Математические строи (стр. 2 из 3)

кварта-3/4 и 20/27 (20/27=3/4X80/81)

м. терция - 5/5 и 27/32 (5/6=27/32X80/80)

б. свиста -3/5 и 16/27 (16/27=3/5X80/81)

б. секунда- 8/9 и 9/10 (8/9=9/10X80/81)

м. септима -9/16 и 5/9 (5/9=9/916X80/81).

Интервал 80/81, на который некоторые интервалы чистого строя больше или меньше соответствующих интервалов пифагорова строя, называется "дидимовой коммой". Дидимова комма ? 1/10 тона. На эту же комму, б. терция пифагорова строя больше чистой (64/81=5/4x80/81). Так как диатонический полутон, например, с - des, получается посредством ходов:

с - f - des

и выражается отношением 15/16 (3/4x5/4=15/16), а хроматический полутон, например, с - cis, получается посредством ходов:

с - f - а - cis1 - cis

и выражается отношением 24/25 (3/4x4/5x4/5x2) и так как дробь 24/25 больше 15/16, то звук сis (как соответствующий больщему отрезку струны) ниже звука des. Таким образом, в чистом строе диатонический полутон больше хроматического (см. строй Пифагора). Из всего вышеизложенного, можно сделать следующие выводы:

1. Замена пифагоровых терций чистыми сделала возможным применение в музыкальном искусстве гармонических мажорных и минорных трезвучий (тонических) и расширила область частотных интонаций (квинта 2/3 и 27/40, м. терция 5/и 27/32, б. секунда 8/9 и 9/10 и т. д.).

2. Указанная замена не создала строя, вполне соответствующего требованиям музыкальной практики, так как чистый строй оказался:

а) незамкнутым, т. е. лишенным энгармонизма;

б) неудобным для модуляции даже в ближайшие (от (C-dur) тональности;

в) требующим сложного устройства музыкальных инструментов с фиксированной частотой звуков.

Поясним изложенное в п.п. б и в.

Чтобы сделать модуляцию из C-dur в d-moll, необходимо иметь в качестве тоники лада чистое минорное трезвучие d - f - а. Этим трезвучием не может быть минорное трезвучие II ступени C-dur, так как оно состоит из «нечистой» квинты – d - a (27/40) и пифагоровой м. терции d - f (27/32), Чтобы сделать трезвучие d – f - а чистым, необходимо для звука d взять отношение 9/10 вместо 8/9, т.е. понизить его на дидимову комму 80/81. Таким образом, для совершения модуляции из C-dur в d-moll (и обратно) необходимо иметь 2 звука d, отличающихся, по частоте на дидимову комму. Один в качестве звука доминантового трезвучия C-dur другой в качестве звука тонического трезвучия d-moll. По тем же причинам для модуляции из F-dur в g-moll (и обратно) нужно иметь два «комматических звука» g, для модуляций из G-dur в a-moll нужно иметь два комматических звука а и т. д.

Для совершения модуляций во 2-ю степень родства потребуются новые комматические звуки. Таким образом, при широком пользовании модуляциями потребуется большое количества комматических звуков. Если, кроме того, принять во внимание, что в чистом строе не существует энгармонизма (fis не совпадает по высоте с ges), то для пользования чистым строем потребуется значительное количество звуков в пределах одной октавы до 85 звуков). Это обстоятельство значительно усложняет устройство музыкальных инструментов с фиксированной частотой звуков и делает весьма трудной игру на этих инструментах. Из всего вышеизложенного следует, что чистый строй представляет собой весьма сложный математический строй.

Музыкальное искусство, которое уже в первой половине XVII века начало широко пользоваться энгармонизмом, не могло удовлетвориться чистым строем, и он разделил участь пифагорова.

Итак, причиной, заставившей музыкальное искусство отказаться от чистого строя, было отсутствие в этом строе энгармонизма, иначе говоря, незамкнутость этого строя. Поэтому дальнейшая эволюция строев пошла по пути создания так называемых «темпераций»[6], т. е. таких математических строев, которые благодаря определенным частотным соотношениям между звуками являются замкнутыми. Так как музыкальное искусство не могло сразу отказаться от чистых квинт и чистых терций, преимущества которых перед терциями Пифагора были очевидны, то авторы темперации пытались разрешить задачу, исходя из чистых больших и малых терций и чистых квинт.

Равномерные темперации

§ 1. Попытки разрешить проблему строя, пригодного для музыкальных целей, посредством неравномерных темперации, окончились неудачей, так как эти темперации давали возможность пользоваться ограниченным количеством тональностей (в отдельных тональностях появлялись так называемые «воющие» интервалы). Но эти попытки, особенно работы Веркмейстера и Нейдгардта, наметили правильный путь разрешения проблемы и привели позднейших исследователей к двенадцатизвуковому равномерно-темперированному строю. Авторы этого строя исходили из следующих соображений. Если разделить пифагорову комму (1/9 тона) на 12 равных частей, т. е. распределить ее между двенадцатью квинтами этого строя, то каждая квинта уменьшится на 1/108 тона (1/9:12=1/108). При этом условии двенадцатая квинта вверх от звука с (his) совпадает с октавой от того же звука (с1), а двенадцатая квинта вниз от звука с1 (deses) совпадает с октавой от того же звука (с). Совпадение his с с1, a deses с с вызовет совпадение всех энгармонически равных звуков, отличающихся по высоте на пифагорову комму. Это совпадение произойдет путем смещения обоих звуков.

Так как в пифагоровом строе все целые тоны получаются посредством двух квинтовых ходов и потому равны между собой, и так как последовательность 6 целых тонов (например, от звука с) приводит к звуку his, который на 1/9 тона выше с, то, уменьшая ч. квинты на 1/108 тона, мы уменьшаем каждый целый тон на 1/54, а последовательность 6 тонов на 1/9 тона (пифагорову комму). Таким образом, в рассматриваемом нами темперированном строе октава состоит из 6 равных целых тонов.

Так как в пифагоровом строе хроматический полутон больше диатонического, то целый тон пифагорова строя делится на два неравных полутона. В рассматриваемом нами темперированном строе хроматический полутон равен диатоническому.

Поэтому в этом строе целый тон делится на два равных полутона. Таким образом, в этом строе октава состоит из 12 равных полутонов, а все другие интервалы из меньшего количества этих полутонов - от 11 (б. септима - ув. сексте) до 1 (м. секунда).

Исследуем теперь вопрос о музыкальной приемлемости интервалов 12-звукового равномернотемперированного строя. Так как названный строй получается путем деления ч. октавы на 12 равных полутонов, то все октавы этого строя, как и в прочих теоретических строях, чистые[7]. Темперированная квинта, которая меньше чистой на 1/108 тона, и темперированная кварта, которая больше чистой на 1/108 тона, по своим звуковым качествам почти не отличаются от чистых.

Темперированная б. терция меньше пифагоровой на 1/27 тона и, следовательно, больше чистой на 1/16 тона; наоборот, темперированная м. секста, являющаяся обращением б. терции, больше пифагоровой на 1/27 тона и меньше чистой на 1/16 тона.

Темперированная м. терция больше пифагоровой на 1/36 тона и, следовательно, меньше чистой на 1/14 тона; наоборот, темперированная б. секста, являющаяся обращением м. терции, меньше пифагоровой на 1/36 тона и больше чистой на 1/14 тона.

Итак, темперированная б. терция больше чистой на 1/16 тона, а темперированная м. терция меньше чистой на 1/14 тона. Эти терции по своим звуковым качествам заметно отличаются от чистых, но в музыкальном отношении приемлемы. То же самое можно сказать и относительно обращения терций - секст. Что же касается диссонирующих интервалов, то эти интервалы, сохраняющие свои звуковые качества в более широких границах, чем консонирующие, в темперированном строе не вызывают никаких протестов со стороны музыкального слуха. Таким образом, все интервалы изучаемого нами равномернотемперированного строя в музыкальном отношении приемлемы. Настройка хроматической гаммы 12-звукового равномернотемперированного строя представляет некоторые трудности. Так как все интервалы этого строя можно получить посредством квинтовых ходов, то теоретически вопрос сводится к нахождению числа биений в секунду, которое дает темперированная квинта на различных ступенях хроматической гаммы изучаемого строя, практически - к отсчету указанных биений.

Первая часть вопроса разрешается следующим образом.

Если мы обозначим через х величину, показывающую, во сколько раз число колебаний верхнего звука темперированного полутона больше числа колебаний его нижнего звука, принятого за 1, то x12 будет величиной, показывающей, во сколько раз число колебаний верхнего звука октавы больше числа колебаний ее нижнего звука, принятого за 1. Так как число колебаний верхнего звука октавы больше числа колебаний ее нижнего звука в два раза, то мы можем составить следующее уравнение:

1: x12 = 1 : 2

х12 = 2 или х= 21/12 = 1,0595.

Зная интервальный коэфициент темперированного полутона и число полутонов, заключающихся в интервалах темперированного строя, можно найти интервальные коэфициенты этих интервалов, а зная последние и считая, что звуку а1 соответствует 440 гц, можно найти числа колебаний для всех звуков темперированной хроматической гаммы от с1 до с2.

Известно, что при гармоническом воспроизведении ч. квинты 3-й частичный тон ее нижнего звука образует тон совпадения со 2-м частичным тоном ее верхнего звука. В темперированной квинте указанные частичные тоны не совпадают, и между ними возникают биения. Для квинты с1- g1 число биений в секунду равно 0, 89, так как число колебаний 3-го частичного тона звука с1 есть 784,89[8], число колебаний 2-го частичного тона звука gl есть 784[9]. Число биений в секунду для квинты es - b1 равно 1,07, так как число колебаний 3-го частичного тона звука es1 есть 933,39[10], а число колебаний 2-го частичного тона звука b1 есть 932,32[11]. По тем соображениям число биений в секунду для квинты fis1 - сis2 равно 1,25, а для квинты а1 - е2 равно 1,48. Из всего только что изложенного видно, что для настройки темперированных квинт необходимо найти числа биений для всех 12 квинт. Однако практика настройки музыкальных инструментов с фиксированной частотой звуков показывает, что эти тонкости излишни и что для всех 12 квинт можно взять среднее число биений, т. е. для квинт 1-й октавы 1,1[12]. Эта замена значительно упрощает процесс настройки темперированных квинт, хотя и вызывает некоторое (совершенно незаметное для слуха) расхождение между вычисленными интервалами 12-звукового равномерно-темперированного строя и фактически настраиваемыми. Установив число биений для квинт в 1-й октаве музыкальных инструментов с фиксированной частотой звуков (например, фортепиано), изложим метод настройки. Процесс настройки начинается с настройки а1 по камертону (440 гц). После настройки а1 настраивают все остальные звуки 1-й октавы. Расмотрим один из способов настройки: