[pic].
Тоді отримаємо:
[pic].
Таким чином, похідна по часу від сумарного імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніх сил, які діють на тіла системи.
Якщо система замкнута, зовнішні сили відсутні і права частина останнього рівняння дорівнює нулю. Тому відповідно [pic], а звідси випливає, що [pic].
Таким чином, ми прийшли до важливого висновку, а саме – закону збереження імпульсу: в інерціальній системі відліку імпульс замкнутої системи частинок залишається постійним, тобто не змінюється з часом.
При цьому імпульси окремих частинок замкнутої системи можуть змінюватися. Однак ці зміни завжди відбуваються так, що приріст імпульсу однієї частини системи дорівнює спаданню імпульсу частини системи, що залишилась. Іншими словами, окремі частини замкнутої системи можуть лише обмінюватися імпульсами. Спостерігаючи в деякій системі приріст імпульсу, ми можемо стверджувати, що цей приріст відбувся за рахунок спаду імпульсу в оточуючих тілах.
В цьому розумінні рівняння (15) і (16) слід розглядати як більш загальне формулювання закону збереження імпульсу, в якому вказана причина зміни імпульсу в незамкнутій системі – дія інших тіл (зовнішніх сил). Вище сказане, зрозуміло, справедливе по відношенню до інерціальних систем відліку.
Імпульс може зберігатися і в незамкненій системі при умові, що результуюча всіх зовнішніх сил дорівнює нулю. Це безпосередньо витікає з рівнянь (15) і (16). У практичному відношенні збереження імпульсу в цих випадках являє особливий інтерес, тому що дає можливість отримувати досить простим шляхом ряд свідчень про поведінку системи, не заглиблюючись в детальний розгляд процесу.
У незамкнутій систему може зберігатися не сам імпульс, а його проекція [pic] на деякий напрям [pic]. Це буває тоді, коли проекція результуючої зовнішньої сили [pic] на напрямок [pic] дорівнює нулю, тобто вектор [pic] перпендикулярний йому. Дійсно, спроектувавши рівняння (15), отримаємо:
[pic], звідки випливає, що якщо [pic], то [pic].
В основі закону збереження імпульсу лежить однорідність простору, тобто однаковість властивостей простору в усіх точках. Паралельне перенесення замкнутої системи з одного місця в інше без зміни взаємного розташування і швидкостей частинок не змінює механічних властивостей системи. Поведінка системи на новому місці буде такою ж, якою вона була на минулому місці.
Роздуми, які привели нас до закону збереження імпульсу, цілком спиралися на справедливість законів Ньютона. Вважалося, що матеріальні точки замкнутої системи взаємодіють між собою попарно і ця взаємодія підкоряється третьому закону Ньютона.
А що відбувається у випадку систем, які не підкоряються законам Ньютона, наприклад в системах з електромагнітним випромінюванням?
Відповідь на це запитання дає досвід, який показує, що закон збереження імпульсу виявляється справедливим і для таких систем. Однак в цих випадках в загальному балансі імпульсу необхідно враховувати не лише імпульси частинок, але й імпульс, яким володіє саме поле випромінювання.
Таким чином, досвід показує, що закон збереження імпульсу являє собою фундаментальний закон природи, який не знає жодних винятків. Але в такому широкому розумінні він вже не є наслідком законів Ньютона, а повинен розглядатися як самостійний загальний принцип, що є узагальненням фактів.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ
12 Момент імпульсу частинки.
Аналіз поведінки систем показує, що крім енергії та імпульсу існує ще одна механічна величина, з якою також пов’язаний закон збереження – це момент імпульсу . що це за величина і які її властивості? |[pic] |[pic] | |Рис. 1 |Рис. 2 |
Візьмемо спочатку одну частинку. Нехай [pic][pic] – радіус-вектор, який характеризує її положення відносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку, а [pic] – її імпульс в цій системі (рис. 1). Момент імпульсу [pic] матеріальної точки відносно деякої точки [pic] називається векторний добуток радіус-вектора [pic] на її імпульс [pic]:
[pic]. (17)
Модуль цієї величини, що дорівнює [pic], можна представити у вигляді добутку плеча [pic] імпульсу на модуль вектора [pic]:
[pic].
Частинка володіє моментом імпульсу незалежно від форми траєкторії, по якій вона рухається. Розглянемо два випадки. |[pic] | |Рис. 3 |
Частинка рухається вздовж прямолінійної траєкторії (рис. 3). Модуль моменту імпульсу [pic] може змінюватися тільки за рахунок зміни модуля швидкості. |[pic] | |Рис. 4 |
Частинка рухається по колу радіуса [pic] (рис. 4). Модуль моменту імпульсу відносно центру кола дорівнює [pic] і так само, як і в попередньому випадку, може змінюватися лише за рахунок зміни модуля швидкості. Не дивлячись на неперервну зміну напряму вектора [pic], напрям вектора [pic] залишається постійним.
Рівняння моментів.
З’ясуємо яка механічна величина відповідає за зміну вектора [pic] в даній системі відліку. Для цього продиференціюємо рівняння (17) по часу:
[pic].
Оскільки точка [pic] є нерухомою, то вектор [pic] дорівнює швидкості [pic] частинки, тобто співпадає за напрямком з вектором [pic], тому:
[pic].
Далі, згідно з другим законом Ньютона, [pic], де [pic] – рівнодійна всіх сил, які прикладені до частинки. Відповідно:
[pic].
Величину, що стоїть в правій частині цього рівняння, називають моментом сили [pic] відносно точки [pic] (рис. 2). Позначивши його буквою [pic], запишемо:
[pic].
Модуль цього вектора дорівнює:
[pic], де [pic] – довжина перпендикулярна, опущеного з точки [pic] на пряму, вздовж якої напрямлений імпульс частинки. Ця відстань називається плечем вектора [pic] відносно точки [pic].
Отже, похідна по часу від моменту імпульсу [pic] частинки відносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку дорівнює моменту [pic] рівнодійної сили [pic] відносно тієї ж точки [pic]:
[pic]. (18)
Це рівняння називається рівнянням моментів. Зауважимо, що якщо система відліку є неінерціальною, то момент сили [pic] включає в себе як момент сил взаємодії, так і момент сил інерції (відносно тієї ж точки [pic]).
Із рівняння моментів (18) слідує, що якщо [pic], то [pic]. Іншими словами, якщо відносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку момент усіх сил, що діють на частинку, дорівнює нулю протягом певного проміжку часу, який нас цікавить, то відносно цієї точки момент імпульсу частинки залишається постійним протягом цього часу. Рівняння моментів (18) дозволяє отримати відповідь на два питання: знайти момент сили [pic] відносно довільної точки [pic] в будь-який проміжок часу [pic], якщо відома залежність від часу моменту імпульсу [pic] частинки відносно тієї ж точки; визначити приріст моменту імпульсу частинки відносно точки [pic] за довільний проміжок часу, якщо відома залежність від часу моменту сили [pic], що діє на цю частинку (відносно тієї ж точки [pic]).
Вирішення першого питання зводиться до знаходження похідної по часу від моменту імпульсу, тобто [pic], яка і дорівнює шуканому моменту сили [pic].
Вирішення другого питання зводиться до інтегрування рівняння (18). Помноживши обидві частини цього рівняння на [pic], отримаємо [pic] – вираз, який визначає елементарний приріст вектора [pic]. Проінтегрувавши цей вираз по часу, знайдемо приріст вектора [pic] за скінчений проміжок часу [pic]:
[pic].
Величину, яка стоїть в правій частині цього рівняння, називають імпульсом моменту сили. Таким чином, приріст моменту імпульсу частинки за довільний проміжок часу дорівнює імпульсу моменту сили за той же час.
Момент імпульсу і момент сили відносно осі.
Візьмемо в деякій системі відліку довільну нерухому вісь [pic]. Нехай відносно деякої точки [pic] на осі [pic] момент імпульсу частинки [pic] дорівнює [pic], а момент сили, що діє на частинку, [pic].
Моментом імпульсу відносно осі [pic] називають проекцію на цю вісь вектора [pic], визначеного відносно довільної точки [pic] даної осі (рис. 5). |[pic] | |Рис. 5 |
Аналогічно вводиться і поняття моменту сили відносно осі. Їх позначають відповідно [pic] і [pic]. Далі ми побачимо, що [pic] та [pic] не залежать від вибору точки [pic] на осі [pic].
З’ясуємо властивості цих величин. Спроектувавши (18) на вісь [pic], отримаємо:
[pic], тобто похідна по часу від моменту імпульсу частинки відносно осі [pic] дорівнює моменту сили відносно цієї осі. Якщо [pic], то [pic]. Іншими словами, якщо момент сили відносно деякої нерухомої осі [pic] дорівнює нулю, то момент імпульсу частинки відносно цієї осі залишається постійним. При цьому сам вектор [pic] може і змінюватися.
Знайдемо тепер аналітичний вираз для [pic] і [pic]. Неважко побачити, що ця задача зводиться до знаходження проекцій нам вісь [pic] векторних добутків [pic] і [pic].
Скористуємось циліндричною системою координат [pic], [pic], [pic], пов’язавши з частинкою [pic] (рис. 6) орти [pic], [pic], [pic], які напрямлені в бік зростання відповідних координат. |[pic] | |Рис. 6 |
В цій системі координат радіус-вектор [pic] та імпульс [pic] частинки записують так:
[pic], [pic], де [pic], [pic], [pic] – проекції вектора [pic] на відповідні орти. З векторної алгебри відомо, що векторний добуток [pic] можна представити визначником:
[pic].
Звідси одразу видно, що моменти імпульсу частинки відносно осі [pic]:
[pic], де [pic] – відстань частинки від осі [pic]. Перетворимо цей вираз до виду, який більш зручніший для практичного застосування. Маючи на увазі, що [pic], отримаємо:
[pic], де [pic] – проекція кутової швидкості [pic], з якою обертається радіус- вектор частинки.
Запишемо момент сили відносно осі [pic]:
[pic], де [pic] – проекція вектора сили [pic] на орт [pic].
Звернемо увагу, що проекція [pic] і [pic] дійсно не залежать від вибору точки [pic] на осі [pic], відносно якої визначені вектори [pic] і [pic]. Крім того, [pic] і [pic] – величини алгебраїчні, їх знаки відповідають знакам проекції [pic] і [pic].
Закон збереження моменту імпульсу.
Виберемо довільну систему частинок. Введемо поняття моменту імпульсу даної системи як векторну суму моментів імпульсів її окремих частин:
[pic], (19) де всі вектори визначені відносно однієї і тієї ж точки [pic] заданої системи відліку. Зауважимо, що момент імпульсу системи – величина адитивна: момент імпульсу системи дорівнює сумі моментів імпульсів її окремих частин незалежно від того, взаємодіють вони між собою, чи ні.