J. Diedonné
(ПереводА. С. Дынина)
С год назад я довольно легко принял приглашение сделать этот доклад (на конференции, посвящённой Ван Флек Холлу в Висконсинском университете), но ближе к сроку я начал осознавать подстерегавшие меня ловушки и свою опрометчивость. Если я затрону так много вопросов, для всякого моего утверждения среди слушателей обязательно найдётся такой, который разбирается в данном предмете гораздо лучше меня, и поэтому с полным правом возразит против моих поверхностных замечаний. Но я опасался, что окажусь мишенью ещё более жестокой критики за тот выбор, который мне пришлось сделать: совершенно очевидно, что в таком кратком обзоре какой-то выбор необходим, так что пришлось решать, что? важно и что? нет. Но поскольку здесь нет объективных критериев, я по необходимости решил просто последовать своим вкусам. Я старался, однако, не уподобиться тем из моих коллег, которые так увлечены красотой своего крохотного уголка в какой-нибудь крайне специализированной области, как будто это единственно важная вещь в целом свете. Чтобы уравновесить опасность субъективности, я принял во внимание высказывания, которые слышал от некоторых из лучших математиков нашего времени. Каюсь, это не слишком демократично, но боюсь, что я не очень верю в демократию, особенно в науке. Чтобы уяснить положение вещей, я выбрал в качестве отличительных признаков сегодняшней математики решения некоторых выдающихся проблем, завещанных прежними поколениями математиков. Я охотно допускаю, что есть некоторые основания для утверждения, что можно проявить больше изобретательности при распутывании, скажем, структуры какой-нибудь причудливой неассоциативной алгебры, чем при решении пятой проблемы Гильберта или опровержении гипотезы Бернсайда, но я не слишком восприимчив к такого рода аргументам и здесь во многом следую К. Л. Зигелю или А. Вейлю.
Математика развивается, по существу, двумя различными путями. Математики, которых я мог бы назвать тактиками, штурмуют задачу, используя только старое испытанное оружие и попросту полагаясь на свою способность по-новому скомбинировать традиционные рассуждения и таким образом добиться решения, ускользавшего при прежних попытках. Напротив, стратеги никогда не удовлетворяются, пока понятия, охватываемые проблемой, не будут столь тщательно проанализированы, а их связи так ясно освещены, что окончательное решение представится почти тривиальным. Конечно, это может потребовать длительного и утомительного развития на первый взгляд посторонних очень общих теорий, которые иные считают несоразмерными с первоначальной задачей.
Я уверен всё же, что оба подхода существенны для процветания математики. Чрезмерная установка на индивидуальную силу без соответствующего обновления методов и перспективы вполне способна довести до бесплодности вследствие интенсивной концентрации на незаслуженно возвеличенных мелких аспектах теории. С другой стороны, последовательный любитель общности тоже зачастую теряет из виду правильные мотивировки и предаётся бесконечному выдуванию всё более пустых теорий. У лучших математиков обе эти тенденции счастливо сливаются в гармонически уравновешенное и плодотворное сочетание, чему Гильберт, возможно, лучший пример. Поэтому должно быть совершенно ясно, что, придерживаясь (несколько вольно) указанной классификации, я не собираюсь ни в коей мере превозносить один тип результатов над другим.
В качестве последнего предварительного вопроса мне надо было решить, что? подразумевать под «современным» развитием. Я думаю, что должным образом очертить задний план можно, вернувшись примерно к окончанию Второй мировой войны. Будущие историки могут поразмыслить над тем любопытным фактом, что конец обеих мировых войн сопровождался замечательным взрывом научного творчества, и искать социологические или психологические объяснения этому явлению, но я думаю, что никто не станет сомневаться в его реальности. Одна из моих целей — как раз показать, что, хотя многое из математических исследований после 1945 г. явилось естественным продолжением предшествующей работы, всё же значительная их часть заключается в выявлении радикально новых отправных точек, которые, по моему мнению, возвещают новую эру в математике.
Обратимся прежде всего к новым результатам, которые могли быть получены 30 или 50 лет назад. Среди наиболее замечательных — окончательный вариант Рота аппроксимационной. теоремы Туэ–Зигеля из теории чисел и великолепные работы Дж. Томпсона о конечных группах, особенно его доказательство (совместное с Фейтом) старой гипотезы Бернсайда, что все конечные простые некоммутативные группы имеют чётный порядок. Я имею в виду, что многое из доказательства этой теоремы могли найти Фробениус или Шур в начале девятисотых годов. Вероятно также (если судить по предварительным сообщениям), что пример, которым Новиков опровергает другую знаменитую гипотезу Бернсайда о конечно порождённых группах, не требует никакой более современной техники. Наконец, я мог бы отнести к той же категории многое из сенсационного оживления, происходящего в алгебраической топологии и возродившего отчасти её первоначальную геометричность, но всё это трудно отделить от других её достижений совершенно иной природы, и я предпочитаю отложить обсуждение до более позднего раздела доклада.
