Варіаційні принципи механіки (стр. 3 из 6)

Принцип Остроградського — Гамільтона формулюється так:

Дійсний рух механічної системи з голономними в'язями відрізняється від усіх інших порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Остроградського) рухів тим, що для дійсного руху системи варіація дії за Остроградським, яку обчислено для довільного фіксованого проміжку часу, дорівнює нулю.

Принцип Остроградського — Гамільтона математично подається рівністю

(17)

Для доведення обчислимо варіацію дії:

(18)

Інтегруючи частинами, знайдемо:

(19)

Доданок —

тут дорівнює нулю в початковий і кінцевий моменти часу, бо , а (кінцеві точки траєкторій не варіюються).

Підставляючи (19) в (18), дістанемо:

(20)

За рівнянням Лагранжа підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю; тому δS = 0. Справедливість принципу доведена.

Якщо для функціонала S виконана умова δS = 0, то говорять, що значення S стаціонарне. Умова стаціонарності дії δS = 0 вичерпно виражає закон руху механічної системи. Справді, вище показано, що з рівнянь руху Лагранжа випливає рівність δS = 0. Але і, навпаки, з умови δS = 0 випливають рівняння Лагранжа. Так, з довільності δq слідує, що для всіх t підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю, тобто випливають рівняння Лагранжа.

Принцип стаціонарної дії Остроградського — Гамільтона інколи називають принципом найменшої (екстремальної) дії. З'ясуємо походження цього терміну.

2.2. Принцип екстремальної (найменшої) дії

Аналізуючи формулу (15), приходимо до висновку, що значення дії S було б для дійсного руху мінімальним, якби виконувались разом умови

δS=0 і δ²S=0 (21)

Справді, з формули (15) випливає, що при виконанні умов (21) ряд у правій частині (15) починається з другого доданку і знак ΔS тоді такий самий, як і знак δ²S, тобто ΔS>0 для будь-яких уявних в розумінні Остроградського рухів.

Отже, дві умови (21) достатні для існування мінімуму дії S, тоді як умова стаціонарності ΔS = 0 є лише необхідною умовою мінімуму дії S.

Можна довести, що друга варіація дії за Остроградським є додатньою в тому випадку, коли величина проміжку часу руху не перевищує певної границі, окремої для кожного розглядуваного руху.

Нагадаємо, що існування мінімуму дії означає: якщо порівняти числові значення інтегралів дії S і S̃ – інтегралу дії для дійсного руху

із значенням інтегралу дії

для уявного кінематично можливого руху, то виявиться, що завжди S<S̃.

Нерівність S<S̃ виконується незалежно від вибору уявного руху. Потрібно тільки, щоб кінцеві положення А та В та час уявних рухів (t₀, t₁) не відрізнялись від них для дійсного руху і щоб уявний рух був узгоджений з зв'язками.

Зміст принципу стаціонарної дії можна тлумачити ще й так:

дія S уявного руху (з числа допустимих) відрізняється від дії S для дійсного руху на нескінченно малу величину другого порядку, тоді як дія S̃ одного уявного руху відрізняється від дії для другого уявного руху на нескінченно малу першого порядку.

На закінчення зробимо кілька загальних зауважень щодо переваг принципу Остроградського-Гамільтона порівняно з рівняннями руху системи, записаними в інших формах.

По-перше, рівняння (17) можна застосувати при якому завгодно способі вибору узагальнених координат системи. Властивість дії S бути мінімальною для дійсного руху не залежить від того, в яких координатах ведуть обчислення інтеграла

По-друге, принцип Остроградського-Гамільтона виявляється справедливим і для систем з нескінченною множиною ступенів вільності.

Варіаційний принцип поширюється і на немеханічні фізичні процеси: теплові, електромагнітні і т. д.[8]

В основу теорії електромагнітного поля можна покласти варіаційний принцип, який є узагальненням принципу Остроградського-Гамільтона, і потім можна вивести з нього як наслідок основні рівняння електродинаміки – так звані рівняння Максвелла. Це виведення рівнянь Максвелла цілком аналогічне до способу виведення рівнянь Лагранжа з принципу Остроградського-Гамільтона в механіці.

2.3. Принцип стаціонарної дії Ейлера-Лагранжа

2.3.1. Вихідні положення принципу.

Цей варіаційний принцип не має такої загальності, як принцип Остроградського-Гамільтона. Принцип Ейлера-Лагранжа відповідає рухові механічної системи з стаціонарними зв'язками в потенціальному силовому полі. За цих умов (система консервативна) існує інтеграл енергії

T+V=h. (22)

Нехай у момент часу t₀ система пройшла через деяке положення А в просторі, а в інший момент t₁ – через положення В. Домовимось називати момент t₀ і положення А початковими, а момент t₁ і положення В — кінцевими.

Дійсний рух механічної системи порівнюватимемо з уявними її рухами, які повинні задовольняти такі три умови:

1) зв'язки системи не порушуються;

2) повна механічна енергія системи в будь-якому уявному русі незмінна протягом усього часу руху і дорівнює її значенню h у дійсному русі;

3) початкове й кінцеве положення механічної системи повинні бути одні й ті самі для всіх уявних рухів і саме такі, які є для дійсного руху.

Крім того, вважатимемо, що уявні рухи починаються одночасно і саме в той момент t₀, в який починається дійсний рух з положення А. Кінцевий момент часу, в який система опиниться в положенні В, у дійсному русі дорівнює t₁, а в уявних залежить від характеру руху і може відрізнятися від t₁ на малу величину δt (додатню або від'ємну).

Дійсний рух системи з уявними порівнюють так, що розглядають лише ті уявні рухи, які нескінченно близькі (за координатами й швидкостями) до дійсного руху.

Уявні рухи механічної системи, що задовольняють всі ці вимоги, називатимемо можливими в розумінні Ейлера — Лагранжа.

Переконаємось на прикладі в тому, що моменти приходу механічної системи в кінцеве положення В справді залежать від вибору уявного руху.

Розглянемо рух однієї матеріальної точки в стаціонарному силовому полі з потенціальною функцією V(х,у,z). Оскільки уявний рух відбувається з дотриманням закону збереження енергії, то для уявного руху маємо:

звідки , (23)

де Ṽ — значення потенціальної енергії точки в уявному русі:

Ṽ=V(х̃, у̃, z̃)

Формула (23) показує, що швидкість руху точки, а значить, і час переміщення її з початкового положення А в кінцеве положення В в уявному русі залежать від форми траєкторії.

2.3.2. Доведення принципу.

Нехай голономна система з стаціонарними зв'язками рухається в потенціальному силовому полі і V — потенціальна енергія. За вихідне візьмемо загальне рівняння динаміки у вигляді:

(індекс k опустимо):

(24)

де

– елементарна робота активних сил на уявному переміщенні; δх, δу, δz – варіації координат точок системи. За правилом диференціювання маємо:

(25)

У розглядуваному випадку не тільки координати х,у,г, a й час t варіюються. Це видно з того, що час приходу системи в кінцеве положення в уявному русі, як з'ясовано вище, залежить від вибору траєкторії. Тому параметр t тут не можна розглядати як незалежну змінну, що не варіюється. Це означає, що рівність

яка вище була доведена для випадку, коли t не варіюється, тут не справджується. Згадану рівність слід замінити новою.

Нову формулу для

в розглядуваному загальному випадку легко знайти, вводячи нову незалежну змінну s, від якої, за припущенням, залежать х і t (s може бути, наприклад, дугою траєкторії точки). Оскільки властивості варіації аналогічні властивостям диференціалу, то за тими самими правилами, що й для диференціалу, знаходимо: