Некоторые приложения дифференциального исчисления (стр. 2 из 6)

Максимум и минимум функций

Если функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [а, b], не является в нем монотонной, то найдутся такие части

промежутка [а, b], в которых наибольшее или наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке.

Точка х₀называется точкой локального минимума для функции f(x), если ее значение f(x₀) в этой точке меньше всех значений в некоторой ее окрестности

, то есть . Значение f(x₀) называется локальным минимумом функции f(x). Глобальным (всеобщим) минимумом называется значение функции, наименьшее среди значений на всем интервале.

Точка локального максимума - точка х₀, для которой f(x₀) - наибольшее среди всех значений в некоторой окрестности точки х_0. Локальный максимум функции - значение f(x₀) в точке локального максимума, глобальный максимум - наибольшее значение функции, заданной на интервале.

На рис. 5 точка х₀- точка локального минимума функции f(x), x₁ есть точка локального максимума. Глобальные минимум и максимум достигаются на концах а и b промежутка задания функции.

Рис. 5

Максимум и минимум функции носят общее название экстремумов, и точки, в которых они достигаются, называются точками экстремумов.

Рассмотрим задачу, в которой нужно найти все значения аргумента, доставляющих функции экстремум.

Предположим, что для функции f(x) в промежутке (a.b) существует конечная производная. Если в точке x₀ функция имеет экстремум, то применив к промежутку

теорему Ферма (пусть функция f(x) определена в некотором промежутке и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная в этой точке, то необходимо ), получим, что : в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум нужно искать только в тех случаях, где производная равна 0. Эти точки называются стационарными.

Не каждая стационарная точка доставляет функции экстремум: необходимое условие не является достаточным. Например, для функции

производная обращается в нуль при x=0, но в этой точке функция не имеет экстремума: она всё время возрастает.

Если точка

- стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для нее двусторонней конечной производной, то точка х₀ является лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит проверке достаточных условий для существования экстремума.

Первое правило для испытания “подозрительного” значения х₀: подставляя в производную

сначала х<х₀, а затем x>x₀, устанавливаем знак производной вблизи от точки х₀ слева и справа от нее; если при этом производная меняет знак плюс на минус, то имеем максимум, если меняет знак минус на плюс, то - минимум; если же знака не меняет, то экстремума нет.

Это правило решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:

(1)

Тогда в любом промежутке

существует конечная производная

и в каждом таком промежутке сохраняет постоянный знак. Если бы меняла знак, например, в промежутке (x_k ,x_k+1), то, по теореме Дарбу (Если функция f(x) имеет конечную производную в промежутке [a,b], то функция принимает, в качестве значения, каждое промежуточное число между и ), она обращалась бы в нуль в некоторой точке между x_k и x_k+1, что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (1). Последнее замечание применимо в некоторых случаях на практике: знак производной во всем промежутке (x_k,,х_k+1) определится, если вычислить значение (или даже только установить знак) ее в одной какой-либо точке этого промежутка .

При разыскании экстремумов исследование знака производной вблизи испытуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной в самой этой точке.

Пусть функция f(x) имеет производную f (x) в окрестности точки х₀, и вторую производную в самой точке х₀:

. Точка х₀ - стационарная, т.е. . Если , то функция в точке х = х₀ возрастает, т.е. вблизи точки х₀ слева , а справа . Таким образом, производная меняет знак минус на плюс и, следовательно, f(x) имеет в точке х=х₀ минимум. Если, f"(x₀)<0, то в точке х = х_о убывает, меняя знак плюс на минус, то имеем максимум.

Второе правило для испытания «подозрительного» значения х₀: подставляем х₀ во вторую производную

:если , то функция имеет минимум, если же f" (х₀) < 0, то - максимум.

Это правило имеет ограничение в применении: оно неприложимо к тем точкам, где не существует конечной первой производной; когда вторая производная обращается в нуль, правило также ничего не дает. Решение вопроса зависит тогда от поведения высших производных.

Замечание. При решении задач практического содержания часто можно не проверять аналитически достаточность условий экстремума (с помощью первой или второй производной). Заключение о наличии экстремума обычно легко сделать на основании условий задачи. Это относится также и к отысканию наибольших и наименьших значений.

План решения текстовых задач на экстремум:

1. Выбрать независимую переменную и установить область её применения.

2. Выразить исследуемую величину через аргумент.

3. Найти стационарные точки и точки, в которых исследуемая функция не имеет производной (в частности, точки, где производная обращается в бесконечность). Из числа последних точек исключить точки несуществования функции.

4. Вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка изменения аргумента и выбрать из этих значений наибольшее или наименьшее.

Примеры.

1) Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трёх сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвёртой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение

Обозначим стороны площадки x и y. Площадь площадки равна S=xy. По условию, данному в задаче, должно выполняться равенство

. Поэтому и , где . (Потому что длина и ширина площадки не могут быть отрицательными).

, , ,