Эти три фрагмента, взятые из различных работ Лейбница, объединяет следующее: в контекст метафизического рассуждения вводятся математические фрагменты (мы выделяли их курсивом). При этом сам автор воспринимает их как “своеобразные аналогии” достаточно случайно связавшиеся в его мысли с метафизическим рассуждением. Например, еще в одном месте, Лейбниц пишет, что он мучительно размышлял “над тем, как можно совместить свободу и случайность с цепью причинной зависимости и провидением”. “Но тут вдруг - говорит он - блеснул мне некий невиданный и неожиданный свет, явившийся оттуда, откуда я менее всего ожидал его, - из математических наблюдений над природой бесконечного. Ведь для человеческого ума существует два наиболее запутанных вопроса (“два лабиринта”). Первый из них касается структуры непрерывного, или континуума, а второй - природы свободы, и возникают они из одного и того же бесконечного источника” [15, с.312-313; курсив мой].
Нетрудно увидеть связь между приведенными рассуждениями Лейбница и математическими мифами Платона и Николая Кузанского. Однако нетрудно заметить также и существенные отличия: во-первых, привлечение математики не является теперь осознанным, оправданным и систематически проводимым познавательным приемом; во-вторых, математические конструкции не обретают в этих рассуждениях особой жизни, они в готовом виде заимствуются из развитых независимо математических теорий. Здесь наблюдается как бы вырождение математического мифа, забвение им собственных корней. Внешне все как в математическом мифе, но исчезло измерение глубины, осталась лишь поверхность, утратившая свой смысл и неспособная к самостоятельной жизни и развитию.
Теперь перед нами лишь аналогия или модель, единственный смысл которой - дать наглядное представление самим по себе мало наглядным метафизическим рассуждениям. Вплетенная в метафизический контекст математическая конструкция служит здесь образцом (парадигмой) для наглядного представления метафизических отношений, предлагает для них отчетливый образ. Желая отличить подобное приложение математики от математического мифа, мы будем называть соответствующие математические конструкции - парадигмальными схемами [33, с.67; 35, с.370].
Легко заметить, что между математическим мифом и использованием математических конструкций в роли парадигмальных схем невозможно провести отчетливой демаркационной линии. В каждом конкретном случае может возникать сомнение - что перед нами? Если правильные многогранники в “Тимее” Платона - скорее математический миф, чем парадигмальная схема, а геометрические и арифметические конструкции в текстах Лейбница - vice versa, то чем является “совершенно-круглый шар” в поэме Парменида [33, с.57-59] сказать уже затруднительно. При этом у одного и того же автора наряду с полноценными математическими мифами могут встречаться и вырожденные варианты - например, уже упомянутое выше пристрастие Платона к использованию конструкций геометрической пропорции и геометрического подобия, в качестве способов организации иерархии.
Ситуация еще более осложняется тем, что недостаточная осознанность и продуманность связи между ходом метафизического рассуждения и привлекаемыми для его иллюстрации математическими аналогиями (как в случае Лейбница, лишь смутно догадывающегося о неслучайности являющихся его мысли метафизико-математических параллелей как следствии единства их “бесконечного источника”), часто приводит к тем большей неосознаваемой зависимости хода метафизического рассуждения от предстоящих мысли математических схем (как и получилось у Лейбница), иногда вплоть до подлинной математической экспансии [33, с.63-64]. Дело в том, что соответствующие математические конструкции вряд ли привносятся в метафизические рассуждения лишь post hoc, когда основной рисунок рассуждения уже сложился. Являясь на ранних стадиях формирования мысли, соответствующие математические конструкции не остаются пассивными. Наглядность этих конструкций, отчетливость математических образов, делает их, можно сказать, “навязчивыми”, определяя их активное влияние на те пути, которые избирает находящаяся в стадии становления метафизическая мысль.
Тексты Лейбница были выбраны нами в качестве примера, конечно же, не случайно. Однако, не следует думать, что они единственны в своем роде, т.е. в том как используется в них математика. Использование математических конструкций в роли парадигмальных схем - широко распространенное явление, причем не только среди философствующих математиков, таких как Лейбниц и Г.Вейль [33, с.63-64], или мыслителей, получивших хорошее математическое образование, таких как П.Флоренский [33; 35] (5) , но и у весьма далеких от математики мыслителей - например, у Вл.Соловьева [28, с.3, 20], - хотя в последнем случае набор применяемых математических конструкций по понятным причинам значительно беднее.
Еще более распространено применение разнообразных схем и диаграмм - диаграммы Эйлера-Венна, появившиеся в логике задолго до построений, связавших математическую логику и топологию; диаграммы, применяемые школой Г.П.Щедровицко- го, и язык картинок, развиваемый А.Г.Барабашевым [4]; диаграммы А.Белого [5] и т.п. Мы указали наиболее яркие примеры. Однако, всякое иллюстрирование рассуждения посредством наглядной схемы, составленной из “кружочков”, “прямоугольничков”, “стрелочек” и т.п. (см., например, рис.1 и 2 в настоящем тексте), стоит в легко заметном родстве с математическими конструкциями в роли парадигмальных схем, являясь еще более вырожденной версией математической мифологии [33, с.67-68]. Интересно, что и эти диаграммы и схемы обладают “навязчивостью” математических образов и способны вести за собой мысль (на что особо обращает внимание А.Г.Барабашев).
3. Математика как эстетический феномен и пангеометризм как
способ понимания природы математики.
В предыдущих пунктах был продемонстрирован определенный контекст, в котором могут существовать, и существуют математические конструкции. Попробуем отдать себе отчет в некоторых определяющих особенностях такого их существования.
Во-первых, обратим внимание на чисто качественный, квалитативный, подход к математическим конструкциям. Эта особенность достаточно ярко прослеживается в приведенных выше примерах.
Во-вторых, - на отсутствие необходимой связи между нематематическим предметом рассмотрения и математической конструкцией [33, с.66; 35, с.369]. Приведем соответствующий пример.
Существует целая традиция использования геометрического образа круга (окружности) для прояснения соотношения Божественных ипостасей (hypostasis), которых три при единстве сущности (oysia). Однако делаться это может несколько по-разному.
Так Николай Кузанский сравнивает Бога с максимальным кругом, у которого, в силу единственности максимума, центр, диаметр и окружность тождественны. “Ты видишь, - пишет он, - что простой и неделимый максимум целиком залегает внутри всего как бесконечный центр, что он извне всего охватывает все как бесконечная окружность и что он все пронизывает как бесконечный диаметр. Он начало всего как центр, конец всего как окружность, середина всего как диаметр. Он действующая причина как центр, формальная причина как диаметр, целевая причина как окружность. Он дарует бытие как центр, правит как диаметр, хранит как окружность, - и многое в том же роде” [18, с.83]. По-видимому, центр, дающий единство кругу, символизирует здесь Отца как единство, диаметр, как характеризующий равенство круга по всем направлениям, - Сына, как равенство единства, окружность, замыкающая и связующая круг, - Духа, как связь Отца и Сына.
Несколько по-другому у Кеплера: “Образ Триединого Бога - это сферическая поверхность; другими словами, Бог-Отец находится в центре, Бог-Сын - на наружной поверхности, а Бог-Дух Святой - в равенстве отношений между точкой и поверхностью” [2, с.62]. Вместо круга мы имеем здесь дело с шаром, а элементы, с которыми связывались Сын и Дух, поменялись местами.
Поясняя почему Бог троичен, а не четверичен, пятеричен и т.д., Николай Кузанский использует образ треугольника как простейшего из многоугольников: “четырехугольная фигура не минимальна, что очевидно, поскольку треугольник меньше ее; значит простейшему максимуму, который может совпасть только с минимумом, четырехугольник, всегда составный и потому больший минимума, подходить никак не может” [18, с.81].
Рассматривая тот же вопрос, П.А.Флоренский привлекает иной образ: он предпочитает представлять себе взаимное расположение точек на окружности. “В трех ипостасях, - пишет он, - каждая - непосредственно рядом с каждой, и отношение двух только может быть опосредствовано третьей. Среди них абсолютно немыслимо первенство. Но всякая четвертая ипостась вносит в отношение к себе первых трех тот или иной порядок и, значит, собою ставит ипостаси в неодинаковую деятельность в отношении к себе, как ипостаси четвертой” [30, с.50]. (Подробнее см. в [31, с.149-150]).