Построение и исследование динамической модели портального манипулятора (стр. 3 из 13)

(j = 1,2,…,k),

(2.1)

где T- кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; k - количество степеней свободы.

Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:

(2.2)

Коэффициенты

являются функциями координат

Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия, где

Располагая коэффициенты

по степеням и пологая для упрощения записи

, получим:

(2.3)

Потенциальная энергия

системы:

(2.4)

При этом учитываем, что в положении равновесия

обобщенные силы также обращаются в нуль.

В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:

Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы

…,

. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил

отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).

Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:

(2.5)

Замечая, что

а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях

, получаем три уравнения:

(2.6)

Здесь

- обобщенные силы для системы сил

…,

, уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия

. Заменяя в (2.6) производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим систему уравнений, определяющих значение координат

в положении равновесия:

(2.7)

причем

Решение системы (2.7) имеет вид:

(2.8)

где

(2.9)

На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [4, 5] силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол

мал и координаты массы m можно записать как

. Поэтому на основании кинетостатики можем записать:

(2.10)

где

- обобщенная сила,

- коэффициент сопротивления пропорциональный первой степени скорости движения массы m. Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически - рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.

Сила

действует на все звенья манипулятора следовательно:

(2.11)

Коэффициенты

в (2.7) будем определять из того, что согласно (2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим сначала, что

действует только по координате

, затем только по координате

и наконец только по координате

, тогда в выражение (2.7) можно переписать:

(2.12)

таким образом

, используя (2.9) находим:

(2.13)

Коэффициенты

определяют податливость звеньев манипулятора по координатам

соответственно. Выражая податливость звеньев через их жесткость, запишем:

(2.14)

где

жесткости звеньев по координатам

соответственно.