Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам (стр. 1 из 3)

Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам

Ю.А. Данилов

Нелинейная динамика, в каком бы — узком или широком — смысле мы её ни понимали, достигла ныне такого этапа в своём развитии, когда уместно оглянуться на пройденное и подвести некоторые итоги. Период штурма и натиска ещё продолжается, но для того, чтобы дальнейшее продвижение не замедлилось, чтобы не иссяк наступательный порыв, необходимо критически осмыслить достигнутое, подвергнуть тщательному пересмотру основные идеи и понятия, проследить их происхождение, продумать наиболее рациональную схему планомерной осады «узких мест» и достичь ясного понимания того, что сделано теми гигантами духа и мысли, на плечах которых мы, по признанию Ньютона, стоим.

«Для развития науки, — любил подчёркивать Л.И. Мандельштам [2, с. 133], — важна не только работа пионеров, создающих новые концепции, в свете которых становится различимым скрывающееся во мраке неизвестное, но и последующий критический анализ этих концепций, очищающий их от случайного и неверного и вносящий в них стройность, ясность и прозрачность, без которых невозможно дальнейшее продвижение».

Вклад Пуанкаре и Мандельштама в создание нелинейной динамики вряд ли можно переоценить. Им мы обязаны созданием этой новой науки, занимающейся изучением систем различной природы (и поэтому с необходимостью вторгающейся на суверенную территорию различных частных наук), выявляющей общие закономерности там, где их, казалось бы, нельзя было и ожидать среди пёстрого разнообразия внешне далёких явлений, описываемых нелинейными теориями, каждая из которых «говорит на своём языке, ставит и решает свои собственные задачи», используя для этого свои индивидуальные методы. Пуанкаре и Мандельштам — истинные творцы нелинейной динамики: первый создал адекватный математический аппарат, второй насытил абстрактные математические схемы ярким физическим содержанием. Разумеется, каждому из них можно было бы посвятить не одну лекцию, лишь прокрустово ложе школьного расписания вынуждает нас ограничиться самым необходимым.

А. Пуанкаре

Л.И. Мандельштам

И Пуанкаре, и Мандельштам — каждый в своей области — принадлежали к редкому типу учёных-универсалов, презревших ограниченность узкой специализации, порождённую дифференциацией науки. Вот что говорит, например, о Пуанкаре легендарный Никола Бурбаки [1, с. 99–100]:

«Каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает всё более разнообразное содержание и постоянно даёт ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить всё это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-нибудь закоулке математической науки, откуда они и не стремятся выйти, и не только полностью игнорируют всё то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от него. Нет такого математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира; что же касается тех, кто подобно Пуанкаре или Гильберту оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение».

А вот на что считает необходимым обратить внимание в творчестве своего учителя А.А. Андронов [2, с. 100, 102]:

«Если пользоваться известной терминологией В. Оствальда, Л.И. Мандельштам одновременно и классик — по образцовой ясности и законченности опубликованных им работ, по строгости и точности рассуждений, и романтик — по стремлению делиться своими идеями и догадками, по своей любви к преподаванию, по силе своего живого слова, способного вызвать напряжённое внимание и радостное возбуждение аудитории. ...Л.И. Мандельштам ощущал всё точное естествознание, включая математику и технику, как единое развивающееся целое и не только подчёркивал взаимное влияние математики и физики, физики и техники и т.д., но хотел каждую новую вещь, будь то квантовая механика или теория нелинейных колебаний, понять и усвоить прочно, как необходимую составную часть всей физики, всего точного естествознания. ...Эта несравненная способность к далеко идущим сопоставлениям сочеталась у Л.И. Мандельштама с большой силой и остротой при конкретном исследовании, с умением преодолевать или обходить экспериментальные или вычислительные трудности».

Нужно сказать, что и немногочисленные другие математики-универсалы, отобранные по самому строгому «гамбургскому счёту», внесли свою немалую лепту в создание и развитие математического аппарата нелинейной динамики. Каждый из них великолепно владел математикой своего времени, глубоко интересовался проблемами естествознания. Для каждого из них в величественном здании математической науки не было ни закрытых комнат, ни тёмных закоулков. Каждый мощью своего интеллекта превосходил «многоголового» Никола Бурбаки.

Давид Гильберт (1862–1943) создал геометрию бесконечномерного функционального пространства, разработал прямые методы вариационного исчисления, указал на кинетическую теорию газов как на пример области физики, задачи которой решаются непосредственно с помощью интегральных уравнений и не сводимы к дифференциальным уравнениям.

Герман Вейль (1885–1955) создал аппарат теории представлений групп, всё более широко используемой при описании симметрии физических систем, в том числе и систем, изучаемых нелинейной динамикой, получил выдающиеся результаты в области дифференциальной геометрии и решил важную задачу о связи спектра колебаний с формой колеблющейся области.

Джон фон Нейман (1903–1957) получил первоклассные результаты в эргодической теории, математическом обосновании квантовой механики, теории автоматов. Именно ему принадлежит идея об использовании системы «реакция с диффузией» как основы моделирования процессов, происходящих в живых организмах, в частности формообразования и самовоспроизведения.

Вместе с Уламом фон Нейман поставил один из первых численных экспериментов, пытаясь проверить на системе связанных нелинейных осцилляторов один из краеугольных камней статистической механики — гипотезу о равнораспределении энергии по степеням свободы. Обнаруженный им парадокс — отсутствие тенденции к равнораспределению впоследствии привёл к открытию солитона в уравнении Кортевега–де Фриза.

Но сколь ни значимы результаты этих последних великих универсалов, они не образуют (в отличие от результатов Пуанкаре) всюду плотного множества в арсенале средств и методов нелинейной динамики, между тем все (или почти все) её идеи, понятия и методы так или иначе связаны с именем Пуанкаре, хотя и не всегда носят его. Ситуацию здесь довольно точно передаёт следующий отрывок из доклада Л.И. Мандельштама об оптических работах Ньютона [2, с. 260], который мы приводим здесь, лишь слегка изменив текст (у Мандельштама говорится не о Пуанкаре, а о Ньютоне):

«Я чувствую своеобразное затруднение. Когда речь идёт о таких открытиях, как открытия Пуанкаре, которые всем нам известны со школьной скамьи, легко очутиться — я знаю это по себе — в положении того любителя литературы, который на вопрос, как ему понравилось «Горе от ума», сказал, что в грибоедовской комедии он в сущности ничего замечательного не видит, так как она сплошь состоит из давно известных поговорок и пословиц. Чтобы не терять перспективы, мне кажется, лучше всего встать на историческую точку зрения. Нужно представить себе, хотя бы в общих чертах, состояние вопроса до Пуанкаре, затем восстановить по памяти то, что сделал Пуанкаре, и, наконец, коротко проследить ту роль, которую его работы сыграли в дальнейшем развитии науки».

Последуем совету Мандельштама.

Оценить развитие нелинейной динамики до Пуанкаре не составляет особого труда: нелинейной динамики (тогда ещё нелинейной теории колебаний) как отдельной науки, обладающей своим предметом и методом исследования, не было. В истории нелинейной динамики у Пуанкаре не было предтеч. Существовали отдельные разрозненные результаты, значимость и общность которых никому не были известны. Дифференциальные уравнения, долгое время составлявшие основу математического аппарата нелинейной динамики и поныне не утратившие свои позиции, математики, или, как было принято говорить, геометры пытались решать путём сведения к более простым. Оценивая в «Аналитическом резюме» свои работы по дифференциальным уравнениям того периода, Пуанкаре заметил [3, с. 580]:

«Как только принципы исчисления бесконечно малых были установлены, аналитик оказался перед лицом трёх проблем: решение алгебраических уравнений; интегрирование алгебраических функций; интегрирование дифференциальных уравнений. История этих трёх проблем одинакова. После длинных и тщетных усилий свести эти проблемы к более простым геометры уступили, наконец, необходимости изучения проблем самих по себе и были вознаграждены. Долгое время надеялись, что удастся решить все уравнения в радикалах. От этого пришлось отказаться, и сегодня алгебраические функции нам столь же хорошо известны, как и радикалы, к которым их желали привести. Точно так же и интегралы от алгебраических дифференциалов, которые долго пытались привести к логарифмическим или тригонометрическим функциям, выражаются сегодня посредством новых трансцендентностей. Примерно то же должно было произойти и с дифференциальными уравнениями. Число уравнений, интегрируемых в квадратурах, крайне ограничено и, постольку поскольку не решались изучать свойства интегралов самих по себе, вся эта аналитическая область оставалась всего лишь обширной terra incognita, которая казалась навсегда запретной для геометра».

Коши, Фукс, Врио и Буке, С.В. Ковалевская проникли в эту ранее не исследованную область. Они установили, что если отказаться от изучения поведения интегралов дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, в целом, т.е. при всех значениях независимой переменной, сосредоточить усилия на исследовании локальных свойств, т.е. свойств в малом, в окрестности данной точки, то эти свойства будут существенно отличаться в зависимости от того, будет ли выбранная точка обычной или особой.