Взаимодействие коротких акустических импульсов с неоднородностями на поверхности твердого тела (стр. 3 из 6)

, (6)

.

Выражение в квадратных скобках преобразуется к виду

, после чего система (6) записывается в виде:

, (7)

.

Из условия существования ненулевых решений этой линейной системы уравнений получается уравнение Рэлея

. (8)

Вводя скорость волны Рэлея

, легко видеть, что не зависит от частоты, т.е. волны Рэлея в классическом упругом теле

бездисперсны и отношение

определяется отношением , т.е. зависит только от коэффициента Пуассона .

Амплитуды потенциалов

и линейно связаны уравнениями (7), поэтому решения (5) можно представить в виде:

, (9)

.

Значения смещений

и вычисляются по формулам (3); в частности, для амплитуды смещения на поверхности имеем:

, (10)

соответственно

дается формулой:

. (11)

Из этих формул видно, что смещение частиц среды в волне Рэлея происходит по эллипсам, причем на «гребнях» волны частицы движутся в направлении, противоположном направлению распространения волны.

Поток энергии в волне Рэлея в расчете на единицу ширины акустического пучка с использованием формул (9) можно представить формулой:

, (12)

где поток энергии

представлен в Вт/см, частота в ГГц, плотность в г/см , амплитуда в , - функция коэффициента Пуассона, скорость в см/с.

Приведенные соотношения позволяют рассчитать все основные характеристики волны Рэлея в изотропном твердом теле.

Распространение ПАВ на шероховатых поверхностях и в мелкомасштабных периодических структурах.

Далее перейдем к рассмотрению распространения волны Рэлея на шероховатой поверхности. Основными явлениями на таких поверхностях являются затухание и дисперсия ПАВ обусловленные взаимодействием с двумерными и трехмерными шероховатостями. Рассмотрим теоретический подход к расчету затухания и дисперсии.

Пусть на выступ или выемку, находящиеся на гладкой поверхности, падает поверхностная волна, характеризуемая амплитудами смещений

. В результате взаимодействия с неоднородностью полное поле в упругой среде будет отличаться от поля падающей волны, принимая значение .Получим интегральное уравнение, определяющее рассеянное поле . Полное поле в ограниченной упругой среде вдали от источников должно удовлетворять уравнению движения:

, (13)

замыкаемому линеаризованным уравнением состояния:

, (14)

где

- плотность среды, - компоненты тензора упругих напряжений, - компоненты линеаризованного тензора деформаций, - упругие постоянные;

и однородным граничным условием на свободной поверхности:

, (15)

где

- вектор единичной нормали к поверхности.

Тогда для описания рассеяния волны на неоднородностях поверхности используется интегральное уравнение:

, (16)

где точка

находится внутри контура С, а точка лежит на С, - тензор Грина для смещений, П – скалярный дифференциальный оператор.

Физический смысл данного уравнения состоит в том, что оно описывает рассеянное поле, возникающее в результате действия на поверхность С₂, С₁^/, С₃ (рис.2) ненулевых напряжений, обусловленных наличием препятствий.

Ограничиваясь рассмотрением только изотропных твердых тел, для которых

, перейдем к уравнению в потенциалах и

.

Если рассматривать смещения только в плоскости xz, то векторный потенциал

будет иметь лишь одну компоненту и соответствующее уравнение для вектора Ф

примет вид:

, (17)

индекс m принимает значения x и z,

- оператор возмущений.

Для малых препятствий наиболее простым методом решения данного уравнения является итерационный метод, в котором за нулевое приближение к решению

выбирается поле падающей волны . Последующие приближения получаются подстановкой низших приближений в интеграл уравнения. В результате решение представляется в виде итерационного ряда (борновский ряд)

, (18)

Условие применимости борновского приближения накладывает ограничения на размеры и форму препятствий. В данном случае оно имеет вид:

<< 1, (19)

где

функция описывающая дефект на плоской поверхности, - максимальная глубина дефекта, - производная по функции описывающей профиль дефекта, , , - длина рэлеевской волны.

Можно произвести соответствующие оценки для фазового сдвига, связанного с увеличением пути, проходимого рэлеевской волной при огибании ею искривленной поверхности препятствия.