Некоторые приложения дифференциального исчисления (стр. 4 из 6)
Первая производная
функции f(x) имеет ясный геометрический смысл. Она есть угловой коэффициент касательной, т.е. равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс (рис. 10). 
Рис. 10
Вторая производная есть скорость изменения углового коэффициента касательной. Положительность второй производной на некотором интервале означает, что угол, образованный касательной с осью абсцисс, растет с увеличением x. Геометрически это значит, что график направлен выпуклостью вниз. Если же вторая производная отрицательна на некотором интервале, то на нем график расположен выпуклостью вверх. На рис. 4 интервал задания функции разбит на участки, на каждом из которых вторая производная сохраняет знак (этот знак указан на рисунке). Точки, в которых график меняет направление выпуклости, называются точками перегиба. точки А1, А2, А3 на рис. 4). При переходе через точку перегиба вторая производная меняет знак.
Наглядно видно, что если в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая положительна (точки В1 и В2 на рис. 4), то в этой точке функция имеет минимум, так как в такой точке касательная к графику горизонтальна и выпуклость направлена вниз. Соответственно если первая производная в точке равна нулю, а вторая отрицательна, то в этой точке имеет место максимум (точки С1 и С2 на рис. 4).
Если
= 0 и 
, то функция f(x) достигает в точке х0 минимума; если же = 0 и f"(x0)<0, то функция имеет в этой точке максимум. Рассмотрим случай, когда и 
= 0 и f//(х0) = 0,Предположим, что функция f(x) имеет в точке х =x0 n последовательных производных, причем все они, вплоть до (n-1) в этой точке обращаются в нуль:
но
. Разложим приращение f{x)-f(x0) функции f(x) по степеням разности х - х0 по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано. 
Так к все производные порядков меньших, чем n, равны в точке х0 нулю, то
Так как
при 
, при достаточной близости x к х0 знак суммы в числителе будет совпадать со знаком f{n) (x0) как для х<х0, так и для x>x0. Рассмотрим два случая:1) n - нечетное число: n = 2k+1. При переходе от значений x к x0, меньших, чем х0, к значениям, большим, чем х0, выражение (х – х0)n изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разнести f(x)-f(x0) изменится. Таким образом, в точке х0 функция f(x) не может иметь экстремума, потому что вблизи этой точки принимает значения как меньше, так и большие, чем f(х0).
2) n - четное число: n = 2k. В этом случае разность f(x) – f(x0) не меняет знака при переходе от х меньших, чем х0, к большим, так как (х – х0)n>0 при всех х. Очевидно, вблизи х0 как слева, так и справа знак разнести f(x)-f(х0) совпадает со знаком числа f{n) (х0). Значит, если
, то f(x)>f(x0) вблизи точки х0, и в точке х0 функция f(x) имеет минимум; если же f{n)(х0)<0, то функция имеет максим.Теорема. Пусть функция f(x), заданная на интервале [а, b], имеет производные
и в некоторой точке 
[а,b] имеет место f'{c)=... 
Тогда если f(n){x) > 0 при всех х
[а, b], то при четном n функция f(x) имеет минимум при х = с, если же 
нечетно, то функция f(x) возрастает на [а, b] и для нее х = с-точка перегиба. Соответственно если f(n)(x)<0 при всех х 
[а, b], то при четном n функция f(x) имеет максимум в точке х = с, а при нечетном 
функция f(x) убывает на [а, b] и для нее х = с-точка перегиба.
Рис. 11
Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены и f(n) (х) > 0 (рис. 5). Тогда f{n-1)(x) возрастает в интервале [а, b], так что при х < с будет
(рис. 11) и при х >c: 
(рис. 12). 
Рис. 12
Рис. 13 Рис. 14
Таким образом, f{n-l)(x) отрицательна при х<c и f(n-1)(x) положительна при x>с. Следовательно, f{n-2)(x) убывает слева от точки х = с и возрастает справа от точки х = с. Она обращается в нуль при х = с.
Поэтому она принимает положительные значения как слева, так и справа от точки х = с и имеет минимум при х = с (рис. 13). Функция f{n-3) (х) возрастает слева и справа от точки x= с, так что, обращаясь в нуль при х = с, переходит от отрицательных значений к положительным (рис. 14). Функция f(n-4) (х) убывает слева отточки х = с и возрастает справа. Следовательно, она имеет минимум и равна нулю при х = с и принимает положительные значения как слева, так и справа от с. Продолжая аналогичные рассуждения, мы получим, что f{n-1)(x), f(n-3)(x). f(n-5) (x)…. возрастают, когда х проходит через точку х = с, a f(n-2)(x), f{n-4) (x), f(n-6) (x)…. имеют минимум при х = с. При четном n дойдем до исходной функции f (х) через четное число шагов, делаем вывод, что f (x) имеет минимум при х = с. При нечетном n мы дойдем до f(x) за нечетное число шагов и заключим, что f (x) возрастает слева от точки х = с и продолжает возрастать справа от нее. f" (x) тоже возрастает, проходя через нулевое значение, и, следовательно, f" (х) меняет знак с минуса на плюс, значит, точка с есть точка перегиба для функции f(x).
Случай f{n) (x) < 0 рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Если функция задана параметрические:
и 
, то производные 
вычисляются по формулам: 
; 
; 
,….Производную второго порядка можно вычислить по формуле:
Примеры
1)
. Найти 
2) Найти
, 
, если 
3) При помощи производных высших порядков исследовать функцию f(х) = х5-2x4 + х3 + 2 на максимум и минимум (рис. 15).
Решение.
Рис. 15
(x)== 5x4 – 8x3 + 3x2 = x2(5х2-8x+3). Корни производной: х1 = 0; х2 = 3/5; х3=1. Имеются три «подозрительные» точки. Вторая производнаяf" (x) = 20x3 - 24x2 + 6x,
= 0; 
Точка x = 3/5 есть точка максимума, х = 1 - точка минимума. Далее: f"' (х) = 60х2-48х+6; f'" (0) = 6 > 0.