Шпаргалка по Математике 3 (стр. 5 из 8)
Отсюда А=1, В=-2. Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид у* =х-2. Следовательно,
искомое общее решение уравнения.
Элементы теории вероятности
Случайные события и их классификация.
Если некоторый производится опыт, исход которогго предсказать заранее нельзя, то такие эксперементы называются случайными. При этом рассматриваются только те эксперементы, которые можно повторять многократно при одних и тех же условиях.
Случайным событием называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти.
События как правило обозначаются заглавными буквами А, В, С..
Пример, бросоние игральной кости:
А – выпадение 5 очков
В - выпадение четного числа очков
С – 7 очков
D– выпадение целого числа очков
Е – неменее 3х очков
Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются W.
Все возможные исходы называются пространством элементарных событий. И обозначаются Λ.
· Сбытие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате опыта. (D)
· Событие называется невозможным, если он зав6едомо не произойдет в результате проведения опыта. (С)
· 2 события называются несовместными, если появление одного из них исключает появлене другого события в одном и том же опыте. (А и В)
· В противном случае, если событие дополняет появление другого, то они будут совместными. (В и Е); (D и Е); (А и Е).
· Полную группу случайных событий образуют все возможные, попарно-несовместные события для данного опыта. События А1, А2…, Ан, называются попарно-несовместимыми если любые дщва из них несовместимы.
Действия над событиями.
Завтра будет дождливое (В) утро (А).
1. Суммой событий А и В называется событие С, С = А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них ( или А, или В, или А и В вместе). Дождя нет
2. Произведением событий А и В называется событие С, С = А*В, состоящее в совместном наступлении этих событий ( и А и В одновременно). Дождь есть
3. Разностью событий А и В называется событие С, С= А –В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А , но не происходит событие В. Нет дождя
4. Противоположным событию А называется событие не наступление события Ā. А →Ā
Операции над событиями обладают следующими свойствами:
· А+В=В+А; А*В=В*А (переместительное)
· (А+В)*С=А*С+В*С; А*В+С=(А+С)*(В+С) (распеределительное)
· (А+В) +С = А+ (В +С); (А*В)*С =А*(В*С) (сочетательное)
· А+А=А; А*А=А
· А-В=А*Ḃ
· Ā +Ḃ =Ā *Ḃ и Ā *Ḃ = Ā +Ḃ
Алгебра событий.
Множество Ω = { w } всех вохможных взаимоисключающих исходов данного опыта называется пространством элементарных событий, а сами исходы w – элементарными событиями.
Случайным событием А называется любое подмножество множества Ω, если Ω конечно или счетно: А принадлежит Ω. Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Ω, называются благоприятствующими событию А. Множество Ω называется достоверным событием. Ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произойдет. Пустое множество ø называется невозможным событием, в результате опыта оно произойти не может.
Над событиями можно производить все операции, выполняемые для множеств.
Сумма (или объединение) двух событий А+В - это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.
Произведение двух событий А*В - это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.
Разность событий А – В - это множество, которое содержит элементы события А, не принадлежащие событию В.
Противоположное событию А принадлежит Ω событие Ā = Ω\А.
Событие А влечет событие В, если каждый элемент события А содержится в В.
Статистическое определение вероятности.
Статистической вероятностью события А называется число, около которого колеблется относительная частота события А при достаточно ьольшом числе испытаний (опытов).
Вероятность события А обозначается символом Р(А). Согласно данному определению Р(А)≈ Р*(А) = nA/n, где nA – число наступления событий в данном испытании, n– общее кол-во испытаний.
Свойства:
1.Вероятность любого события заключена между 0 и 1, т.е. 0 ≤ Р(А) ≤ 1
2.Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Р(ᴓ) = 0
3.Вероятность достоверного события равна единице, т.е. Р(Ω) = 1.
4.Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностейэтих событий, т.е. если А*В =ᴓ, то Р (А + В) = Р (А) + Р(В)
Классическое определение вероятности.
Пусть проводится опыт с nисходами, которые можно представить в видепоолной группы несовместных равновозможных событий. Такие исходы называются случаями, шансами, элементарными событиями, опыт – классическим. Случай w, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или – благоприятствующим) ему, т.е. случай w влечет за собой событие А.
Вероятностью события А называется отношение числа mслучаев, благоприятсвующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е. Р(А) = m/n, где m–кол-во случаев благоприятствующих этому событию, n –кол-во всех событий.
Свойства:
1. Вероятность любого события заключена между 0 и 1, т.е. 0 ≤ Р(А) ≤ 1
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Р(ᴓ) = 0
3. Вероятность достоверного события равна единице, т.е. Р(Ω) = 1.
4. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностейэтих событий, т.е. если А*В =ᴓ, то Р (А + В) = Р (А) + Р(В)
Пример: В урне 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что на удачу вынутый шар будет белым?
Пусть А – событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно что n = 12+8=20 – число всех возможных случаев. Число благоприят –х событию А, равно12. След-но по формуле Р(А) = 12/20 = 0,6.
Геометрическое определение вероятности.
Геометрической вероятностью события А называется отношение площади области Dк площади области Ω, т.е. Р(А) = SD/SΩ.
Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области ΩиD обе линейные и объемные. В первом случае Р(А) = lD/lΩ. Во втором Р(А) = VD/VΩ, где l– длина, V – объем соответствующей области.
Все три формулы можно записать в виде Р(А) = mesD/mesΩ, где mes – мера (S,l,V) области.
Свойства:
1.Вероятность любого события заключена между 0 и 1, т.е. 0 ≤ Р(А) ≤ 1
2.Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Р(ᴓ) = 0
3.Вероятность достоверного события равна единице, т.е. Р(Ω) = 1.
4.Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностейэтих событий, т.е. если А*В =ᴓ, то Р (А + В) = Р (А) + Р(В)
Свойства вероятностей
1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. Р(ᴓ) = 0
2. Сумма вероятностей противотоложных событий равна единице, т.е. Р(А) +Р(Ā) = 1
3. Вероятность любого события не превосходит единицы, т.е. Р(А) ≤1
4. Если событие А влечет за собой событие В, то Р(А)≤Р(В)
5. Если события А1, А2, ..Ан образуют полную группу несовместных событий ,
Условные вероятности
Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (А), может влиять на возможность наступления другого (В). Для зхарактеристи зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.
Условной вероятностью события В при условии, что произошлособытие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем Р(А) ≠0, обозначается символом Р(В/А).
Таким образом по определению Р(В/А)= Р(А*В)÷Р(А), Р(А) ≠0.
Вероятность Р(В), в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.
Аналогично определяется вероятность события А, при условии В, т.е.Р(А/В)
Р(А/В)=Р(А*В)÷Р(В), Р(В) ≠0.
Пример: в урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что 2 шар окажется белым при условии, что 1 был черным. Решение: Пусть А – 1 шар черный, В – 2 белый. Т к событие А произошло, в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых. Поэтому (В/А) = 2/8=1/4.
Вероятность произведения событий
Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло. Р(А*В) = Р(А) * Р(В/А) = Р(В) * Р(А/В) – правило или теорема умножения вероятностей.
Правило умножения вероятностей имеет простой вид если события, образующие произведение, независимы. Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. если выполняется равенство Р(А/В) = Р(А).
Лемма: Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Два события называются независимыми, если появления одного из них не меняет вероятность появления другого. Для независимых событий правило вероятности имеет вид: Р(А*В) = Р(А) * Р(В), т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.