святой воды, механических певчих птиц, автоматический театр, самострельный арбалет, паровую турбину и многое другое.

К сожалению, в средние века многие его изобретения оказались никому не нужными.

Формула Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по длинам его сторон, в действительности была открыта Архимедом. Однако это не умаляет того, что сделал этот человек.

О Героне сняты мультфильмы. Один из них советский, 1979 года, “Герон’’, другой — 13-я серия из французского мультсериала, посвященная Герону, “Жили-были первооткрыватели. Герон Александрийский’’. Если честно, мультфильмы я вообще не очень люблю, а вот документальный фильм о Героне, “Древние открытия: удивительные машины. Герон’’, посмотрела с большим удовольствием. Вы можете его тоже посмотреть вот здесь: http://www.cinemaplayer.ru/29479-_drevnie_otkryitiya_udivitelnyie_mashinyi___Ancient_Discoveries_Surprising_Machines.html

А теперь рассмотрим формулу Герона. Приведу самое простое ее доказательство, основанное на теореме Пифагора, доступное восьмикласснику.

Теорема. Площадь треугольника, длины сторон которого равны

, находится по формуле

где

— полупериметр треугольника.

Доказательство. Рассмотрим треугольник

. Пусть

— высота треугольника

, проведенная из вершины

. Тогда

, и по теореме Пифагора из треугольников

соответственно имеем:

откуда

Вспоминая, что

, получаем

Сложим последнее равенство с равенством

, получим

или

Теперь найдем высоту

треугольника:

Поскольку

то

Подставляем эти выражения в найденное выражение для

Учитывая то, что

, получаем требуемое.