Некоторые приложения дифференциального исчисления (стр. 5 из 6)

Следовательно, точка х = 0 есть точка перегиба на возрастании. График имеет вид, представленный на рис. 15.

Формулы Тейлора и Маклорена

Для функции f(х), имеющей n+1 непрерывных производных в окрестности точки х = а, всегда можно найти многочлен Р_n(х) степени n такой, чтобы он имел порядок близости к f (х) не менее n+1 в окрестности точки х = а. Докажем это.

Пусть Р_n (х) == а₀ + а₁х + а₂х² + ... + а_nхⁿ, есть целый многочлен степени n. Запишем х = (х-а) + а и преобразуем степени х по формуле бинома Ньютона. Каждое слагаемое a_kx^k представится в виде суммы степеней двучлена (х-а) с некоторыми коэффициентами. Соединив подобные члены, представим Р_n(х) в виде

P_n(x) = b₀ + b_l{x-a) + b₂(x-a)²+…+b_n{x-a)ⁿ.

В этой форме будем искать Р_n{х).

Пусть r_n(х) = f (х)-Р_n(х)=f(х)-b₀-b1(х-а) - b₂(х-а)²-….- b_k(x-a)^k- ... – b_n(x - a)ⁿ. Необходимо, чтобы

r_n(а) = r'_n(а)= ...=r⁽ⁿ⁾(a)=0. Вычислим производные от функции r_n(х):

Приравняв

к нулю получим:

f(a)-b₀=0;

;…. ,откуда

b₀=f(a),

При таком выборе коэффициентов функция r_n(x) будет иметь порядок малости не меньше n+1 и соответственно Р(х) будет иметь порядок близости к f(x) не меньше n+1.

Итак,

Полученная формула-формула Тейлора. r_n(x)-функция, имеющая порядок малости не меньше п+1 в окрестности точки х = а.

В частном случае, при а = 0, формула имеет вид:

Эта формула называется формулой Маклорена.

Примеры

1) Разложить многочлен

Р (х) = х⁵ -2х⁴ + Зх^{3 –} x² + х - 1

по степеням двучлена (х-1).

Найдем все производные от Р (х) до 5-го порядка включительно:

Р'(х) =5х⁴ - 8х³ + 9х² - 2х +1, Р" (х) = 20x³ – 24x² + 18x - 2, Р'"(x) = 60x² – 48x+18, Р⁽⁴⁾(х)=120х - 48, P⁽⁵⁾(x)=120.

Вычислим значения многочлена и его производных в точке х=1 и подставляем в формулу Тейлора:

В итоге:

2) Разложить функцию

= е^х по формуле Маклорена.

Решение.

Так как f⁽ⁿ⁾(x) = e^x при любом n, то

, и по формуле Маклорена получается:

При х=1 получается формула для приближенного вычисления числа е:

Погрешность вычислений оценивается так:

Применение дифференциалов при оценке погрешностей

Особенно удобно и естественно использовать понятие дифференциала в приближенных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть, например, величину х мы измеряем или вычисляем непосредственно, а зависящую от нее величину у определяем по формуле: y=f(x). При измерении величины х обыкновенно вкрадывается погрешность,

х, которая влечет за собою погрешность у для величины у. Ввиду малой величины этих погрешностей, полагаем.

т.е. заменяют приращение дифференциалом.

Теорема. Абсолютная погрешность при вычислении значения функции y = f{x) от приближенно заданного аргумента приближенно равна произведению абсолютной погрешности аргумента на значение производной

в рассматриваемой точке.

Доказательство. Пусть х₀ - приближенное значение аргумента и х-неизвестное точное значение аргумента, заведомо близкое к х₀. Величину

х = х-х₀ абсолютной погрешности аргумента можно принять за малые приращения аргумента. Соответствующее приращение y = f(x)- f(x₀) функции, т.е. абсолютная погрешность для значения функции, приблизительно равна дифференциалу dy = f' (x₀) х - f(х₀)(х-х₀). Что и требовалось доказать.

Из теоремы следует, что оценка абсолютной погрешности значения функции не превосходит оценки абсолютной погрешности аргумента, умноженной на модуль значения производной.

Для относительной погрешности получается формула

Теорема. Оценка абсолютной погрешности алгебраической суммы двух функций не превосходит суммы оценок погрешностей слагаемых.

Теорема. Оценка относительной погрешности произведения и частного двух функций равна сумме оценок относительных погрешностей сомножителей и соответственно делимого и делителя.

Доказательство. Вычисляя для функций y =

и z = абсолютные погрешности как дифференциалы, получается

. Откуда

Переходя к оценкам модулей, получим требуемое.

Пример

Найти приближенные значения для у и оценить погрешность.

Решение.

Начнем с оценки погрешности. Имеем

,

откуда

и

Приложения дифференциального исчисления к геометрии

Аналитическое представление кривых.

1) Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах).

Уравнение вида

у=f(х) или x = g(y), (1)

есть способ задания кривой, когда одна из текущих координат ее точки представляется в виде (однозначной) явной функции от другой координаты, это явное задание (или представление) кривой. Всякое другое задание может быть сведено к этому.

Также существует неявное задание кривой, т.е. о представлении кривой уравнением вида

F{x,y) = 0, (2)

неразрешенным ни относительно х, ни относительно у. Такое уравнение носит название неявного уравнения кривой.

Если в точке (х₀, у₀) кривой выполнено условие

или

то, по крайней мере, в некоторой окрестности этой точки кривая может быть представлена явным уравнением (1) того или другого вида (причем фигурирующая в нем функция / или g непрерывна вместе со своей производной).

Таким образом, только точки (х₀, _у₀) кривой, для которых выполняются сразу оба условия

, (3)

могут иметь ту особенность, что в их окрестности кривая не представима явным уравнением (ни того, ни другого вида). Точки кривой, удовлетворяющие уравнениям (3), и называют особыми.

Уравнения вида

, (4)

устанавливающие зависимость текущих координат точки от некоторого параметра t, также определяют кривую на плоскости. Уравнения называются параметрическими; они дают параметрическое представление кривой.

Кривая есть геометрическое место точек, удовлетворяющих аналитическому соотношению вида (1), (2) или (3).

2) Кривые на плоскости (в полярных координатах).

Во многих случаях оказывается проще представлять кривые их полярными уравнениями, устанавливающими зависимость между текущими полярными координатами r,

точек кривой. Зависимость между r и может быть задана в явной, неявной или параметрической форме. Вид явного уравнения: