Без понятия группы Бетти невозможно себе представить и двух дальнейших существенных продвижений теории гомологий. Первое состоит в перенесении гомологических понятий на более общие геометрические образцы, чем полиэдры, и прежде всего на компакты. Оно стало возможным вследствие общего аппарата аппроксимации самых сложных топологических образований (компактов, бикомпактов и ещё более общих топологических пространств) комбинаторно-топологическими построениями, комплексами, которое было, начиная с 1926 г., осуществлено автором этого изложения посредством так называемых проекционных спектров (подвергавшихся затем различным обобщениям и вариациям). Этот аппроксимационный процесс основывается на введённом тем же автором понятии нерва покрытия данного пространства и даёт возможность перенести практически на любые топологические пространства основные понятия комбинаторной топологии 2.
Другим фундаментальным прогрессом в теории гомологий было введение Дж. Александером и А. Н. Колмогоровым в 1934–1935 гг. «верхних» гомологий, называемых теперь когомологиями. Из гомологических и когомологических групп, область определения и применимости которых всё время расширялась, возникла наконец новая математическая дисциплина — гомологическая алгебра, существенно определяющая лицо значительной части современной математики...
Даже в самом кратком высказывании на тему моего сегодняшнего выступления я не мог бы обойти молчанием знаменитую популярную статью Пуанкаре «Почему пространство имеет три измерения?» («Pourquoi l'espace a trois dimensions»), напечатанную в известном французском журнале «Revue de Métaphisique et de Morale».
Статья эта замечательна тем, что в ней — более в литературной, чем в строго научной форме — ставится проблема и излагается идея одного из основных понятий теоретико-множественной топологии — проблема и идея общего индуктивного определения размерности; идея Пуанкаре заключается в том, что если пространство имеет размерность n, то его можно разбить на (сколь угодно мелкие) части посредством подпространств размерности n–1. Первым математиком, который этим очень неопределённым наглядным высказываниям Пуанкаре придал (в работе 1913 г.) строгую и законченную форму, был Брауэр. Таким образом, Брауэр явился основателем обширной области теоретико-множественной топологии, развитой Менгером и (главным образом) П. С. Урысоном, и известной в настоящее время под названием общей теории размерности. В настоящий момент нам, однако, важно подчеркнуть, что идея общего понятия размерности восходит к Пуанкаре и даёт нам новое доказательство исключительной силы его геометрической интуиции, захватившей на этот раз и область теоретико-множественных понятий. Заметим в заключение, что своё полное развитие общая теория размерности получила после того, как мною была построена в 1928–1932 гг. так называемая гомологическая теория размерности, подчинившая понятие размерности понятию гомологии и включившая, таким образом, теорию размерности в общую гомологическую топологию.
Я начал своё изложение с замечания, что Пуанкаре жил в эпоху, когда в математике рождались идеи, поражающие наш ум силой своей применимости к познанию мира, а также своей способностью как бы внезапно расширять горизонты самой математики; наконец, своей красотой и внутренним совершенством.
Математические идеи, рождающиеся в наше время, столь же (если не более) могущественны, и, может быть, столь же прекрасны. Они не могли бы, однако, развиться, если бы у их колыбели не стояли открытия Пуанкаре.
В своём знаменитом «Изложении системы мира» Лаплас однажды сказал, что астрономия по величию её предмета и совершенству её теорий является лучшим памятником, воздвигнутым разумом человека, прекраснейшим проявлением его интеллекта.
Такие математики как Пуанкаре побуждают нас к тому, чтобы распространить слова Лапласа также и на математику и дать ей право соперничать с астрономией в отношении величия её предмета и во всяком случае совершенства её теорий.
Примечания
Эта статья является свободным изложением речи, произнесённой автором (под этим же заглавием) на посвящённом столетию со дня рождения Пуанкаре торжественном выездном заседании (в Гааге) Международного математического конгресса (Амстердам, 1954). назад к тексту
1. Я употребляю здесь слово полиэдр в его современном смысле, т.е. множества, допускающего разбиение на симплексы; сам Пуанкаре употреблял слово полиэдр в том смысле, в каком теперь употребляют слово «комплекс». назад к тексту
2. Кстати, самые первые истоки моего понятия нерва лежат в том, что Пуанкаре называл полиэдром, взаимным к данному («polyèdre réciproque»). назад к тексту