В-четвертых, необходимо сказать несколько слов о времени в геометрии. Выражение “пространственно-временное конструирование” следует понимать как пространственную организацию и переорганизацию элементов во времени. Время входит в геометрические конструкции лишь как динамика их пространственных элементов. Время в геометрии всегда есть лишь движение пространственных элементов. Время как таковое не подлежит не только геометрическому, но и математическому изучению вообще, да и движение как таковое также. Лишь подменив время движением, а движение его пространственным следом (траекторией) мы можем сделать их предметом математического изучения. По существу мы будем изучать при этом не время и не движение, а особенности пространственной организации самой траектории. Даже изучая в элементарной геометрии, что может быть построено с помощью циркуля и линейки, а что - нет, мы также не делаем предметом нашего рассмотрения геометрическое становление как таковое, но скорее - раскрываемые им особенности организации пространства (12) .
Итак, мы сделали некоторые наблюдения над простейшими проявлениями геометрической мысли в эстетическом ее аспекте. Следующим шагом, естественно, должна стать попытка, распространить наши рассуждения и на другие области математики, проверить, не обнаружим ли мы и там то, что привлекло наше внимание в простейших геометрических примерах. Необходимо выяснить, в какой мере то, что было сказано нами о геометрии, можно повторить и о математике вообще; что можно повторить дословно, а что лишь mutatis mutandis.
Кант этот шаг делает: конструктивный характер математическое мышление сохраняет и за пределами геометрии, однако собственно геометрическое, или остенсивное, конструирование заменяется в арифметике и алгебре на символическое [11, т.3, с.530-531, 542].
Нечто принципиально новое, по сравнению с рассмотренным выше собственно геометрическим конструированием, мы обнаруживаем уже на примере позиционной записи натуральных чисел. Введя строго фиксированный конечный набор графических символов и определенные правила их комбинирования, мы получаем возможность, наглядно представлять достаточно большие натуральные числа и производимые над ними действия. В эстетическом аспекте вся арифметика натуральных чисел предстает как система организуемых на плоскости графических символов. Организация символов производится посредством нескольких типов манипулирования этими символами: расстановки и перестановки знаков, замены одних знаков другими. Вспомним хотя бы умножение “столбиком” или деление “уголком”. Указанные манипуляции могут быть охарактеризованы как квазигеометрические, поскольку, представляя из себя операции с графическими знаками как целостными образованиями, собственно геометрическими они не являются (геометрическая конфигурация самого знака здесь совершенно неважна, важно лишь удобство его с точки зрения простоты написания, перестановок и замен, а также достаточное отличие от других знаков в рамках той же системы [7, с.58, 61-62]).
Работа с более богатой и разнообразной алгебраической графикой также может быть охарактеризована как манипулирование графическими символами. Рассмотрим, в качестве примера, одну из простейших алгебраических конструкций - группу. Группа - это совокупность элементов (в качестве графических символов можно использовать буквы латинского алфавита), правила манипулирования с которыми, задаются следующими условиями, называемыми аксиомами группы: (G1) из двух элементов x и y можно составить новый графический символ x•y; (G2) графические символы (x•y)•z и x•(y•z) являются взаимозаменяемыми; (G3) среди элементов группы имеется элемент, называемый нейтральным, который обозначим e, такой, что содержащие его графические символы x•e, e•x и x являются взаимозаменяемыми; (G4) вместе с элементом x имеется элемент, называемый обратным для x, обозначим его x', такой, что символы x•x', x'•x и e являются взаимозаменяемыми. Во всех аксиомах x, y и z - произвольные элементы группы. Доказательства каких-либо утверждений относительно групп представляют собой разворачивание определенных квазигеометрических конструкций. Это демонстрация определенных особенностей манипуляции с графическими символами при соблюдении указанных правил. Рассмотрим, например, как производится доказательство того, что нейтральный элемент единственный. Демонстрируется, что любые два графических символа, изображающие нейтральный элемент, взаимозаменяемы. В самом деле, пусть это символы e и f. Тогда, согласно правилу (G3), f взаимозаменяем с e•f, а этот последний символ - с e, следовательно, e и f взаимозаменяемы. Перед нами манипуляционное обоснование, в основе которого всегда лежат простейшие манипуляции, типа “подставить вместо”, являющиеся неформальными, геометрически очевидными действиями. Понимание того, что они обозначают, всегда негласно предполагается. Н.Малкольм сохранил следующую мысль Витгенштейна: “Доказательство в математике заключается в том, что уравнение записывают на бумаге и смотрят, как одно выражение вытекает из другого. Но если всегда подвергать сомнению выражения, которые появляются на бумаге, то не может существовать ни доказательств, ни самой математики” [17, с.90]. Вспоминаются также слова Г.Вейля: “Способ, каким математик обращается со своими формулами, построенными из знаков, немногим отличается от того, как столяр в своей мастерской обращается с деревом и рубанком, пилой и клеем” [7, с.58].
