6. Наличие точек бифуркации и потенциальных ям порождает квантовый эффект – дискретность путей эволюции нелинейных систем ( сред ), т.е. на данной нелинейной среде возможен лишь определенный спектр этих путей. Наличие порогов чувствительности является предпосылкой квантовости.
В мировоззренческом плане идея нелинейности приводит к многовариантности путей эволюции, выбору, темпу эволюции, необратимости эволюции.
1.3 Хаос.
Исходным материалом для образующихся структур является хаос. Он характеризуется неповторяемостью отклонений от среднего, самих возмущений или их последовательности. Диссипативные процессы и рассеяние представляют собой макроскопические проявления хаоса на микроуровне. Хаос по определению представляет собой отсутствие порядка, закономерностей, массовых движений частиц. Хаос выполняет три основные функции: обеспечивает начало формирования новых структур, разрушение структуры при ее приближении к идеалу, переключение режимов структур с эволюции на инволюцию и наоброт.
В первом случае хаос обеспечивает достаточное разнообразие состояний, скоростей и направлений движения частиц среды, чтобы обеспечить попадание хотя бы некоторых в устойчивые состояния и формирование центров сгущения.
Тот же хаос пытается разрушить структуру флуктуациями. Если флуктуация достаточно велика, он этого добивается. Если флуктуация мала, система вернется к прежней равновесной структуре, “ скатится “ на тот же аттрактор. Процесс при слабых флуктуациях будет иметь статистический характер.
Хаос может спасти сложную структуру от грозящего ей распада, если за счет хаоса вовремя произошел переброс системы из режима гармонизации структуры в противоположный режим. Движение к центру сменяется растеканием, разбеганием от центра, усложнение и структуирование – упрощением и сглаживанием неоднородностей.
1.4 Потоки.
Возможны следующие потоки, порождающие самоорганизующиеся структуры: - тепловой поток ( теплоперенос ),
- поток массы ( диффузия ),
- диссипативная часть тензора давления ( вязкое течение ),
- скорость реакции ( химическая реакция ),
- поток денег, поток событий, поток информации, поток питательных веществ.
В одной из первых обзорных статей [1] за 1979 год дается общий спектр проблем рассматриваемых синергетикой - от физики до социологии.
Наша задача ограничивается рассмотрением одного из разделов физики – конвективная тепловая неустойчивость.
Эти вопросы рассматриваются в [4,7,9,10] и актуальны, так как досих пор нет четкого обьяснения явлений, связанных с гидродинамической неустойчивостью.
Глава 2. Неустойчивости в гидродинамике: ячейки Бенара.
Эти проблемы привлекают физиков уже в течении века [4]. Рассмотрим примеры того, как системы полностью разупорядоченные в состоянии теплового равновесия, будучи выведенными из состояния теплового равновесия, могут внезапно в высокой степени упорядочиваться. Среди этих проблем – так называемая проблема Бенара. Рассмотрим сначала проблему Бенара, или, как она называется, конвективная неустойчивость.
Пусть имеется горизонтальный слой жидкости бесконечной протяженности [4]. Снизу его подогревают, благодаря чему поддерживается температурный градиент. Выраженный в подходящих безразмерных единицах, этот градиент называется числом Рэлея Â. Пока число Рэлея не слишком велико, жидкость остается спокойной, а тепло переносится за счет теплопроводности. Однако, если Â превосходит некоторое определенное значение, в жидкости внезапно возникает конвективное движение. Конвективные структуры весьма регулярны и могут образовывать либо цилиндрические, либо гексагональные конфигурации. Шестиугольники представляют собой вид сверху конвективных ячеек. Жидкость поднимается в центре ячейки и опускается у ее границ или наоборот. Задача состоит в объяснении механизма этого внезапного перехода типа “беспорядок – порядок“ и в предсказании формы и устойчивости ячеек. В более точной теории следует включить в рассмотрение флуктуации.
С этой проблемой тесно связаны вихри Тейлора. Пусть между длинными неподвижным внешним цилиндром и концентрическим ему вращающимся внутренним цилиндром находится слой жидкости. Если скорость вращения внутреннего цилиндра, выраженная в подходящих безразмерных единицах (число Тейлора), достаточно мала, течение жидкости происходит вдоль круговых линий тока (течение Куэтта). Но если число Тейлора превосходит критическое значение, то вдоль аксиального направления появляются пространственно – периодические вихри – вихри Тейлора.
Основные физические величины в этой задаче (ячейки Бенара)– это поле скоростей точке пространства x, y, z,давление р, температура Т. Поле скоростей, давление и температура подчиняются определенным нелинейным уравнениям гидродинамики, которые можно привести к виду с явной зависимостью от числа Рэлея Â, задаваемого извне. При малых значениях мы находим решение, положив компоненты скорости равными нулю. Устойчивость этого решения доказывается путем линеаризации всех уравнений относительно стационарных значений скоростей, давления, температуры, где мы получаем затухающие волны. Если, однако, число Рэлея Â превосходит определенное критическое значение Âкр., решения становятся неустойчивыми. Решения, которые становятся неустойчивыми, определяют набор мод. Реальное поле скоростей и температуры разлагается по этим модам с неизвестными амплитудами. Для амплитуд мод мы получаем нелинейные уравнения, которые приводят к определенным конфигурациям, создающиеся устойчивыми модами. Включая в рассмотрение тепловые флуктуации, мы приходим к задаче, в которой фигурируют детерминированные силы и флуктуирующие силы. Их совместное действие определяет область перехода, где Â » Âкр..
Согласно [7], запишем систему уравнений для нахождения Âкр.:
Dv - Ñw + Âtn = 0
Dt = - vz (3.1)
div v = 0,
где t - малое возмущение температуры, w - малое возмущение квадратичной скорости, n – единичный вектор в напралении оси z, - вертикально вверх
Приводим систему (3.1) к одному уравнению. Применив к первому уравнению операцию rotrot = Ñdiv - D, взяв затем его z – компоненту, получим:
D3t = ÂD2t, (3.2)
(где D2 = ¶2/¶х2 + ¶2/¶у2 – двухмерный лапласиан). Граничные условия на обоих плоскостях:
t = 0, vz = 0, ¶vz/¶z = 0 при z = 0, 1
(последнее эквивалентно, виду уравнения непрерывности, условиям vx = vy = 0, при всех х, у ). Ввиду второго из уравнений (3.1) условия для vz можно заменить условиями для высших производных от t:
¶2t/¶z2 = 0, ¶3t/¶z3 – k2 ¶t/¶z = 0.
Ищем t в виде
t = f(z)j(x,y), j = e ikr, (3.3)
( где k – вектор в плоскости х, у ) и получаем для f(z) уравнение
(d2/dz2 – k2)3f + Âk2f = 0.
Общее решение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию функций ch mz и sh mz, где
m2 = k2 - Â1/ 3k2/ 311/3
с тремя различными значениями корня. Коэффициенты этой комбинации определяются граничными условиями, приводящими к системе алгебраических уравнений, условие совместности которых дает трансцендентное уравнение, корни которого и определяют зависимости k = kn(Â), n = 1, 2, … Обратные функции Â = Â n ( k ) имеют минимум при определенных значениях k; наименьший из этих минимумов и дает значение Âкр. Оно оказывается равным 1708, причем соответствующее значение волнового числа kкр = 3,12 в единицах 1/h.
Таким образом, горизонтальный слой жидкости толщины h с направленным вниз градиентом температуры А становится неустйчивым при
gbAh3/nc > 1708, (3.4)
где c - температуропроводность, n = h/r - кинематическая вязкость, h - динамическая вязкость, b = - r - 1(¶r/¶T) – температурный коэффициент расширения жидкости, r - плотность жидкости.
При Â > Âкр в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскости ху. Все пространство между плоскостями разделяются на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение kкр определяет периодичность, но не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения движения допускают в (3.3) любую функцию j(x, y), удовлетворяющую уравнению (D2 – k2)j = 0. Устранение этой неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-видимому должна осуществляться «двухмерная» структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодичность – система параллельных полос.
В надкритической области вблизи Âкр лишь эта структура оказывается устойчивой по отношению к малым возмущениям; «трехмерные» же призматические структуры оказываются неустойчивыми. Экспериментальные результаты существенно зависят от условий опыта (в том числе от формы и размеров боковых стенок сосуда) и не однозначны. Трехмерная гексагональная структура связана, по – видимому, с влиянием поверхностного натяжения на верхней свободной поверхности, и с температурной зависимостью вязкости жидкости ( здесь вязкость n рассматривалась постоянной ).
Глава 4. Обзор статей по экспериментальному исследованию конвективной неустойчивости
4.1 Нестационарные конвективные возмущения в горизонтальном слое жидкости