Исследование случайных явлений вероятностно-статистическими методами (стр. 1 из 5)

Московский Авиационный Институт

(Государственный Технический Университет)

Курсовая работа по дисциплине

“Теория вероятностей и математическая статистика”

Тема: «Исследование случайных явлений вероятностно-статистическими методами»

Учебная группа №М11

Выполнил студент:

Ульянов С.А.

Руководитель КР:

профессор Виноградов С.А.

Серпухов,2008

Оглавление

1. Введение

2. Решения заданий

a) Задача №1

b) Задача №2

c) Задача №3

d) Задача №4

e) Задача №5

f) Задача №6

g) Задача №7

h) Задача №8

i) Задача №9

j) Задача №10

3. Вывод

4. Список использованной литературы

Введение

Теория вероятностей и математическая статистика имеет огромное значение в современном мире.

Изучение действительности в её сложности и многообразии требует рассмотрения наиболее существенных связей. Окружающее нас пространство состоит из массовых явлений и процессов. Многие отдельные факты и события зависят от законов случая, но массы их подчиняются особым закономерностям, в частности, статистическим и вероятностным. Факты в силу своей же индивидуальности с одной стороны, отличаются друг от друга, а с другой стороны имеют нечто общее.

Целями данной курсовой работы являются:

а) закрепление и углубление теоретических и практических знаний, полученных на лекциях и других видах занятий; формирование вероятностно – статистического; аналитического мышления, необходимого для исследования сложных систем различной природы со стохастическими переменными.

б) формирование умений самостоятельно решать задачи по определению вероятностных и числовых характеристик случайных явлений с обоснованием применяемых при этом теоретических положений и анализом полученных результатов.

Данная курсовая работа имеет большое практическое значение. В ней приведены задачи, с которыми сталкивается менеджер каждый день. В результате анализа проявления экономических законов устанавливается конкретное состояние и развитие фирмы, предприятия, отрасли в целом на определённый момент или за определённый отрезок времени.

Таким образом, теория вероятностей и математическая статистика выступает важнейшим инструментом познания и использования экономических (и других общественных) законов. В ходе выполнения курсовой работы я так же применял и знания, полученные при изучении дисциплины математический анализ. Это связано с необходимостью использовать аналитико-математический аппарат.

Решение задач

Задание № 1

Для оплаты купленных товаров в супермаркете N=6 покупателей случайным образом распределяются по m кассам без ограничений на число покупателей в каждой кассе. Оплата каждым из N покупателей в любой из m=3 касс равновозможна и не зависит от длины возможной очереди (наличия свободных касс). Определить вероятность того, что:

а) во всех кассах окажется одинаковое число покупателей;

б) две кассы будут не заняты, а в остальных число покупателей будет одинаковым;

в) все покупатели будут оплачивать товары только в одной кассе;

г) хотя бы одна касса будет свободна от покупателей.

Дано: Решение

N=6 А – событие, во всех кассах одинаковое число покупателей, т.е. в каждой из m=3 трёх касс по два покупателя.

Р(А)-? В – событие, две кассы будут не заняты. а в остальных число покупателей

P(B)-? будет одинаковым, т.е. в одной кассе будут шесть покупателей

P(C)-? С – событие, все покупатели будут оплачивать товар в одной кассе, это

P(D)-? событие аналогично событию В, т.к. в одной кассе будут оплачивать товар все шесть покупателей.

D – событие, хотя бы одна касса будет свободна от покупателей.

В числителе применяем формулу гипергеометрического распределения, знаменатель вычисляется по формуле числа размещений n^m без повторений.

P(D)=P₁+P₂ ,

где

Р₁ – одна касса свободна;

Р₂ – две кассы свободны;

Ответ: P(A)=0.3292; P(B)=0.00823; P(C)=0.00823; P(D)=0.2551.

Задание 2

На плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2h. На плоскость случайным образом (на удачу) бросается тонкий стержень (игла) длиной 2l (l<h).Появление центра на отрезке 2h в любой его точке равновозможно, как и появление любого значения угла φ между стержнем и прямой на интервале (0,π).

Попадание центра стержня на отрезок 2h и угловая ориентация φ стержня – события независимые. Требуется при заданных исходных данных 2h и 2l :

1.Определить вероятность того, что стержень пересечёт какую-либо прямую.

2.Методом статистических испытаний определить эмпирическое значение числа π при заданных h,l и числе испытаний n ≥100, при этом представить таблицу результатов статистических испытаний с описанием условий проведения опыта.

Дано: Решение

2h=35 Для решения задачи необходимо провести опыт. заключающийся в

2l=28 подбрасывании с вращением стержня и определения количества пересече-

P-? ний его с линиями на плоскости.

π -? Вероятность пересечения стержнем какой-либо прямой на плоскости

вычисляется классическим способом по формуле P=m/n, где

m – количество пересечений, n – количество всех бросков.

Число π рассчитывается как

. Исход опыта ( положение иглы на плоскости) описывается 2-мя координатами: х – абсцисса центра иглы относительно ближайшей прямой слева и - угол. который составляет игла с прямыми. Очевидно, что все значения х и равновозможны. Очевидно, можно ограничить возможные пересечения только с одной (ближайшей левой) прямой. Прямоугольник на плоскости х0 со сторонами L/2 и π/2 представляет пространство элементарных событий Ω; . Если абсцисса х центра иглы будет меньше, чем , то игла пересечёт прямую, интересующее нас событие (см. Заштрихованную область на рис.) Площадь этой области равна .

Данный опыт был впервые проведён французским естествоиспытателем Ж.Л.Л. Бюффоном (1707-1788). Данный опыт я проводил в нормальных условиях при соблюдении всех размеров отрезков и длины стержня.

Таблица результатов статистических испытаний. + пересекло - не пересекло

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
+	+	+	-	+	-	+	+	-	+	-	-	-	+	+
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
+	-	+	-	+	+	+	+	-	+	-	+	+	-	-
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45
-	+	+	+	+	+	-	+	-	+	-	-	+	-	+
46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
+	+	-	-	+	-	-	-	-	-	-	-	+	-	-
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75
-	+	-	+	+	+	-	-	+	+	+	-	-	+	+
76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
+	+	+	-	+	+	+	-	-	+	-	-	-	+	-
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105
-	-	+	-	-	+	-	-	+	-	-	+	-	+	-
106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
-	+	+	+	-	+	-	+	-	+	+	+	-	+	+
121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135
-	+	-	+	+	-	+	+	-	-	-	+	-	-	+
136	137	138	139	140	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150
-	+	-	+	-	+	-	+	-	+	-	-	+	+	+
151	152	153	154	155	156	157	158	159	160	161	162	163	164	165
+	+	-	+	-	-	-	+	+	-	+	-	+	+	+
166	167	168	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
+	-	+	+	-	-	+	-	+	-	-	+	-	-	-
181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192	193	194	195
-	-	-	+	-	-	+	-	-	-	+	-	-	+	-
196	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207	208	209	210
-	-	-	-	+	+	-	-	-	+	-	+	-	+	+

Всего бросков произвёл 210, из них не пересекло 107 раз, пересекло 103 раза.