В эстетическом аспекте, как геометрическое, так и математическое доказательство вообще, предстает как демонстрация, т.е. непосредственный показ того, как соединяются, “стыкуются” элементы соответствующей математической конструкции. Результат же математического доказательства - математическое утверждение - есть, в интересующем нас аспекте, утверждение об особенностях соединения элементов математической конструкции, которое мы имели возможность “видеть” в процессе доказательства. Неслучайно математическое утверждение получило название теорема (theorema), т.е. “зрелище”, “то, что смотрят”.
Как известно, самый веский аргумент для обыденного мышления звучит приблизительно так: “Я сам видел, не веришь - пойди и посмотри”. Заслуживает внимания, что наиболее точная из теоретических наук - математика, составляющая как бы диаметральную противоположность обыденному знанию, черпает доказательную силу своих рассуждений в непосредственной наглядности своего предмета, т.е. также в возможности “увидеть самому” и “показать другому”. Можно сказать даже, что подлинной убедительностью, подлинной доказательной силой обладает только демонстрация (непосредственный показ). Как говорит Шопенгауэр: “Последняя, т.е. исконная очевидность, - созерцаема, что показывает уже само слово” [36, т.1, с.200].
Если бы не существовало обсуждавшихся выше естественных ограничений возможностей нашего наглядного представления пространственно-временных отношений (в восприятии слишком большого, слишком малого и т.п.), то, возможно, и математического доказательства, а тем самым и теоретической математики не возникло бы. Математикам не понадобилось бы идти далее лаконичного “смотри” древних индийцев или перегибания чертежа (как, по-видимому, обосновывал геометрические утверждения еще Фалес). Мы могли бы смело, вслед за Шопенгауэром [36, т.1, с.104-108, 196-216, т.2, с.212-214], возмутиться хитросплетениями доказательств от противного, производимых Евклидом там, где достаточно всего лишь перегнуть рисунок, и полагать, что самым лучшим обоснованием теоремы Пифагора является удачный чертеж без каких-либо комментариев.
Однако указанные ограничения существуют, и именно обговаривание соответствующих чертежей и их особенностей знаменовало рождение математики как таковой. Но математики не смогли бы продвинуться достаточно далеко в своих изысканиях, если бы не научились воплощать словесные рассуждения в квазигеометрические символические построения, т.е. не смогли бы вновь опереться на геометрическую оче-видность, но на качественно новом уровне. Именно слово (logos) оказывается тем связующим звеном, которое позволяет шагнуть от геометрического конструирования к квазигеометрическому манипулированию графическими символами (13) . “Посредством понятийного мышления - говорит Г.Рейхенбах - мы можем перейти от созерцания к преобразованному созерцанию. Человеческий разум обладает способностью, так сказать, “перехитрить” визуальные образы с помощью абстрактных понятий и после этого продуцировать новые образы” [26, с.67].
Уже при решении простейших задач геометрии, наряду с собственно геометрическим конструированием систематически применяется и квазигеометрическое конструирование. Возвращаясь к примеру с тысячеугольником, можно заметить, что хотя его наглядное представление и невозможно в той степени, в какой оно осуществимо для трех- или пятиугольника, однако, сохранить конструктивный характер соответствующих рассуждений легко удается посредством введения алгебраической символики, позволяющей рассуждать о соотношении углов и отрезков соответствующей конфигурации вне зависимости от числа сторон, а также различать, неразличимые в наглядном представлении многоугольники с тысячью и тысяча двумя сторонами. Там, где геометрическая наглядность нам отказывает, мы можем опереться на наглядность квазигеометрическую. При этом, как мы могли отвлекаться (абстрагироваться) от толщины геометрических линий и размера геометрических точек, так мы абстрагируемся и от конкретного очертания используемых нами алгебраических знаков, сосредотачивая внимание лишь на системе пространственно-временных отношений, с их помощью передаваемых.