После этих волнующих примеров воздействия свежего воображения на старые проблемы выступает несколько иная и гораздо более обширная категория результатов, которые я рискну назвать закономерными плодами громадной работы, проделанной в течение периода, непосредственно предшествующего рассматриваемому нами, работы, предназначенной привести математику в соответствие с современным стандартом и выковать эффективное оружие для новых поколений. Мне бы не хотелось, однако, быть заподозренным в утверждении, что для успешного применения этого оружия не потребовалось больших усилий, и примеры, которые я сейчас укажу, сразу же опровергнут эту нелепость. Однако для меня очевидно, что эти прекрасные результаты скорее всего не только не были бы получены, но даже подчас и сформулированы без фундаментальных концепций современной алгебры, топологии и теории топологических векторных пространств в том виде, в каком они были заложены между 1920 и 1940 гг.
Типичным примером, сразу приходящим на ум, является решение пятой проблемы Гильберта, полученное Глисоном и Монтгомери–Циппином в 1951 г., где мера Хаара и принадлежащая Ф. Риссу характеризация конечномерных пространств выскакивают как «deus ex machina», чтобы замкнуть рассуждение. Другое применение меры Хаара, возможно не столь известное, но, на мой взгляд, ещё более замечательное, доставляет недавняя работа Тамагавы о «группах аделей»: развивая более ранние идеи А. Вейля, Ивасавы и Тэйта, он придаёт чрезвычайно простую и поразительную формулировку в терминах теории локально компактных групп и теории меры основным теоремам классической теории алгебраических чисел, включая монументальные результаты Зигеля о квадратичных формах. Как обычно, новая формулировка сразу же открыла дорогу неожиданным обобщениям. Мне бы не хотелось оставить эту тему, не упомянув близко примыкающие и не менее замечательные результаты, полученные в 1961 г. А. Борелем и Хариш-Чандрой о дискретных подгруппах полупростых групп Ли. Борель и Хариш-Чандра наконец сформулировали в надлежащем виде и тем самым прояснили и объединили различные теоремы «конечности» в «арифметической теории форм», восходящие ещё к Эрмиту и Жордану.
Феноменальный рост теории уравнений с частными производными на протяжении последнего десятилетия также можно рассматривать как превосходный пример воздействия общей теории топологических векторных пространств на классический анализ. Здесь катализатором, несомненно, послужила теория распределений, хотя многое из её аппарата имеет более раннее происхождение. Сама теория Шварца имела много предшественников, и в действительности её лучше всего сравнить с тем, что мы называем «изобретением исчисления»: совершенно ясно, что задолго до Ньютона и Лейбница практически все выдающиеся математики Европы середины XVII в. умели решать большинство задач, в которых теперь используется дифференциальное и интегральное исчисление. Однако, не имея готового универсального оружия, они были вынуждены прибегать к специальным приёмам в частных случаях. Аналогично большинство задач, которыми занимается теория распределений, было изучено и, по существу, решено до Шварца, но никому не удавалось создать формализм, избавлявший от частных рассуждений в каждом отдельном случае. Это сделалось возможным посредством теории топологических векторных пространств, и хотя с тех пор предложено много других подходов к теории распределений, ни один из них не обладает, по моему мнению, гибкостью и силой первоначальных определений Шварца. Применения этих новых идей, в особенности расширение области действия свёртки и преобразования Фурье, незамедлительно дали себя знать. Достаточно упомянуть работы Гординга, Хёрмандера, Мальгранжа, Эренпрайса, Лоясевича, Кальдерона к многих других, открывших нам столь многое из общих свойств уравнений с частными производными, особенно в вопросах существования и единственности, теперь, по существу, решённых для систем произвольно высокого порядка с постоянными коэффициентами. Не думаю, чтобы кто-нибудь всерьёз утверждал, что эти результаты могли быть получены с таким размахом и общностью без новых основополагающих идей в функциональном анализе.
То же можно сказать и о теории представлений групп в бесконечномерных пространствах, столь блестяще развитой в пятидесятых годах, после того как первооткрывательские работы фон Неймана и школы Гельфанда построили необходимый алгебраически-топологический аппарат. Ограниченность места не позволяет входить здесь в подробности, но я думаю то, что по справедливости можно считать кульминацией этих усилий, а именно длинная (ещё не завершённая) серия статей Хариш-Чандры о представлениях групп Ли, едва ли уступит любой современной математической работе по глубине и оригинальности, связав в грандиозный синтез (где теория распределений играет существенную роль) теорию алгебр Ли, гармонический анализ и уравнения с частными производными.