Построение и исследование динамической модели портального манипулятора (стр. 2 из 13)

(j = 1,2,…,n),

(1.1)

где

– функция Лагранжа, разности кинетической Т и потенциальной П энергий системы;

– обобщенные силы управляющих приводов, приведенные к j-ой обобщенной координате: они имеют размерность моментов, если

– угол поворота, или сил, если

– линейное перемещение.

С учетом того, что

, перепишем уравнение (1.1) в виде

(1.2)

где

В последних равенствах через

обозначены внешние обобщенные силы, вызванные весом звеньев и груза, удерживаемого в захватном устройстве. При наличии внешнего воздействия – силы

, приложенной к захватному устройству, в правую часть равенства для

надо добавить член

, характеризующий это воздействие:

(1.3)

Используем выражение (1.2) для вывода уравнений динамики манипулятора. Рассматривая исполнительный механизм манипулятора как систему из n твердых тел, запишем его кинетическую энергию T в виде суммы кинетических энергий звеньев:

(1.4)

В свою очередь величину

определим по формуле [3]

(1.5)

где

– масса звена i;

– скорость некоторой точки звена

, принятой за полюс;

– вектор радиус центра инерции звена в системе осей с ним связанных, начало которой совпадает с полюсом

;

– тензор инерции звена в точке

;

– вектор угловой скорости звена в принятой системе координат.

Выражение (1.5) принимает наиболее простой вид, если за полюс звена принять его центр инерции; величина

будет равна нулю и выражение (1.5) упростится:

(1.6)

Кроме того, в большинстве случаев звенья манипулятора представляют собой твердые тела, обладающие симметрией относительно трех ортогональных осей, проведенных через центр инерции. Напомнив правило разметки осей систем координат, связанных со звеньями, в соответствии с которым одна из осей системы

совпадает с осью звена (вектором

), а две другие образуют с ней правую триаду, получим при помещении точки

в центр инерции

(см. рис. 1.1) оси полученной системы

становятся главными осями инерции и тензор вектора в точке

имеет вид диагональной матрицы

(1.7)

моменты инерции относительно осей в которой определяются выражениями

(1.8)

и для звеньев заданной конфигурации являются известными константами. При отсутствии осевых симметрий тензор инерции звена в точке

характеризуется матрицей

(1.9)

центробежные моменты в которой определяются выражениями

(1.10)

и также являются известными константами.

Определим вектор скорости центра инерции звена i через проекции на оси связанной с ним системы координат как

(1.11)

или через проекции на оси неподвижной системы осей в виде

(1.12)

По аналогии с

введем вектор угловой скорости звена

(1.13)

и запишем равенство (1.6) в развернутой форме для случая, когда звенья манипулятора обладают симметрией относительно главных осей инерции. Для этого подставим выражения

из (1.7), (1.11), (1.13) в (1.6) и получим

(1.14)

При использовании вектора скорости центра инерции в форме (1.14) выражение

(1.15)

с учетом которого равенство (1.4) принимает вид

(1.16)

Построение динамической модели переходных процессов манипулятора МРЛ-901П

2.1 Модель переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П

одель портального манипулятора МРЛ-901П представлена на рис. 2.1. Деформирующимися элементами в манипуляторе являются: зубчатый ремень, обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная масса m. Деформация поперечной консоли обозначена на схеме углом

. Исходными данными для расчета такой модели будут: значение подвижной массы m, плечо приложения этой массы l, а также коэффициент натяжения зубчатого ремня, определяемый как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на жесткость, и демпфирование модуля линейного перемещения.

При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение

соответственно, затем остановятся и под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать колебательное движения.

Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые обобщенные координаты как

. Для описания данной модели воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода: