Смекни!
smekni.com

Лекции по ТОЭ

Введение

  1. Элементыэлектрическихцепей.

  2. Топологияэлектрическихцепей.

  3. Переменныйток. Изображениесинусоидальныхпеременных.

  4. Элементыцепи синусоидальноготока, векторныедиаграммы икомплексныесоотношениядля них.

  5. Основысимволическогометода расчета.Методы контурныхтоков и узловыхпотенциалов.

  6. Основыматричныхметодов расчетаэлектрическихцепей.

  7. Мощностьв электрическихцепях.

  8. Резонансныеявления в цепяхсинусоидальноготока.

  9. Векторныеи топографическиедиаграммы.Преобразованиелинейныхэлектрическихцепей.

  10. Анализцепей с индуктивносвязаннымиэлементами.

  11. Особенностисоставленияматричныхуравнений приналичии индуктивныхсвязей и ветвейс идеальнымиисточниками.

  12. Методырасчета, основанныена свойствахлинейных цепей.

  13. Методэквивалентногогенератора.Теорема вариаций.

  14. Пассивныечетырехполюсники.

  15. Электрическиефильтры.

  16. Трехфазныеэлектрическиецепи: основныепонятия и схемысоединения.

  17. Расчеттрехфазныхцепей.

  18. Применениевекторныхдиаграмм дляанализа несимметричныхрежимов. Мощностьв трехфазныхцепях.

  19. Методсимметричныхсоставляющих.

  20. Теоремаоб активномдвухполюсникедля симметричныхсоставляющих.

  21. Вращающеесямагнитноеполе. Принципдействияасинхронногои синхронногодвигателей.

  22. Линейныеэлектрическиецепи при несинусоидальныхпериодическихтоках.

  23. Резонансныеявления в цепяхнесинусоидальноготока. Высшиегармоники втрехфазныхцепях.

  24. Переходныепроцессы влинейныхэлектрическихцепях. Классическийметод расчетапереходныхпроцессов.

  25. Методикаи примеры расчетапереходныхпроцессовклассическимметодом.

  26. Определениепостояннойвремени. Переходныепроцессы вR-L-C-цепи.

  27. Операторныйметод расчетапереходныхпроцессов.

  28. Последовательностьрасчета переходныхпроцессовоператорнымметодом. Формулывключения.Переходныепроводимостьи функция понапряжению.

  29. ИнтегралДюамеля. Методпеременныхсостояния.

  30. Нелинейныецепи постоянноготока. Графическиеметоды расчета.

  31. Расчетнелинейныхцепей методомэквивалентногогенератора.Аналитическиеи итерационныеметоды расчетацепей постоянноготока.

  32. Нелинейныемагнитные цепипри постоянныхпотоках.

  33. Общаяхарактеристиказадач и методоврасчета магнитныхцепей.

  34. Особенностинелинейныхцепей переменноготока. Графическийметод расчетас использованиемхарактеристикдля мгновенныхзначений.

  35. Графическиеметоды расчетас использованиемхарактеристикпо первым гармониками действующимзначениям.Феррорезонанс.Аналитическиеметоды расчета.

  36. Методкусочно-линейнойаппроксимации.Метод гармоническогобаланса.

  37. Понятиеоб эквивалентномэллипсе, заменяющемпетлю гистерезиса.Потери в стали.Катушка итрансформаторс ферромагнитнымисердечниками.

  38. Переходныепроцессы внелинейныхцепях. Аналитическиеметоды расчета.

  39. Понятиео графическихметодах анализапереходныхпроцессов внелинейныхцепях. Методыпеременныхсостояния идискретныхмоделей.

  40. Цепис распределеннымипараметрамив стационарныхрежимах: основныепонятия иопределения.

  41. Линиябез искажений.Уравнениялинии конечнойдлины. Определениепараметровдлинной линии.Линия без потерь.Стоячие волны.

  42. Входноесопротивлениедлинной линии.Переходныепроцессы вцепях с распределеннымипараметрами.

  43. Сведениерасчета переходныхпроцессов вцепях с распределеннымипараметрамик нулевым начальнымусловиям. Правилоудвоения волны.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Ивановскийгосударственныйэнергетическийуниверситет

Кафедратеоретическихоснов электротехникии электротехнологии


Доктортехн. наук, профессорА.Н. Голубев

Введение

Теоретическиеосновы электротехники(ТОЭ) являютсябазовым общетехническимкурсом дляэлектротехническихи электроэнергетическихспециальностейвузов. Курс ТОЭрассчитан наизучение втечение трехсеместров исостоит из двухосновных частей:теории цепей(два семестра)и теории электромагнитногополя (один семестр).Данный лекционныйкурс посвященпервой из указанныхчастей ТОЭ-теории линейныхи нелинейныхэлектрическихи магнитныхцепей. Содержаниекурса и последовательностьизложенияматериала внем в целомсоответствуютпрограммедисциплиныТОЭ для электротехническихи электроэнергетическихспециальностейвузов.

Цельданного курсасостоит в том,чтобы датьстудентамдостаточнополное представлениеоб электрическихи магнитныхцепях и их составныхэлементах, ихматематическихописаниях,основных методаханализа и расчетаэтих цепей встатическихи динамическихрежимах работы,т.е. в созданиинаучной базыдля последующегоизучения различныхспециальныхэлектротехническихдисциплин.

Задачикурса заключаютсяв освоениитеории физическихявлений, положенныхв основу созданияи функционированияразличныхэлектротехническихустройств, атакже в привитиипрактическихнавыков использованияметодов анализаи расчетаэлектрическихи магнитныхцепей для решенияширокого кругазадач.

Врезультатеизучения курсастудент должензнать основныеметоды анализаи расчетаустановившихсяпроцессов влинейных инелинейныхцепях с сосредоточеннымипараметрами,в линейныхцепях несинусоидальноготока, в линейныхцепях с распределеннымипараметрами,основные методыанализа и расчетапереходныхпроцессов вуказанных цепяхи уметь применятьих на практике.

Знанияи навыки, полученныепри изученииданного курса,являются базойдля освоениятаких дисциплин,как: математическиеосновы теорииавтоматическогоуправления,теория автоматическогоуправления,электропривод,промышленнаяэлектроника,электроснабжениепромышленныхпредприятий,переходныепроцессы вэлектрическихсистемах,электрическиеизмерения ит. д.

Приизучении дисциплиныпредполагается,что студентимеет соответствующуюматематическуюподготовкув областидифференциальногои интегральногоисчислений,линейной инелинейнойалгебры, комплексныхчисел и тригонометрическихфункций, а такжезнаком с основнымипонятиями изаконамиэлектричестваи магнетизма,рассматриваемымив курсе физики.

Курсрассчитан на86 лекционныхчасов и включаетв себя следующиеосновные разделы:

-теориялинейных цепейсинусоидальногои, как частныйслучай, постоянноготока;

-основытеории пассивныхчетырехполюсникови фильтров;

-трехфазныеэлектрическиецепи;

-линейныецепи при периодическихнесинусоидальныхтоках;

-переходныепроцессы влинейныхэлектрическихцепях;

-нелинейныеэлектрическиеи магнитныецепи при постоянныхи переменныхтоках и магнитныхпотоках встационарныхрежимах;

-переходныепроцессы внелинейныхцепях;

-установившиесяи переходныепроцессы вцепях с распределеннымипараметрами.

Приподготовкелекционногокурса былииспользованыизвестныеучебники, сборникии пособия [1…12],а также методическиеразработкикафедры ТОЭЭИГЭУ.

Рекомендуемаяучебно-методическаялитературапо дисциплине:

  1. БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.

  2. Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

  3. Теоретическиеосновыэлектротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.М.:Энергия, 1972.–240с.

  4. Теоретическиеосновыэлектротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.: Энергия-1972. –200с.

  5. МатхановП.Н.Основы анализаэлектрическихцепей. Линейныецепи: Учеб. дляэлектротехн.и радиотехн.спец. вузов.–3-е изд., перераб.и доп. –М.: Высш.шк., 1990. –400 с.

  6. МатхановП.Н.Основы анализаэлектрическихцепей. Нелинейныецепи: Учеб. дляэлектротехн.спец. вузов.–2-е изд., перераб.и доп. –М.: Высш.шк., 1986. –352 с.

  7. КаплянскийА.Е. идр. Теоретическиеосновы электротехники.Изд. 2-е. Учеб.пособие дляэлектротехническихи энергетическихспециальностейвузов. –М.: Высш.шк., 1972. -448 с.

  8. Теоретическиеосновыэлектротехники.Т. 1. Основы теориилинейных цепей.Под ред. П.А.Ионкина. Учебникдля электротехн.вузов. Изд. 2-е,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1976. –544 с.

  9. Теоретическиеосновыэлектротехники.Т. 2. Нелинейныецепи и основытеории электромагнитногополя. Под ред.П.А. Ионкина.Учебник дляэлектротехн.вузов. Изд. 2-е,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1976. –383 с.

  10. Сборникзадачи упражненийпо теоретическимосновам электротехники:Учеб. пособиедля вузов/ Под.ред. проф. П.А.Ионкина.–М.: Энергоиздат,1982. –768 с.

  11. Сборникзадачи упражненийпо теоретическимосновам электротехники:Учеб. пособиедля вузов/ Под.ред. проф. П.А.Ионкина.–М.: Энергоиздат,1982. –768 с.

  12. Сборникзадачи упражненийпо теоретическимосновам электротехники:Учеб. пособие/Бессонов Л.А.,Демидова И.Г.,Заруди М.Е. идр.; Под ред.Бессонова Л.А.. –2-е изд., перераб.и доп. –М.: Высш.шк., 1980. –472 с.

  13. Основыанализаи расчета линейныхэлектрическихцепей: Учеб.пособие/ Н.А.Кромова.–2-е изд., перераб.и доп.; Иван. гос.энерг. ун-т.–Иваново, 1999. -360с.

  14. ГолубевА.Н.Методы расчетанелинейныхцепей: Учеб.пособие/ Иван.гос. энерг. ун-т.–Иваново, 2002. -212с.


Теория/ ТОЭ/ Лекция N 1.Элементыэлектрическихцепей.


Электромагнитныепроцессы,протекающиев электротехническихустройствах,как правило,достаточносложны. Однаково многихслучаях, ихосновныехарактеристикиможно описатьс помощью такихинтегральныхпонятий, как:напряжение,ток, электродвижущаясила (ЭДС). Притаком подходесовокупностьэлектротехническихустройств,состоящуюиз соответствующимобразом соединенныхисточникови приемниковэлектрическойэнергии,предназначенныхдля генерации,передачи,распределенияи преобразованияэлектрическойэнергии и (или)информации,рассматриваюткак электрическуюцепь.Электрическаяцепь состоитиз отдельныхчастей (объектов),выполняющихопределенныефункции иназываемыхэлементамицепи.Основнымиэлементамицепи являютсяисточники иприемникиэлектрическойэнергии (сигналов).Электротехническиеустройства,производящиеэлектрическуюэнергию, называютсягенераторамиили источникамиэлектрическойэнергии,а устройства,потребляющиеее – приемниками(потребителями)электрическойэнергии.

Укаждого элементацепи можновыделитьопределенноечисло зажимов(полюсов),с помощью которыхон соединяетсяс другимиэлементами.Различаютдвух–и многополюсныеэлементы.Двухполюсникиимеют два зажима.К ним относятсяисточникиэнергии (заисключениемуправляемыхи многофазных),резисторы,катушки индуктивности,конденсаторы.Многополюсныеэлементы –это, например,триоды, трансформаторы,усилители ит.д.

Всеэлементыэлектрическойцепи условноможно разделитьна активныеи пассивные.Активнымназываетсяэлемент, содержащийв своей структуреисточникэлектрическойэнергии. Кпассивнымотносятсяэлементы, вкоторых рассеивается(резисторы)или накапливается(катушка индуктивностии конденсаторы)энергия. Косновнымхарактеристикамэлементовцепи относятсяих вольт-амперные,вебер-амперныеи кулон-вольтныехарактеристики,описываемыедифференциальнымиили (и) алгебраическимиуравнениями.Если элементыописываютсялинейнымидифференциальнымиили алгебраическимиуравнениями,то они называютсялинейными,в противномслучае ониотносятся кклассу нелинейных.Строго говоря,все элементыявляютсянелинейными.Возможностьрассмотренияих как линейных,что существенноупрощаетматематическоеописание ианализ процессов,определяетсяграницамиизмененияхарактеризующихих переменныхи их частот.Коэффициенты,связывающиепеременные,их производныеи интегралыв этих уравнениях,называютсяпараметрамиэлемента.

Еслипараметрыэлемента неявляютсяфункциямипространственныхкоординат,определяющихего геометрическиеразмеры, тоон называетсяэлементом ссосредоточеннымипараметрами.Если элементописываетсяуравнениями,в которые входятпространственныепеременные,то он относитсяк классу элементовс распределеннымипараметрами.Классическимпримеромпоследнихявляется линияпередачиэлектроэнергии(длинная линия).

Цепи,содержащиетолько линейныеэлементы,называютсялинейными.Наличие в схемехотя бы одногонелинейногоэлемента относитее к классунелинейных.

Рассмотримпассивныеэлементы цепи,их основныехарактеристикии параметры.

1.Резистивныйэлемент (резистор)

Условноеграфическоеизображениерезистораприведенона рис. 1,а. Резистор– это пассивныйэлемент,характеризующийсярезистивнымсопротивлением.Последнееопределяетсягеометрическимиразмерамитела и свойствамиматериала:удельнымсопротивлением(Омм) или обратнойвеличиной –удельнойпроводимостью

(См/м).

Впростейшемслучае проводникадлиной

исечением S егосопротивлениеопределяетсявыражением

.

В

общем случаеопределениесопротивлениясвязано срасчетом поляв проводящейсреде, разделяющейдва электрода.

Основнойхарактеристикойрезистивногоэлемента являетсязависимость

(или
),называемаявольт-ампернойхарактеристикой(ВАХ). Если зависимость
представляетсобой прямуюлинию, проходящуючерез началокоординат(см.рис. 1,б), торезисторназываетсялинейным иописываетсясоотношением

или

,

где

-проводимость.При этом R=const.

Нелинейныйрезистивныйэлемент, ВАХкоторогонелинейна(рис. 1,б), как будетпоказано вблоке лекций,посвященныхнелинейнымцепям, характеризуетсянесколькимипараметрами.В частностибезынерционномурезисторуставятся всоответствиестатическое

идифференциальное
сопротивления.

2.Индуктивныйэлемент (катушкаиндуктивности)

Условноеграфическоеизображениекатушки индуктивностиприведенона рис. 2,а. Катушка– это пассивныйэлемент,характеризующийсяиндуктивностью.Для расчетаиндуктивностикатушки необходиморассчитатьсозданноеею магнитноеполе.

Индуктивностьопределяетсяотношениемпотокосцепленияк току, протекающемупо виткамкатушки,

.

Всвою очередьпотокосцеплениеравно суммепроизведенийпотока, пронизывающеговитки, на числоэтих витков

,где
.

Основнойхарактеристикойкатушки индуктивностиявляетсязависимость

,называемаявебер-ампернойхарактеристикой.Для линейныхкатушек индуктивностизависимость
представляетсобой прямуюлинию, проходящуючерез началокоординат(см. рис. 2,б); приэтом

.

Нелинейныесвойства катушкииндуктивности(см. кривую

нарис. 2,б) определяетналичие у неесердечникаиз ферромагнитногоматериала,для которогозависимость
магнитнойиндукции отнапряженностиполя нелинейна.Без учета явлениямагнитногогистерезисанелинейнаякатушка характеризуетсястатической
идифференциальной
индуктивностями.

3.Емкостныйэлемент (конденсатор)

Условноеграфическоеизображениеконденсатораприведенона рис. 3,а.

Конденсатор– это пассивныйэлемент,характеризующийсяемкостью. Длярасчета последнейнеобходиморассчитатьэлектрическоеполе в конденсаторе.Емкость определяетсяотношениемзаряда q наобкладкахконденсаторак напряжениюu между ними

изависит отгеометрииобкладок исвойств диэлектрика,находящегосямежду ними.Большинстводиэлектриков,используемыхна практике,линейны, т.е.у них относительнаядиэлектрическаяпроницаемость

=const. В этом случаезависимость
представляетсобой прямуюлинию, проходящуючерез началокоординат,(см. рис. 3,б) и

.

Унелинейныхдиэлектриков(сегнетоэлектриков)диэлектрическаяпроницаемостьявляется функциейнапряженностиполя, что обусловливаетнелинейностьзависимости

(рис.3,б). В этом случаебез учета явленияэлектрическогогистерезисанелинейныйконденсаторхарактеризуетсястатической
идифференциальной
емкостями.

Схемызамещенияисточниковэлектрическойэнергии

Свойстваисточникаэлектрическойэнергии описываютсяВАХ

,называемойвнешнейхарактеристикойисточника.Далее в этомразделе дляупрощенияанализа иматематическогоописания будутрассматриватьсяисточникипостоянногонапряжения(тока). Однаковсе полученныепри этомзакономерности,понятия иэквивалентныесхемы в полноймере распространяютсяна источникипеременноготока. ВАХ источникаможет бытьопределенаэкспериментальнона основе схемы,представленнойна рис. 4,а. Здесьвольтметр Vизмеряетнапряжениена зажимах1-2 источникаИ, а амперметрА – потребляемыйот него токI, величинакоторого можетизменятьсяс помощьюпеременногонагрузочногорезистора(реостата) RН.

Вобщем случаеВАХ источникаявляетсянелинейной(кривая 1 на рис.4,б). Она имеетдве характерныеточки, которыесоответствуют:

а– режимухолостогохода

;

б–режиму короткогозамыкания

.

Длябольшинстваисточниковрежим короткогозамыкания(иногда холостогохода) являетсянедопустимым.Токи и напряженияисточникаобычно могутизменятьсяв определенныхпределах,ограниченныхсверху значениями,соответствующиминоминальномурежиму(режиму, прикотором изготовительгарантируетнаилучшиеусловия егоэксплуатациив отношенииэкономичностии долговечностисрока службы).Это позволяетв ряде случаевдля упрощениярасчетоваппроксимироватьнелинейнуюВАХ на рабочемучастке m-n (см.рис. 4,б) прямой,положениекоторой определяетсярабочимиинтерваламиизменениянапряженияи тока. Следуетотметить, чтомногие источники(гальваническиеэлементы,аккумуляторы)имеют линейныеВАХ.

Прямая2 на рис. 4,б описываетсялинейнымуравнением

где

-напряжениена зажимахисточникапри отключеннойнагрузке(разомкнутомключе К в схемена рис. 4,а);
-внутреннеесопротивлениеисточника.

Уравнение(1) позволяетсоставитьпоследовательнуюсхему замещенияисточника(см. рис. 5,а). Наэтой схемесимволом Еобозначенэлемент, называемыйидеальнымисточникомЭДС.Напряжениена зажимахэтого элемента

независит оттока источника,следовательно,ему соответствуетВАХ на рис. 5,б.На основании(1) у такого источника
.Отметим, чтонаправленияЭДС и напряженияна зажимахисточникапротивоположны.

ЕслиВАХ источникалинейна, тодля определенияпараметровего схемызамещениянеобходимопровести замерынапряженияи тока для двухлюбых режимовего работы.

Существуеттакже параллельнаясхема замещенияисточника.Для ее описанияразделим левуюи правую частисоотношения(1) на

.В результатеполучим

или

,

(2)

где

;
-внутренняяпроводимостьисточника.

Уравнению(2) соответствуетсхема замещенияисточникана рис. 6,а.

Наэтой схемесимволом Jобозначенэлемент, называемыйидеальнымисточникомтока.Ток в ветвис этим элементомравен

ине зависитот напряженияна зажимахисточника,следовательно,ему соответствуетВАХ на рис. 6,б.На этом основаниис учетом (2) утакого источника
,т.е. его внутреннеесопротивление
.

Отметим,что в расчетномплане привыполненииусловия

последовательнаяи параллельнаясхемы замещенияисточникаявляютсяэквивалентными.Однако в энергетическомотношенииони различны,поскольку врежиме холостогохода дляпоследовательнойсхемы замещениямощность равнанулю, а дляпараллельной– нет.

Кромеотмеченныхрежимовфункционированияисточника,на практикеважное значениеимеет согласованныйрежимработы, прикотором нагрузкойRН от источникапотребляетсямаксимальнаямощность

,

(3)

Условиетакого режима

,

(4)

Взаключениеотметим, чтов соответствиис ВАХ на рис.5,б и 6,б идеальныеисточникиЭДС и токаявляютсяисточникамибесконечнобольшой мощности.

Литература

  1. Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

  2. БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.

  3. Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия,1972. –240 с.

  4. КаплянскийА.Е.и др. Теоретическиеосновы электротехники.Изд. 2-е. Учеб.пособие дляэлектротехническихи энергетическихспециальностейвузов. –М.: Высш.шк., 1972. –448 с.

Контрольныевопросы и задачи

  1. Можетли внешняяхарактеристикисточникапроходитьчерез началокоординат?

  2. Какойрежим (холостойход или короткоезамыкание)являетсяаварийнымдля источникатока?

  3. В чемзаключаютсяэквивалентностьи различиепоследовательнойи параллельнойсхем замещенияисточника?

  4. ОпределитьиндуктивностьL и энергиюмагнитногополя WМкатушки,если при токев ней I=20А потокосцепление=2 Вб.

Ответ:L=0,1 Гн; WМ=40 Дж.

  1. Определитьемкость С иэнергию электрическогополя WЭконденсатора,если при напряжениина его обкладкахU=400 В заряд конденсатораq=0,210-3 Кл.

Ответ:С=0,5 мкФ; WЭ=0,04 Дж.

  1. Угенераторапостоянноготока при токев нагрузкеI1=50Анапряжениена зажимахU1=210 В,а притоке,равном I2=100А, оноснижаетсядо U2=190 В.

  2. Определитьпараметрыпоследовательнойсхемы замещенияисточникаи ток короткогозамыкания.

Ответ:

  1. Вывестисоотношения(3) и (4) и определитьмаксимальнуюмощность,отдаваемуюнагрузке, поусловиямпредыдущейзадачи.

Ответ:


Теория/ ТОЭ/ Лекция N 2.Топологияэлектрическойцепи.


Электрическаяцепь характеризуетсясовокупностьюэлементов,из которыхона состоит,и способомих соединения.Соединениеэлементовэлектрическойцепи наглядноотображаетсяее схемой.Рассмотримдля примерадве электрическиесхемы (рис. 1,2), введя понятиеветви и узла.

Ветвьюназываетсяучасток цепи,обтекаемыйодним и темже током.

Узел– место соединениятрех и болееветвей.

Представленныесхемы различныи по форме, ипо назначению,но каждая изуказанныхцепей содержитпо 6 ветвей и4 узла, одинаковосоединенных.Таким образом,в смысле геометрии(топологии)соединенийветвей данныесхемы идентичны.

Т

опологические(геометрические)свойстваэлектрическойцепи не зависятот типа и свойствэлементов,из которыхсостоит ветвь.Поэтому целесообразнокаждую ветвьсхемы электрическойцепи изобразитьотрезком линии.Если каждуюветвь схемна рис. 1 и 2 заменитьотрезком линии,получаетсягеометрическаяфигура, показаннаяна рис. 3.

Условноеизображениесхемы, в которомкаждая ветвьзаменяетсяотрезком линии,называетсяграфомэлектрическойцепи.При этом следуетпомнить, чтоветви могутсостоять изкаких-либоэлементов,в свою очередьсоединенныхразличнымобразом.

Отрезоклинии, соответствующийветви схемы,называетсяветвьюграфа.Граничныеточки ветвиграфа называютузламиграфа.Ветвям графаможет бытьдана определеннаяориентация,указаннаястрелкой. Граф,у котороговсе ветвиориентированы,называетсяориентированным.

Подграфомграфа называетсячасть графа,т.е. это можетбыть одна ветвьили один изолированныйузел графа,а также любоемножествоветвей и узлов,содержащихсяв графе.

Втеории электрическихцепей важноезначение имеютследующиеподграфы:

1.Путь– это упорядоченнаяпоследовательностьветвей, в которойкаждые двесоседние ветвиимеют общийузел, причемлюбая ветвьи любой узелвстречаютсяна этом путитолько одинраз. Например,в схеме на рис.3 ветви 2-6-5;4-5; 3-6-4; 1образуют путимежду однойи той же паройузлов 1и 3.Таким образом,путь – этосовокупностьветвей, проходимыхнепрерывно.

2.Контур– замкнутыйпуть, в которомодин из узловявляетсяначальным иконечным узломпути. Например,для графа порис. 3 можноопределитьконтуры, образованныеветвями 2-4-6;3-5-6; 2-3-5-4.Если междулюбой паройузлов графасуществуетсвязь, то графназывают связным.

3.Дерево– это связныйподграф, содержащийвсе узлы графа,но ни одногоконтура. Примерамидеревьев дляграфа на рис.3 могут служитьфигуры на рис.4.

Рис.4

4.Ветви связи(дополнениядерева)– это ветвиграфа, дополняющиедерево доисходногографа.

Еслиграф содержитmузлов и nветвей, то числоветвей любогодерева

,а числа ветвейсвязи графа
.

5.Сечение графа– множествоветвей, удалениекоторых делитграф на дваизолированныхподграфа, одиниз которых,в частности,может бытьотдельнымузлом.

Сечениеможно наглядноизобразитьв виде следанекоторойзамкнутойповерхности,рассекающейсоответствующиеветви. Примерамитаких поверхностейявляются длянашего графана рис. 3 S1иS2. При этом получаемсоответственносечения, образованныеветвями 6-4-5и6-2-1-5.

Спонятием деревасвязаны понятияглавных контурови сечений:

  • главныйконтур– контур, состоящийиз ветвей дереваи только однойветви связи;

  • главноесечение –сечение, состоящееиз ветвей связии только однойветви дерева.

Топологическиематрицы

Задатьвычислительноймашине топологиюцепи рисункомзатруднительно,так как несуществуетэффективныхпрограммраспознаванияобраза. Поэтомутопологиюцепи вводятв ЭВМ в видематриц, которыеназываюттопологическимиматрицами.Выделяют тритаких матрицы:узловую матрицу,контурнуюматрицу и матрицусечений.

1.Узловая матрица(матрица соединений)– это таблицакоэффициентовуравнений,составленныхпо первомузакону Кирхгофа.Строки этойматрицы соответствуютузлам, а столбцы– ветвям схемы.

Дляграфа на рис.3 имеем числоузлов m=4и число ветвейn=6.Тогдазапишем матрицуАН, принимая, чтоэлемент матрицы

(i–номерстроки; j–номерстолбца) равен1,если ветвьjсоединена сузлом iиориентированаот него, -1,если ориентированак нему, и 0,если ветвьjне соединенас узломi.Сориентировавветви графана рис. 3, получим


     

.Даннаяматрица АНзаписана длявсех четырехузлов и называетсянеопределенной.Следует указать,что суммаэлементовстолбцов матрицыАНвсегда равнанулю, так каккаждый столбецсодержит одинэлемент +1и один элемент-1,остальныенули.

Обычнопри расчетаходин (любой)заземляют.Тогда приходимк узловой матрицеА(редуцированнойматрице), котораяможет бытьполучена изматрицы АНпутем вычеркиваниялюбой ее строки.Например, привычеркиваниистроки “4”получим



   

.Числострок матрицыАравно числунезависимыхуравненийдля узлов

,т.е. числу уравнений,записываемыхдля электрическойсхемы по первомузакону Кирхгофа.Итак, введяпонятие узловойматрицы А,перейдем кпервому законуКирхгофа.

Первыйзакон Кирхгофа

Обычнопервый законКирхгофазаписываетсядля узлов схемы,но, строгоговоря, онсправедливне только дляузлов, но и длялюбой замкнутойповерхности,т.е. справедливосоотношение

(1)

где

-вектор плотноститока;
-нормаль к участкуdSзамкнутойповерхностиS.

Первыйзакон Кирхгофасправедливи для любогосечения. Вчастности,для сеченияS2графана рис. 3, считая,что нумерацияи направлениятоков в ветвяхсоответствуютнумерации ивыбраннойориентацииветвей графа,можно записать

.

Посколькув частном случаеветви сечениясходятся вузле, то первыйзакон Кирхгофасправедливи для него. Покабудем применятьпервый законКирхгофа дляузлов, чтоматематическиможно записать,как:

(2)

т.е.алгебраическаясумма токовветвей, соединенныхв узел, равнанулю.

Приэтом при расчетахуравненияпо первомузакону Кирхгофазаписываютсядля (m-1)узлов,так как призаписи уравненийдля всех mузловодно (любое)из них будетлинейно зависимымот других, т.е.не дает дополнительнойинформации.

Введемстолбцовуюматрицу токовветвей

I=

Тогдапервый законКирхгофа вматричнойформе записиимеет вид:

АI=O

(3)

–гдеO-нулеваяматрица-столбец.Как видим, вкачестве узловойвзята матрицаА,ане АН,т.к. с учетомвышесказанногоуравненияпо первомузакону Кирхгофазаписываютсядля (m-1)узлов.

Вкачестве примеразапишем длясхемы на рис.3

Отсюдадля первогоузла получаем

,

чтои должно иметьместо.

2.Контурнаяматрица (матрицаконтуров)– это таблицакоэффициентовуравнений,составленныхпо второмузакону Кирхгофа.Строки контурнойматрицы Всоответствуютконтурам, астолбцы – ветвямсхемы.

ЭлементbijматрицыВравен 1,если ветвьjвходитв контур iиее ориентациясовпадает снаправлениемобхода контура,-1,если не совпадаетс направлениемобхода контура,и 0,если ветвьjневходит в контурi.

МатрицуВ,записаннуюдля главныхконтуров,называют матрицейглавных контуров.При этом занаправлениеобхода контурапринимаютнаправлениеветви связиэтого контура.Выделив в нашемпримере (см.рис. 5) дерево,образуемоеветвями 2-1-4,запишем коэффициентыдля матрицыВ.

 



.

Перейдемтеперь ко второмузакону Кирхгофа.

Поднапряжениемна некоторомучастке электрическойцепи понимаетсяразностьпотенциаловмежду крайнимиточками этогоучастка, т.е.

(4)

Просуммируемнапряженияна ветвяхнекоторогоконтура:

Посколькупри обходеконтура потенциалкаждой i-ойточки встречаетсядва раза, причемодин раз с “+”,а второй – с“-”, то в целомсумма равнанулю.

Такимобразом, второйзакон Кирхгофаматематическизаписывается,как:

(5)

-и имеет местоследующуюформулировку:алгебраическаясумма напряженийна зажимахветвей (элементов)контура равнанулю. При этомпри расчетецепей с использованиемзаконов Кирхгофазаписывается

независимыхуравненийпо второмузакону Кирхгофа,т.е. уравнений,записываемыхдля контуров,каждый из которыхотличаетсяот других хотябы одной ветвью.Значениетопологическогопонятия “дерева”:дерево позволяетобразоватьнезависимыеконтуры и сеченияи, следовательно,формироватьнезависимыеуравненияпо законамКирхгофа. Такимобразом, с учетом(m-1)уравнений,составленныхпо первомузакону Кирхгофа,получаем системуиз
уравнений,что равно числуветвей схемыи, следовательно,токи в нихнаходятсяоднозначно.

Введемстолбцовуюматрицу напряженийветвей

U=

Тогдавторой законКирхгофа вматричнойформе записиимеет вид

BU= 0.

(6)

Вкачестве примерадля схемы рис.5 имеем

,

откуда,например, дляпервого контураполучаем

,

чтои должно иметьместо.

Есливвести столбцовуюматрицу узловыхпотенциалов

=

причемпотенциалпоследнегоузла

,то матрицанапряженийветвей и узловыхпотенциаловсвязаны соотношением

U=AТ

(7)

гдеAТ-транспонированнаяузловая матрица.

Дляопределенияматрицы Впо известнойматрице А=АДАС, гдеАД– подматрица,соответствующаяветвям некоторогодерева, АС-подматрица,соответствующаяветвям связи,может бытьиспользованосоотношениеВ=(ТСА-1ТД1).

3.Матрица сечений– это таблицакоэффициентовуравнений,составленныхпо первомузакону Кирхгофадля сечений.Ее строкисоответствуютсечениям, астолбцы – ветвямграфа.

МатрицаQ,составленнаядля главныхсечений, называетсяматрицейглавных сечений.Число строкматрицы Qравночислу независимыхсечений.

ЭлементqijматрицыQравен 1,если ветвьвходитв i-есечение иориентированасогласнонаправлениюсечения (заположительноенаправлениесечения принимаютнаправлениеветви дерева,входящей внего), -1,если ориентированапротивоположнонаправлениюсечения, и 0,если ветвьjневходит в i-есечение.

Вкачестве примерасоставим матрицуQглавныхсечений дляграфа на рис.5. При указаннойна рис. 5 ориентацииветвей имеем



Взаключениеотметим, чтодля топологическихматриц А,Ви Q,составленныхдля одногои того же графа,выполняютсясоотношения

АВТ=0;

(8)


Т=0,

(9)

которые,в частности,можно использоватьдля проверкиправильностисоставленияэтих матриц.Здесь 0– нулевая матрицапорядка

.

Приведенныеуравненияпозволяютсделать важноезаключение:зная одну изтопологическихматриц, по ееструктуреможно восстановитьостальные.

Литература

1.Теоретическиеосновы электротехники.Т.1. Основы теориилинейныхцепей./Под ред.П.А.Ионкина.Учебник дляэлектротехн.вузов. Изд.2-е, перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1976.-544с.

2.МатхановХ.Н.Основы анализаэлектрическихцепей. Линейныецепи.: Учеб. дляэлектротехн.и радиотехн.спец. 3-е изд.переработ.и доп. –М.: Высш.шк., 1990. –400с.

3.Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.


Контрольныевопросы и задачи

  1. Сформулируйтеосновныетопологическиепонятия дляэлектрическихцепей.

  2. Чтотакое узловаяматрица?

  3. Чтотакое контурнаяматрица?

  4. Чтотакое матрицасечений?

  5. Токиветвей некоторойпланарнойцепи удовлетворяютследующейполной системенезависимыхуравнений:

.

Восстановивграф цепи,составитьматрицы главныхконтуров исечений, приняв,что ветвямдерева присвоеныпервые номера.

Ответ:

B=

Q=

  1. Составитьматрицу главныхконтуров дляграфа на рис.3, приняв, чтодерево образовановетвями 2, 1 и 5

Ответ:

B=

  1. Решитьзадачу 5, используясоотношения(8) и (9).


   Теория/ ТОЭ/ Лекция N 3.Представлениесинусоидальныхвеличин с помощьювекторов икомплексныхчисел.


Переменныйток долгоевремя не находилпрактическогоприменения. Это было связанос тем, что первыегенераторыэлектрическойэнергии вырабатывалипостоянныйток, которыйвполне удовлетворялтехнологическимпроцессамэлектрохимии,а двигателипостоянноготока обладаютхорошимирегулировочнымихарактеристиками.Однако по мереразвитияпроизводствапостоянныйток все менеестал удовлетворятьвозрастающимтребованиямэкономичногоэлектроснабжения.Переменныйток дал возможностьэффективногодробленияэлектрическойэнергии иизменениявеличинынапряженияс помощьютрансформаторов.Появиласьвозможностьпроизводстваэлектроэнергиина крупныхэлектростанцияхс последующимэкономичнымее распределениемпотребителям,увеличилсярадиус электроснабжения.

Внастоящеевремя центральноепроизводствои распределениеэлектрическойэнергии осуществляетсяв основномна переменномтоке. Цепи сизменяющимися– переменными– токами посравнению сцепями постоянноготока имеютряд особенностей.Переменныетоки и напряжениявызываютпеременныеэлектрическиеи магнитныеполя. В результатеизмененияэтих полейв цепях возникаютявления самоиндукциии взаимнойиндукции, которыеоказываютсамое существенноевлияние напроцессы,протекающиев цепях, усложняяих анализ.

Переменнымтоком (напряжением,ЭДС и т.д.)называетсяток (напряжение,ЭДС и т.д.), изменяющийсяво времени.Токи, значениякоторых повторяютсячерез равныепромежуткивремени в однойи той же последовательности,называютсяпериодическими,анаименьшийпромежутоквремени, черезкоторый этиповторениянаблюдаются,- периодомТ.Для периодическоготока имеем

Величина,обратная периоду,есть частота, измеряемаяв герцах (Гц):

,

(2)

Диапазончастот, применяемыхв технике: отсверхнизкихчастот (0.01ё10 Гц– в системахавтоматическогорегулирования,в аналоговойвычислительнойтехнике) – досверхвысоких(3000 ё 300000 МГц – миллиметровыеволны: радиолокация,радиоастрономия).В РФ промышленнаячастота  f= 50Гц.

Мгновенноезначениепеременнойвеличины естьфункция времени.Ее принятообозначатьстрочной буквой:

i - мгновенноезначение тока

;

u–мгновенноезначениенапряжения

;

е-мгновенноезначение ЭДС

;

р-мгновенноезначение мощности

.

Наибольшеемгновенноезначениепеременнойвеличины запериод называетсяамплитудой(ее принятообозначатьзаглавнойбуквой с индексомm).

 -амплитудатока;

 -амплитуданапряжения;

 -амплитудаЭДС.

Действующеезначениепеременноготока

Значениепериодическоготока, равноетакому значениюпостоянноготока, которыйза время одногопериода произведеттот же самыйтепловой илиэлектродинамическийэффект, чтои периодическийток, называютдействующимзначениемпериодическоготока:

,

(3)

Аналогичноопределяютсядействующиезначения ЭДСи напряжения.


Синусоидальноизменяющийсяток

Извсех возможныхформ периодическихтоков наибольшеераспространениеполучил синусоидальныйток. По сравнениюс другими видамитока синусоидальныйток имеет топреимущество,что позволяетв общем случаенаиболееэкономичноосуществлятьпроизводство,передачу,распределениеи использованиеэлектрическойэнергии. Толькопри использованиисинусоидальноготока удаетсясохранитьнеизменнымиформы кривыхнапряженийи токов на всехучастках сложнойлинейной цепи.Теория синусоидальноготока являетсяключом к пониманиютеории другихцепей.

ИзображениесинусоидальныхЭДС, напряжений
итоков на плоскостидекартовыхкоординат

Синусоидальныетоки и напряженияможно изобразитьграфически,записать припомощи уравненийс тригонометрическимифункциями,представитьв виде векторовна декартовойплоскостиили комплекснымичислами.

Приведеннымна рис. 1, 2 графикамдвух синусоидальныхЭДС е1ие2соответствуютуравнения:

.


Значенияаргументовсинусоидальныхфункций
 и
 называютсяфазамисинусоид,а значениефазы в начальныймомент времени(t=0):
 и
 -начальнойфазой (
).

Величину

,характеризующуюскоростьизмененияфазового угла,называют угловойчастотой. Таккак фазовыйугол синусоидыза время одногопериода Тизменяетсяна
 рад.,то угловаячастота есть
,где f–частота.

Присовместномрассмотрениидвух синусоидальныхвеличин однойчастоты разностьих фазовыхуглов, равнуюразностиначальныхфаз, называютугломсдвига фаз.

ДлясинусоидальныхЭДС е1ие2уголсдвига фаз:

.


Векторноеизображениесинусоидально
изменяющихсявеличин

Надекартовойплоскостииз началакоординатпроводят векторы,равные по модулюамплитуднымзначениямсинусоидальныхвеличин, ивращают этивекторы противчасовой стрелки(вТОЭ данноенаправлениепринято заположительное)с угловойчастотой, равнойw.Фазовый уголпри вращенииотсчитываетсяот положительнойполуоси абсцисс.Проекциивращающихсявекторов наось ординатравны мгновеннымзначениямЭДС е1ие2(рис.3). Совокупностьвекторов,изображающихсинусоидальноизменяющиесяЭДС, напряженияи токи, называютвекторнымидиаграммами.Припостроениивекторныхдиаграмм векторыудобно располагатьдля начальногомомента времени(t=0),чтовытекает изравенстваугловых частотсинусоидальныхвеличин иэквивалентнотому, что системадекартовыхкоординатсама вращаетсяпротив часовойстрелки соскоростьюw.Таким образом,в этой системекоординатвекторы неподвижны(рис. 4). Векторныедиаграммынашли широкоеприменениепри анализецепей синусоидальноготока. Их применениеделает расчетцепи болеенаглядным ипростым. Этоупрощениезаключаетсяв том, что сложениеи вычитаниемгновенныхзначений величинможно заменитьсложением ивычитаниемсоответствующихвекторов.


Пусть,например, вточке разветвленияцепи (рис. 5) общийток

 равенсумме токов
 и
 двухветвей:

.

Каждыйиз этих токовсинусоидалени может бытьпредставленуравнением

и
.

Результирующийток также будетсинусоидален:

.

Определениеамплитуды

 и начальнойфазы
 этоготока путемсоответствующихтригонометрическихпреобразованийполучаетсядовольногромоздкими мало наглядным,особенно, еслисуммируетсябольшое числосинусоидальныхвеличин. Значительнопроще этоосуществляетсяс помощьювекторнойдиаграммы.
Нарис. 6 изображеныначальныеположениявекторов токов,проекции которыхна ось ординатдают мгновенныезначения токовдля t=0.Привращении этихвекторов содинаковойугловой скоростьюwихвзаимноерасположениене меняется,и угол сдвигафаз между нимиостается равным
.

Таккак алгебраическаясумма проекцийвекторов наось ординатравна мгновенномузначению общеготока, векторобщего токаравен геометрическойсумме векторовтоков:

.

Построениевекторнойдиаграммы вмасштабепозволяетопределитьзначения

 и
 издиаграммы,после чегоможет бытьзаписано решениедля мгновенногозначения
 путемформальногоучета угловойчастоты:
.


ПредставлениесинусоидальныхЭДС, напряжений
итоков комплекснымичислами

Геометрическиеоперации свекторамиможно заменитьалгебраическимиоперациямис комплекснымичислами, чтосущественноповышает точностьполучаемыхрезультатов.

К

аждомувектору накомплекснойплоскостисоответствуетопределенноекомплексноечисло, котороеможет бытьзаписано в:

показательной   

тригонометрической  

   или

алгебраической    

 -формах.

Например,ЭДС

,изображеннойна рис. 7 вращающимсявектором,соответствуеткомплексноечисло

.

Фазовыйугол

 определяетсяпо проекциямвектора наоси “+1” и “+j”системы координат,как

 .

Всоответствиис тригонометрическойформой записимнимая составляющаякомплексногочисла определяетмгновенноезначениесинусоидальноизменяющейсяЭДС:

,

(4)


Комплексноечисло

 удобнопредставитьв виде произведениядвух комплексныхчисел:

,

(5)


Параметр

,соответствующийположениювектора дляt=0(илина вращающейсясо скоростьюwкомплекснойплоскости),называюткомплекснойамплитудой:
,а параметр
 -комплексоммгновенногозначения.

Параметр

являетсяоператоромповоротавектора наугол wtотносительноначальногоположениявектора.

Вообщеговоря, умножениевектора наоператор поворота

 естьего поворототносительнопервоначальногоположенияна угол ±a.

Следовательно,мгновенноезначениесинусоидальнойвеличины равномнимой частибез знака “j”произведениякомплексаамплитуды

 иоператораповорота
:

.

Переходот одной формызаписи синусоидальнойвеличины кдругой осуществляетсяс помощью формулыЭйлера:

,

(6)

Если,например,комплекснаяамплитуданапряжениязадана в видекомплексногочисла в алгебраическойформе:

,

-то для записиее в показательнойформе, необходимонайти начальнуюфазу

,т.е. угол, которыйобразует вектор
 сположительнойполуосью +1:

.

Тогдамгновенноезначениенапряжения:

,

где

.

Призаписи выражениядля определенностибыло принято,что

,т.е. что изображающийвектор находитсяв первом иличетвертомквадрантах.Если
,то при
 (второйквадрант)

,

(7)

апри

 (третийквадрант)

(8)

или

(9)

Еслизадано мгновенноезначение токав виде

,то комплекснуюамплитудузаписываютсначала впоказательнойформе, а затем(при необходимости)по формулеЭйлера переходятк алгебраическойформе:

.

Следуетуказать, чтопри сложениии вычитаниикомплексовследует пользоватьсяалгебраическойформой их записи,а при умножениии делении удобнапоказательнаяформа.

Итак,применениекомплексныхчисел позволяетперейти отгеометрическихопераций надвекторами калгебраическимнад комплексами.Так при определениикомплекснойамплитудырезультирующеготока

 порис. 5 получим:


где
;

.


ДействующеезначениесинусоидальныхЭДС, напряженийи токов

Всоответствиис выражением(3) для действующегозначениясинусоидальноготока запишем:

.

Аналогичныйрезультатможно получитьдля синусоидальныхЭДС и напряжений.Таким образом,действующиезначениясинусоидальныхтока, ЭДС инапряженияменьше своихамплитудныхзначений в

 раз:

.

(10)

Поскольку,как будетпоказано далее,энергетическийрасчет цепейпеременноготока обычнопроводитсяс использованиемдействующихзначений величин,по аналогиис предыдущимвведем понятиекомплексадействующегозначения

.


Литература

1.                Основытеориицепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-еизд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

2.                БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.

Контрольныевопросы и задачи

1.    Какойпрактическийсмысл имеетизображениесинусоидальныхвеличин с помощьювекторов?

2.    Какойпрактическийсмысл имеетпредставлениесинусоидальныхвеличин сиспользованиемкомплексныхчисел?

3.    Вчем заключаютсяпреимуществаизображениясинусоидальныхвеличин с помощьюкомплексовпо сравнениюс их векторнымпредставлением?

4.    Длязаданныхсинусоидальныхфункций ЭДСи тока

 записатьсоответствующиеим комплексыамплитуд идействующихзначений, атакже комплексымгновенныхзначений.

5.    Нарис. 5

.Определить
.

Ответ:


   Теория/ ТОЭ/ Лекция N 4.Элементы цеписинусоидальноготока. Векторныедиаграммы икомплексныесоотношениядля них.


1.Резистор

Идеальныйрезистивныйэлемент необладает нииндуктивностью,ни емкостью.Если к немуприложитьсинусоидальноенапряжение

 (см.рис. 1), то ток iчерезнего будетравен

С

оотношение(1) показывает,что ток имеетту же начальнуюфазу, что инапряжение.Таким образом,если на входедвухлучевогоосциллографаподать сигналыuи i,то соответствующиеим синусоидына его экранебудут проходить(см. рис. 2) черезнуль одновременно,т.е. нарезисторенапряжениеи ток совпадаютпо фазе.

Из(1) вытекает:

;

.   


Переходяот синусоидальныхфункций напряженияи тока к соответствующимим комплексам:

;

,

-разделим первыйиз них на второй:

или

.

(2)

Полученныйрезультатпоказывает,что отношениедвух  комплексовесть вещественнаяконстанта.Следовательно,соответствующиеим векторынапряженияи тока (см. рис.3) совпадаютпо направлению.


2.Конденсатор

Идеальныйемкостныйэлемент необладает ниактивнымсопротивлением(проводимостью),ни индуктивностью.Если к немуприложитьсинусоидальноенапряжение

 (см.рис. 4), то ток i черезнего будетравен 

.

(3)


П

олученныйрезультатпоказывает,что напряжениена конденсатореотстает пофазе от токана
/2.
Такимобразом, еслина входы двухлучевогоосциллографаподать сигналыu и i,то на его экранебудет иметьместо картинка,соответствующаярис. 5.

Из(3) вытекает:

;


Введенныйпараметр

 называютреактивнымемкостнымсопротивлениемконденсатора.Как и резистивноесопротивление,
 имеетразмерностьОм.Однако в отличиеот Rданныйпараметр являетсяфункцией частоты,что иллюстрируетрис. 6. Из рис. 6вытекает, чтопри
 конденсаторпредставляетразрыв длятока, а при
 
.

Переходяот синусоидальныхфункций напряженияи тока к соответствующимим комплексам:

;

,

-разделим первыйиз них на второй:

или

.    

(4)


В

последнемсоотношении
 -комплексноесопротивлениеконденсатора.Умножениена
 соответствуетповороту векторана угол
 почасовой стрелке.Следовательно,уравнению(4) соответствуетвекторнаядиаграмма,представленнаяна рис. 7.

3.Катушка индуктивности

Идеальныйиндуктивныйэлемент необладает ниактивнымсопротивлением,ни емкостью.Пусть протекающийчерез неготок (см. рис. 8)определяетсявыражением

.Тогда длянапряженияна зажимахкатушки индуктивностиможно записать

.    

(5)

Полученныйрезультатпоказывает,что напряжениена катушкеиндуктивностиопережаетпо фазе токна

/2.Таким образом,если на входыдвухлучевогоосциллографаподать сигналыuи i,то на его экране(идеальныйиндуктивныйэлемент) будетиметь местокартинка,соответствующаярис. 9.

Из(5) вытекает:






.

Введенныйпараметр

 называютреактивныминдуктивнымсопротивлениемкатушки; егоразмерность– Ом. Как и уемкостногоэлемента этотпараметр являетсяфункцией частоты.Однако в данномслучае этазависимостьимеет линейныйхарактер, чтоиллюстрируетрис. 10. Из рис.10 вытекает, чтопри
 катушкаиндуктивностине оказываетсопротивленияпротекающемучерез неготоку, и при
 
.

Переходяот синусоидальныхфункций напряженияи тока к соответствующимкомплексам:

;

,

разделимпервый из нихна второй:

или

.    

(6)

В

полученномсоотношении
 -комплексное

сопротивлениекатушки индуктивности.Умножениена

 соответствуетповороту векторана угол
 противчасовой стрелки.Следовательно,уравнению(6) соответствуетвекторнаядиаграмма,представленнаяна рис. 11


.4.Последовательноесоединениерезистивногои индуктивногоэлементов


П

устьв ветви на рис.12  
.Тогда

где

,причем пределыизменения
.

Уравнению(7) можно поставитьв соответствиесоотношение

,


которому,в свою очередь,соответствуетвекторнаядиаграммана рис. 13. Векторына рис. 13 образуютфигуру, называемуютреугольникомнапряжений.Аналогичновыражение

графическиможет бытьпредставленотреугольникомсопротивлений(см. рис. 14), которыйподобен треугольникунапряжений.


5.Последовательноесоединениерезистивногои емкостногоэлементов


О

пускаяпромежуточныевыкладки, сиспользованиемсоотношений (2) и  (4) для ветвина рис. 15 можнозаписать

.    

,  

(8)

где

, причем пределыизменения
.





Наоснованииуравнения(7) могут бытьпостроенытреугольникинапряжений(см. рис. 16) и сопротивлений(см. рис. 17), которыеявляютсяподобными.



6.Параллельноесоединениерезистивногои емкостногоэлементов

 

   

Дляцепи на рис.18 имеют местосоотношения:

           

;

,где
 [См]– активнаяпроводимость;

                      

,где
 [См]– реактивнаяпроводимостьконденсатора.






Векторнаядиаграмматоков для даннойцепи, называемаятреугольникомтоков,приведенана рис. 19. Ейсоответствуетуравнение вкомплекснойформе

,

где

     

 -комплекснаяпроводимость;

     

.

Треугольникпроводимостей,подобныйтреугольникутоков, приведенна рис. 20.

Длякомплексногосопротивленияцепи на рис.18 можно записать

.

Необходимоотметить, чтополученныйрезультатаналогиченизвестномуиз курса физикивыражениюдля эквивалентногосопротивлениядвух параллельносоединенныхрезисторов.

7.Параллельноесоединениерезистивногои индуктивногоэлементов

 

   

Дляцепи на рис.21 можно записать

;

          

,где
 [См]– активная  проводимость;

,где
 [См]– реактивнаяпроводимостькатушки индуктивности.

Векторнойдиаграмметоков (рис. 22)для даннойцепи соответствуетуравнение вкомплекснойформе

,

где

     

 -комплекснаяпроводимость;

     

.

Треугольникпроводимостей,подобныйтреугольникутоков, приведенна рис. 23.





Выражениекомплексногосопротивленияцепи на рис.21 имеет вид:

.

Литература

1.    Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

2.    БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.

Контрольныевопросы и задачи

1.    Вчем сущностьреактивныхсопротивлений?

2.    Какойиз элементов:резистор, катушкуиндуктивностиили конденсатор– можно использоватьв качествешунта длянаблюденияза формой тока?

3.    Почемукатушки индуктивностии конденсаторыне используютсяв цепях постоянноготока?

4.    Вветви на рис.12

.Определитькомплексноесопротивлениеветви, есличастота тока
.
Ответ:
.

5.    Вветви на рис.15

.Определитькомплексноесопротивлениеветви, есличастота тока
.
Ответ:
.

6.    Вцепи на рис.18

.Определитькомплексныепроводимостьи сопротивлениецепи для
.
Ответ:
;   
.

7.    Протекающийчерез катушкуиндуктивности

 токизменяетсяпо закону
 А.Определитькомплексдействующегозначениянапряженияна катушке.
Ответ: 
.

   Теория/ ТОЭ/ Лекция N 5.Закон Ома дляучастка цепис источникомЭДС.



Возьмемдва участкацепи a-b иc-d(см.рис.  1) и составимдля них уравненияв комплекснойформе с учетомуказанныхна рис. 1 положительныхнаправленийнапряженийи токов.

     

         

Объединяяоба случая,получим

  

(1)

илидля постоянноготока

.   

(2)


Формулы(1) и (2) являютсяаналитическимвыражениемзакона Омадля участкацепи с источникомЭДС,согласно которомуток на участкецепи с источникомЭДС равеналгебраическойсумме напряженияна зажимахучастка цепии ЭДС, деленнойна сопротивлениеучастка. В случаепеременноготока все указанныевеличины сутькомплексы.При этом ЭДСи напряжениеберут со знаком“+”, если ихнаправлениесовпадает свыбраннымнаправлениемтока, и со знаком“-”, если ихнаправлениепротивоположнонаправлениютока.


Основысимволическогометода расчетацепей
синусоидальноготока


Расчетцепей переменногосинусоидальноготока можетпроизводитьсяне только путемпостроениявекторныхдиаграмм, нои аналитически– путем операцийс комплексами,символическиизображающимисинусоидальныеЭДС, напряженияи токи. Достоинствомвекторныхдиаграмм являетсяих наглядность,недостатком– малая точностьграфическихпостроений.Применениесимволическогометода позволяетпроизводитьрасчеты цепейс большойстепеньюточности.

Символическийметод расчетацепей синусоидальноготока основанна законахКирхгофа изаконе Омав комплекснойформе.

Уравнения,выражающиезаконы Кирхгофав комплекснойформе, имеютсовершеннотакой же вид,как и соответствующиеуравнениядля цепейпостоянноготока. Толькотоки, ЭДС, напряженияи сопротивлениявходят в уравнениев виде комплексныхвеличин.

1.    Первыйзакон Кирхгофав комплекснойформе:

(3)


2.    Второйзакон Кирхгофав комплекснойформе:

(4)


илиприменительнок схемам замещенияс источникамиЭДС

(5)


3.    Соответственноматричнаязапись законовКирхгофа вкомплекснойформе имеетвид:

        первыйзакон Кирхгофа:

.

;   

(6)


        второйзакон Кирхгофа

.

(7)


Пример.

Дано:

Определить: 

1)полное комплексноесопротивлениецепи

;


2)токи


Рис.2


Решение:


1.    

.

2.    

.

3.    

                                            

.

4.    Принимаяначальнуюфазу напряженияза нуль, запишем:

.

Тогда

.

5.    Посколькуток распределяетсяобратно пропорциональносопротивлениюветвей (этовытекает иззакона Ома),то

6.    

.

7.    Аналогичныйрезультатможно получить,составив дляданной схемыуравненияпо законамКирхгофа вкомплекснойформе

илипосле подстановкичисленныхзначенийпараметровсхемы


Специальныеметоды расчета


Режимработы любойцепи полностьюхарактеризуетсяуравнениями,составленнымина основаниизаконов Кирхгофа.При этом необходимосоставить ирешить системус nнеизвестными,что можетоказатьсявесьма трудоемкойзадачей прибольшом числеnветвей схемы.Однако, числоуравнений,подлежащихрешению, можетбыть сокращено,если воспользоватьсяспециальнымиметодами расчета,к которымотносятсяметоды контурныхтоков и узловыхпотенциалов.


Методконтурныхтоков

Идеяметода контурныхтоков: уравнениясоставляютсятолько по второмузакону Кирхгофа,но не длядействительных,а для воображаемыхтоков, циркулирующихпо замкнутымконтурам, т.е.в случае выбораглавных контуровравных токамветвей связи.Число уравненийравно числунезависимыхконтуров, т.е.числу ветвейсвязи графа

.Первый законКирхгофавыполняетсяавтоматически.Контуры можновыбиратьпроизвольно,лишь бы их числобыло равно
 ичтобы каждыйновый контурсодержал хотябы одну ветвь,не входящуюв предыдущие.Такие контурыназываютсянезависимыми.Их выбор облегчаетиспользованиетопологическихпонятий дереваи ветвей связи.

Направленияистинных иконтурныхтоков выбираютсяпроизвольно.Выбор положительныхнаправленийперед началомрасчета можетне определятьдействительныенаправлениятоков в цепи.Если в результатерасчета какой-либоиз токов, каки при использованииуравненийпо законамКирхгофа,получитсясо знаком “-”,это означает,что его истинноенаправлениепротивоположно.

П

устьимеем схемупо рис. 3.

Выразим токи ветвейчерез контурныетоки:

          

;

          

;
;

          

;
.

Обойдяконтур aeda,повторому законуКирхгофа имеем

.

Поскольку

,

то

.

Такимобразом, получилиуравнениедля первогоконтура относительноконтурныхтоков. Аналогичноможно составитьуравнениядля второго,третьего ичетвертогоконтуров:

совместнос первым решитьих относительноконтурныхтоков и затемпо уравнениям,связывающимконтурныетоки и токиветвей, найтипоследние.

Однакоданная системауравненийможет бытьсоставленаформальнымпутем:

Присоставленииуравненийнеобходимопомнить следующее:

 -сумма сопротивлений,входящих вi-йконтур;

 -сумма сопротивлений,общих для i-гои k-гоконтуров,причем   
;

членына главнойдиагоналивсегда пишутсясо знаком “+”;

знак“+” перед остальнымичленами ставитсяв случае, есличерез общеесопротивление

 i-йи k-й контурныетоки проходятв одном направлении,в противномслучае ставитсязнак “-”;

еслиi-йи k-й контуры неимеют общихсопротивлений,то

;

вправой частиуравненийзаписываетсяалгебраическаясумма ЭДС,входящих вконтур: со знаком“+”, если направлениеЭДС совпадаетс выбраннымнаправлениемконтурноготока, и “-”, еслине совпадает. 

Внашем случае,для первогоуравнениясистемы, имеем:

Следуетобратить вниманиена то, что, поскольку

,коэффициентыконтурныхуравненийвсегда симметричныотносительноглавной диагонали.

Еслив цепи содержатсяпомимо источниковЭДС источникитока, то ониучитываютсяв левых частяхуравненийкак известныеконтурныетоки: k-й контурныйток, проходящийчерез ветвьс k-м источникомтока равенэтому току

.


Методузловых потенциалов

Данныйметод вытекаетиз первогозакона Кирхгофа.В качественеизвестныхпринимаютсяпотенциалыузлов, по найденнымзначениямкоторых с помощьюзакона Омадля участкацепи с источникомЭДС затем находяттоки в ветвях.Посколькупотенциал –величинаотносительная,потенциалодного из узлов(любого) принимаетсяравным нулю.Таким образом,число неизвестныхпотенциалов,а следовательно,и число уравненийравно

,т.е. числу ветвейдерева
.

Пустьимеем схемупо рис. 4, в которойпримем

.

Д

опустим,что
 и
 известны.Тогда значениятоков на основаниизакона Омадля участкацепи с источникомЭДС

Запишемуравнениепо первомузакону Кирхгофадля узла а:

иподставимзначения входящихв него токов,определенныхвыше:

.

Сгруппировавсоответствующиечлены, получим:

.

Аналогичноможно записатьдля узла b:

.

Каки по методуконтурныхтоков, системауравненийпо методу узловыхпотенциаловможет бытьсоставленаформальнымпутем. При этомнеобходиморуководствоватьсяследующимиправилами:

1.     Влевой частиi-гоуравнениязаписываетсясо знаком“+”потенциал

 i-гоузла, для которогосоставляетсяданное i-еуравнение,умноженныйна сумму проводимостей
 ветвей,присоединенныхк данному i-муузлу, и со знаком“-”потенциал
 соседнихузлов, каждыйиз которыхумножен насумму проводимостей
 ветвей,присоединенныхк i-муиk-муузлам.

Изсказанногоследует, чтовсе члены

,стоящие наглавной диагоналив левой частисистемы уравнений,записываютсясо знаком “+”,а все остальные– со знаком“-”, причем
.Последнееравенствопо аналогиис методомконтурныхтоков обеспечиваетсимметриюкоэффициентовуравненийотносительноглавной диагонали.

2.     Вправой частиi-гоуравнениязаписываетсятак называемыйузловой ток

,равный суммепроизведенийЭДС ветвей,подходящихк  i-муузлу, и проводимостейэтих ветвей.При этом членсуммы записываетсясо знаком “+”,если соответствующаяЭДС направленак i-муузлу, в противномслучае ставитсязнак “-”. Еслив подходящихк i-муузлу ветвяхсодержатсяисточникитока, то знакитоков источниковтоков, входящихв узловой токпростымислагаемыми,определяютсяаналогично.

Взаключениеотметим, чтовыбор тогоили иного израссмотренныхметодов определяетсятем, что следуетнайти, а такжетем, какой изних обеспечиваетменьший порядоксистемы уравнений.При расчететоков приодинаковомчисле уравненийпредпочтительнееиспользоватьметод контурныхтоков, так какон не требуетдополнительныхвычисленийс использованиемзакона Ома.Метод узловыхпотенциаловочень удобенпри расчетахмногофазныхцепей, но неудобен прирасчете цепейсо взаимнойиндуктивностью.


Литература


1.    Основытеориицепей: Учеб.длявузов /Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

2.    БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с

.

Контрольныевопросы и задачи


1.     Вветви на рис.1

 
 
.Определитьток
.

Ответ:

.

2.     Вчем заключаетсясущностьсимволическогометода расчетацепей синусоидальноготока?

3.     Вчем состоитсущность методаконтурныхтоков?

4.     Вчем состоитсущность методаузловых потенциалов?

5.     Вцепи на рис.5

;
;

;
 
 
 
.Методом контурныхтоков определитькомплексыдействующихзначений токовветвей.

Ответ:

;
;
.

6.     Вцепи на рис.6

 
 
 
 
 
 
 
 
.Рассчитатьтоки в ветвях,используяметод узловыхпотенциалов.

Ответ:

;
;
;
;
;
;
.


   Теория/ ТОЭ/ Лекция N 6.Основы матричныхметодов расчетаэлектрическихцепей.


Рассмотренныеметоды расчетаэлектрическихцепей – непосредственнопо законамКирхгофа, методыконтурныхтоков и узловыхпотенциалов– позволяютпринципиальнорассчитатьлюбую схему.Однако ихприменениебез использованиявведенныхранее топологическихматриц рациональнодля относительнопростых схем.Использованиематричныхметодов расчетапозволяетформализоватьпроцесс составленияуравненийэлектромагнитногобаланса цепи,а также упорядочитьввод данныхв ЭВМ, что особенносущественнопри расчетесложных разветвленныхсхем.

П

ереходяк матричнымметодам расчетацепей, запишемзакон Ома вматричнойформе.

Пустьимеем схемупо рис. 1, где

 -источник тока.В соответствиис рассмотреннымнами ранеезаконом Омадля участкацепи с ЭДС дляданной схемыможно записать:




Однако,для дальнейшихвыкладок будетудобнеепредставитьток

 каксумму токов k-йветви и источникатока, т.е.:

.

(2)


Подставив(2) в (1), получим:

(3)


Формула(3) представляетсобой аналитическоевыражениезакона Омадля участкацепи с источникамиЭДС и тока(обобщеннойветви).

Соотношение(3) запишем длявсех nветвей схемыв виде матричногоравенства

или

,

(4)


гдеZ– диагональнаяквадратная(размерностьюn x n)матрица сопротивленийветвей, всеэлементы которой(взаимнуюиндуктивностьне учитываем),за исключениемэлементовглавной диагонали,равны нулю.

Соотношение(4) представляетсобой матричнуюзапись законаОма.

Если  обе части  равенства (4)  умножить слева  на контурнуюматрицу В и учесть второйзакон Кирхгофа,согласно которому

,

(5)


то

(6)


то естьполучили новуюзапись в матричнойформе второгозакона Кирхгофа.


Методконтурныхтоков в матричнойформе

Всоответствиис введеннымранее понятиемматрицы главныхконтуровВ,записываемойдля главныхконтуров, вкачественезависимыхпеременныхпримем токиветвей связи,которые и будутравны искомымконтурнымтокам.

Уравненияс контурнымитоками получаютсяна основаниивторого законаКирхгофа; ихчисло равночислу независимыхуравнений,составляемыхдля контуров,т.е. числу ветвейсвязи c=n-m+1.Выражение(6) запишем следующимобразом:

(7)


Всоответствиис методовконтурныхтоков токивсех ветвеймогут бытьвыражены каклинейныекомбинацииконтурныхтоков или врассматриваемомслучае токовветвей связи.Если элементыj–гостолбца матрицыВумножитьсоответствующимобразом наконтурныетоки, то сумматаких произведенийи будет выражениемтока j–йветви черезконтурныетоки (черезтоки ветвейсвязи). Сказанноеможет бытьзаписано ввиде матричногосоотношения

,  

(8)


где

 -столбцоваяматрица контурныхтоков; 
 -транспонированнаяконтурнаяматрица.

С учетом(8) соотношение(7) можно записать,как:

(9)


Полученноеуравнениепредставляетсобойконтурныеуравнения вматричнойформе. Еслиобозначить

,  

(10)


(11)


тополучим матричнуюформу записиуравнений,составленныхпо методуконтурныхтоков:

(12)


где

 -матрица контурныхсопротивлений;
 -матрица контурныхЭДС.

В развернутойформе (12) можнозаписать, как:

 ,

(13)


т

оесть получилиизвестныйиз методаконтурныхтоков результат.

Рассмотримпример составленияконтурныхуравнений.

Пустьимеем схемупо рис. 2. Даннаясхема имеетчетыре узла(m=4)ишесть обобщенныхветвей (n=6).Числонезависимыхконтуров, равноечислу ветвейсвязи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Графсхемы с выбраннымдеревом (ветви1, 2, 3) имеет видпо рис. 3.

З

апишемматрицу контуров,которая будетявляться матрицейглавных контуров,посколькукаждая ветвьсвязи входиттолько в одинконтур. Принимаяза направлениеобхода контуровнаправленияветвей связи,получим:

В


.Диагональнаяматрица сопротивленийветвей

Z


Матрицаконтурныхсопротивлений

Zk=BZBT


.

МатрицыЭДС и токовисточников


Тогдаматрица контурныхЭДС


.

Матрицаконтурныхтоков

.

Такимобразом, окончательнополучаем:

,

где

;
;
;
;
;
;
;
;
.

Анализрезультатовпоказывает,что полученныетри уравненияидентичнытем, которыеможно записатьнепосредственноиз рассмотрениясхемы по известнымправиламсоставленияуравненийпо методуконтурныхтоков.


Методузловых потенциаловв матричнойформе

Наоснованииполученноговыше соотношения(4), представляющегособой, как былоуказано, матричнуюзапись законаОма, запишемматричноевыражение:

,

(14)


где

 
-диагональнаяматрица проводимостейветвей, всечлены которой,за исключениемэлементовглавной диагонали,равны нулю.

МатрицыZ и  Yвзаимно обратны.

Умноживобе частиравенства(14) на узловуюматрицуАиучитывая первыйзакон Кирхгофа,согласно которому

,  

(15)

 получим:

. .

(16)

Выражение(16) перепишем,как:

.

(17)


Принимаяпотенциалузла, для которогоотсутствуетстрока в матрицеА,равнымнулю, определимнапряженияна зажимахветвей:

.  

(18)

Тогдаполучаемматричноеуравнениевида:

(19)

Данноеуравнениепредставляетсобой узловыеуравнения вматричнойформе. Еслиобозначить

(20)


(21)

тополучим матричнуюформу записиуравнений,составленныхпо методу узловыхпотенциалов:

(22)


где

 -матрица узловыхпроводимостей;
 -матрица узловыхтоков.

В развернутомвиде соотношение(22) можно записать,как:

(23)

то естьполучилиизвестныйиз метода узловыхпотенциаловрезультат.

Рассмотримсоставлениеузловых уравненийна примересхемы по рис.4.

Даннаясхема имеет3 узла (m=3)и 5 ветвей (n=5).Граф схемыс выбраннойориентациейветвей представленна рис. 5.

Узловаяматрица (примем

)

А


Диагональнаяматрица проводимостейветвей:

Y

,


где

.

Матрицаузловых проводимостей

.

Матрицытоков и ЭДСисточников

..Следовательно,матрица узловыхтоков будетиметь вид:


.Такимобразом, окончательнополучаем:

,

где

;
;
;
;
.

Анализрезультатовпоказывает,что полученныеуравненияидентичнытем, которыеможно записатьнепосредственноиз рассмотрениясхемы по известнымправиламсоставленияуравненийпо методу узловыхпотенциалов.

Литература

  1. Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

  2. БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.

Контрольныевопросы и задачи

  1. В чемзаключаютсяпреимуществаиспользованияматричныхметодоврасчетацепей?

  2. Запишитевыраженияматрицы контурныхсопротивленийи матрицыконтурныхЭДС.

  3. Запишитевыраженияматрицы узловыхпроводимостейи матрицыузловых токов.

  4. Составитьузловые уравнениядля цепи нарис. 2.

Ответ:

.

  1. Составитьконтурныеуравнениядля цепи рис.4, приняв, чтодерево образовановетвями 3и 4(см. рис. 5).

Ответ:


   Теория/ ТОЭ/ Лекция N 7.Преобразованиеэнергии вэлектрическойцепи. Мгновенная,активная,реактивнаяи полная мощностисинусоидальноготока.


Передачаэнергии w поэлектрическойцепи (например,по линииэлектропередачи),рассеяниеэнергии, тоесть переходэлектромагнитнойэнергии втепловую, атакже и другиевиды преобразованияэнергии характеризуютсяинтенсивностью,с которойпротекаетпроцесс, тоесть тем, сколькоэнергии передаетсяпо линии вединицу времени,сколько энергиирассеиваетсяв единицувремени. Интенсивностьпередачи илипреобразованияэнергии называетсямощностьюр. Сказанномусоответствуетматематическоеопределение:


Выражениедля мгновенногозначения мощностив электрическихцепях имеетвид:

.

(2)


Принявначальнуюфазу напряженияза нуль, а сдвигфаз междунапряжениеми током за

,получим:

(3)


Итак,мгновеннаямощность имеетпостояннуюсоставляющуюи гармоническуюсоставляющую,угловая частотакоторой в 2 разабольше угловойчастоты напряженияи тока.

Когдамгновеннаямощностьотрицательна,а это имеетместо (см. рис.1), когда u и i разныхзнаков, т.е.когда направлениянапряженияи тока в двухполюсникепротивоположны,энергия возвращаетсяиз двухполюсникаисточникупитания.

Такойвозврат энергииисточникупроисходитза счет того,что энергияпериодическизапасаетсяв магнитныхи электрическихполях соответственноиндуктивныхи емкостныхэлементов,входящих всостав двухполюсника.Энергия, отдаваемаяисточникомдвухполюсникув течение времениt равна

.

Среднееза периодзначениемгновенноймощностиназываетсяактивноймощностью

.

Принимаяво внимание,что

,из (3) получим:

(4)


Активнаямощность,потребляемаяпассивнымдвухполюсником,не может бытьотрицательной(иначе двухполюсникбудет генерироватьэнергию), поэтому

,т.е. на входепассивногодвухполюсника
.Случай Р=0,
 теоретическивозможен длядвухполюсника,не имеющегоактивныхсопротивлений,а содержащеготолько идеальныеиндуктивныеи емкостныеэлементы.

1. Резистор(идеальноеактивноесопротивление).

Здесьнапряжениеи ток (см. рис.2) совпадаютпо фазе

,поэтому мощность
 всегдаположительна,т.е. резисторпотребляетактивную мощность


2. Катушкаиндуктивности(идеальная индуктивность)

Приидеальнойиндуктивноститок отстаетот напряженияпо фазе на

.Поэтому всоответствиис (3) можно записать
.

Участок1-2:  энергия

,запасаемаяв магнитномполе катушки,нарастает.

Участок2-3: энергия магнитногополя убывает,возвращаясьв источник.

3. Конденсатор(идеальная емкость)

Аналогичныйхарактер имеютпроцессы идля идеальнойемкости. Здесь

.Поэтому из(3) вытекает, что
.Таким образом,в катушкеиндуктивностии конденсатореактивная мощностьне потребляется(Р=0), так как вних не происходитнеобратимогопреобразованияэнергии в другиевиды энергии.Здесь происходиттолько циркуляцияэнергии: электрическаяэнергия запасаетсяв магнитномполе катушкиили электрическомполе конденсаторана протяжениичетверти периода,а на протяженииследующейчетверти периодаэнергия вновьвозвращаетсяв сеть. В силуэтого катушкуиндуктивностии конденсаторназываютреактивнымиэлементами,а их сопротивленияХL и ХС, в отличие отактивногосопротивленияR резистора,– реактивными.

Интенсивностьобмена энергиипринято характеризоватьнаибольшимзначениемскоростипоступленияэнергии вмагнитноеполе катушкиили электрическоеполе конденсатора,которое называетсяреактивноймощностью.

В общемслучае выражениедля реактивноймощности имеетвид:

(5)


Онаположительнапри отстающемтоке (индуктивнаянагрузка-

)и отрицательнапри опережающемтоке (емкостнаянагрузка-
).Единицу мощностив применениик измерениюреактивноймощности называютвольт-амперреактивный(ВАр).

В частностидля катушкииндуктивностиимеем:

,так как
.

.

Изпоследнеговидно, чтореактивнаямощность дляидеальнойкатушки индуктивностипропорциональначастоте имаксимальномузапасу энергиив катушке.Аналогичноможно получитьдля идеальногоконденсатора:

.

Полнаямощность

Помимопонятий активнойи реактивноймощностей вэлектротехникешироко используетсяпонятие полноймощности:

(6)


Активная,реактивнаяи полная мощностисвязаны следующимсоотношением:

(7)


Отношениеактивной мощностик полной называюткоэффициентоммощности.Из приведенныхвыше соотношенийвидно, чтокоэффициентмощности

 равенкосинусу угласдвига междутоком и напряжением.Итак,

(8)


Комплекснаямощность

Активную,реактивнуюи полную мощностиможно определить,пользуяськомплекснымиизображенияминапряженияи тока. Пусть

.Тогда комплексполной мощности:

,   

(9)


где

 -комплекс,сопряженныйс комплексом
.

.

К

омплексноймощности можнопоставить всоответствиетреугольникмощностей(см. рис. 4). Рис.4 соответствует 
 (активно-индуктивнаянагрузка), длякоторого имеем:

.

Применениестатическихконденсаторовдля повышенияcos

Какуже указывалось,реактивнаямощность

циркулируетмежду источникоми потребителем.Реактивныйток, не совершаяполезной работы,приводит кдополнительнымпотерям в силовомоборудованиии, следовательно,к завышениюего установленноймощности. Вэтой связипонятно стремлениек увеличению
 всиловых электрическихцепях.

Следуетуказать, чтоподавляющеебольшинствопотребителей(электродвигатели,электрическиепечи, другиеразличныеустройстваи приборы) какнагрузка носитактивно-индуктивныйхарактер.

Еслипараллельнотакой нагрузке

 (см.рис. 5), включитьконденсаторС, то общий ток
,как видно извекторнойдиаграммы(рис. 6), приближаетсяпо фазе к напряжению,т.е.
 увеличивается,а общая величинатока (а следовательно,потери) уменьшаетсяпри постоянствеактивной мощности
.На этом основаноприменениеконденсаторовдля повышения
.

Какуюемкость С  нужновзять, чтобыповыситькоэффициентмощности отзначения

 дозначения
?

Разложим

 наактивную
 иреактивную
 составляющие.Ток черезконденсатор
 компенсируетчасть реактивнойсоставляющейтока нагрузки
:

(10)


;  

(11)


.

(12)


Из (11)и (12) с учетом(10) имеем

,

но

,откуда необходимаядля повышения
 емкость:

.   

(13)


Балансмощностей

Балансмощностейявляетсяследствиемзакона сохраненияэнергии и можетслужить критериемправильностирасчета электрическойцепи.

а) Постоянныйток

Длялюбой цепипостоянноготока выполняетсясоотношение:

(14)


Этоуравнениепредставляетсобой математическуюформу записибаланса мощностей:суммарнаямощность,генерируемаяисточникамиэлектрическойэнергии, равнасуммарноймощности,потребляемойв цепи.

Следуетуказать, чтов левой части(14) слагаемыеимеют знак“+”, посколькуактивная мощностьрассеиваетсяна резисторах.В правой части(14) сумма слагаемыхбольше нуля,но отдельныечлены здесьмогут иметьзнак “-”, чтоговорит о том,что соответствующиеисточникиработают врежиме потребителейэнергии (например,заряд аккумулятора).

б) Переменныйток.

Иззакона сохраненияэнергии следует,что сумма всехотдаваемыхактивныхмощностейравна суммевсех потребляемыхактивныхмощностей,т.е.

(15)


В ТОЭдоказывается(вследствиедостаточнойгромоздкостивывода этодоказательствоопустим), чтобаланс соблюдаетсяи для реактивныхмощностей:

 ,

(16)


гдезнак “+” относитсяк индуктивнымэлементам

,“-” – к емкостным
.

Умножив(16) на “j” и сложивполученныйрезультат с(15), придем каналитическомувыражениюбаланса мощностейв цепях синусоидальноготока (без учетавзаимнойиндуктивности):

или

.

Литература

  1. Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

  2. БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.

Контрольныевопросы и задачи

  1. Чтотакое активнаямощность?

  2. Чтотакое реактивнаямощность, скакими элементамиона связана?

  3.  Чтотакое полнаямощность?

  4. Почемунеобходимостремитьсяк повышениюкоэффициентамощности

    ?
  5. Критериемчего служитбаланс мощностей?

  6. К источникус напряжением

     подключенаактивно-индуктивнаянагрузка, токв которой
    .Определитьактивную,реактивнуюи полную мощности.

Ответ:Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500ВА.

  1. В ветви,содержащейпоследовательносоединенныерезистор R икатушку индуктивностиL, ток I=2 A. Напряжениена зажимахветви U=100 B, апотребляемаямощность Р=120Вт. ОпределитьсопротивленияR и XL элементовветви.

Ответ:R=30 Ом; XL=40 Ом.

  1. Мощность,потребляемаяцепью, состоящейиз параллельносоединенныхконденсатораи резистора,Р=90 Вт. Ток внеразветвленнойчасти цепиI1=5 A, а в ветви срезисторомI2=4 A. ОпределитьсопротивленияR и XL элементовцепи.

Ответ:R=10 Ом; XС=7,5 Ом.


Теория/ ТОЭ/ Лекция N 8.Резонансы вцепях синусоидальноготока.


Резонансомназываетсятакой режимработы цепи,включающейв себя индуктивныеи емкостныеэлементы, прикотором еевходное сопротивление(входная проводимость)вещественно.Следствиемэтого являетсясовпадениепо фазе токана входе цепис входнымнапряжением.


Резонансв цепи с последовательносоединеннымиэлементами
(резонанснапряжений)


Дляцепи на рис.1имеет место

где


.    

(2)


Взависимостиот соотношениявеличин

 и
 возможнытри различныхслучая.

1.В цепи преобладаетиндуктивность,т.е.

,а следовательно,

.Этому режимусоответствуетвекторнаядиаграммана рис. 2,а.


2. Вцепи преобладаетемкость, т.е.

,а значит,
.Этот случайотражаетвекторнаядиаграммана рис. 2,б.

3.

 -случай резонансанапряжений(рис. 2,в).

Условиерезонансанапряжений

.

(3)


Приэтом, как следуетиз (1) и (2),

.

Прирезонансенапряженийили режимах,близких к нему,ток в цепи резковозрастает.В теоретическомслучае приR=0  его величинастремится кбесконечности.Соответственновозрастаниютока увеличиваютсянапряженияна индуктивноми емкостномэлементах,которые могутво много разпревыситьвеличинунапряженияисточникапитания.

Пусть,например, вцепи на рис.1

 
 
.Тогда
,и, соответственно,
.

Явлениерезонансанаходит полезноеприменениена практике,в частностив радиотехнике.Однако, еслион возникаетстихийно, томожет привестик аварийнымрежимам вследствиепоявлениябольших перенапряженийи сверхтоков.

Физическаясущностьрезонансазаключаетсяв периодическомобмене энергиеймежду магнитнымполем катушкииндуктивностии электрическимполем конденсатора,причем суммаэнергий полейостаетсяпостоянной.

Сутьдела не меняется,если в цепиимеется несколькоиндуктивныхи емкостныхэлементов.Действительно,в этом случае

 
 ,и соотношение(3) выполняетсядля эквивалентныхзначений LЭи CЭ.

Какпоказываетанализ уравнения(3), режима резонансаможно добитьсяпутем измененияпараметровL и C, а также частоты.На основании(3) для резонанснойчастоты можнозаписать

.  

(4)


Резонанснымикривыминазываютсязависимоститока и напряженияот частоты.В качествеих примерана рис. 3 приведенытиповые кривыеI(f);

 и
 дляцепи на рис.1 при U=const.

Важнойхарактеристикойрезонансногоконтура являетсядобротностьQ, определяемаяотношениемнапряженияна индуктивном(емкостном)элементе квходномунапряжению:

(5)


-и характеризующая“избирательные”свойстварезонансногоконтура, вчастностиего полосупропускания

.

Другимпараметромрезонансногоконтура являетсяхарактеристическоесопротивление,связанное сдобротностьюсоотношением

,   

(6)


илис учетом (4) и(5) для

 можнозаписать:

.  

(7)


Резонансв цепи с параллельносоединеннымиэлементами
(резонанстоков)

Дляцепи рис. 4 имеем

,

где

(8)


 . 

(9)


Взависимостиот соотношениявеличин

 и
,как и в рассмотренномвыше случаепоследовательногосоединенияэлементов,возможны триразличныхслучая.

Вцепи преобладаетиндуктивность,т.е.

,а следовательно,
.Этому режимусоответствуетвекторнаядиаграммана рис. 5,а.

Вцепи преобладаетемкость, т.е.

,а значит,
.Этот случайиллюстрируетвекторнаядиаграммана рис. 5,б.

 -случай резонансатоков (рис. 5,в).

Условиерезонансатоков

 или

.  

(10)


Приэтом, как следуетиз (8) и (9),

.Таким образом,при резонансетоков входнаяпроводимостьцепи минимальна,а входноесопротивление,наоборот,максимально.В частностипри отсутствиив цепи на рис.4 резистораR ее входноесопротивлениев режиме резонансастремится кбесконечности,т.е. при резонансетоков ток навходе цепиминимален.

Идентичностьсоотношений(3) и (5) указывает,что в обоихслучаях резонанснаячастота определяетсясоотношением(4). Однако неследует использоватьвыражение(4) для любойрезонанснойцепи. Оно справедливотолько дляпростейшихсхем с последовательнымили параллельнымсоединениеминдуктивногои емкостногоэлементов.

Приопределениирезонанснойчастоты в цепипроизвольнойконфигурацииили, в общемслучае, соотношенияпараметровсхемы в режимерезонансаследует исходитьиз условиявещественностивходногосопротивления(входной проводимости)цепи.

Например,для цепи нарис. 6 имеем

Посколькув режиме резонансамнимая часть

 должнабыть равнанулю, то условиерезонансаимеет вид

,

откуда,в частности,находитсярезонанснаячастота.

Резонансв сложной цепи

Условиерезонансадля сложнойцепи со смешаннымсоединениемнесколькихиндуктивныхи емкостныхэлементов,заключающеесяв равенственулю мнимойчасти входногосопротивления

 иливходной проводимости
,определяетналичие усоответствующихэтому условиюуравненийотносительно
 несколькихвещественныхкорней, т.е.таким цепямсоответствуетнесколькорезонансныхчастот.

Приопределениирезонансныхчастот дляреактивногодвухполюсникааналитическоевыражениеего входногореактивногосопротивления

 иливходной реактивнойпроводимости
 следуетпредставитьв виде отношениядвух полиномовпо степеням
,т.е.
 или
.Тогда корниуравнения
 дадутзначения частот,которые соответствуютрезонансамнапряжений,а корни уравнения
 -значения частот,при которыхвозникаютрезонансытоков. Общеечисло резонансныхчастот в цепина единицуменьше количестваиндуктивныхи емкостныхэлементов всхеме, получаемойиз исходнойпутем ее сведенияк цепи (с помощьюэквивалентныхпреобразований)с минимальнымчислом этихэлементов.Характернымпри этом являетсятот факт, чторежимы резонансовнапряженийи токов чередуются.

В качествепримера определимрезонансныечастоты дляцепи рис. 7. Выражениевходногосопротивленияданной цепиимеет вид

И

зрешения уравнения
 получаемчастоту
,соответствующуюрезонансунапряжений,а из решенияуравнения
 -частоту
,соответствующуюрезонансутоков.

                     Литература


  1. Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

  2. БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.

Контрольныевопросы и задачи

  1. Чтотакое резонанснапряжений,чем он характеризуется?

  2. Чтотакое резонанстоков, чем онхарактеризуется?

  3. Вчем физическаясущностьрезонансныхрежимов?

  4. Наоснованиикаких условийв общем случаеопределяютсярезонансныечастоты?

  5. В цепина рис. 1 R=1 Ом; L=10мГн; С=10 мкФ.Определитьрезонанснуючастоту идобротностьконтура.

Ответ:

.
  1. Какиеусловия необходимыи достаточны,чтобы в цепина рис. 1 выполнялосьсоотношение

    ?
  2. Определитьрезонанснуючастоту дляцепи на рис.7, если в нейконденсаторС3   замененна резисторR3.

Ответ:

.

   Теория/ ТОЭ/ Лекция N 9.Векторные итопографическиедиаграммы.


Совокупностьрадиус-векторов,изображающихсинусоидальноизменяющиесяЭДС, напряжения,токи и т. д.,называетсявекторнойдиаграммой.Векторныедиаграммынаглядноиллюстрируютход решениязадачи. Приточном построениивекторов можнонепосредственноиз диаграммыопределитьамплитуды ифазы искомыхвеличин. Приближенное(качественное)построениедиаграмм прианалитическомрешении служитнадежнымконтролемкорректностихода решенияи позволяетлегко определитьквадрант, вкотором находятсяопределяемыевекторы.

Припостроениивекторныхдиаграмм дляцепей с последовательнымсоединениемэлементовза базовый(отправной)вектор следуетприниматьвектор тока(см. лекцию №8), а к нему подсоответствующимиуглами подстраиватьвекторы напряженийна отдельныхэлементах.Для цепей спараллельнымсоединениемэлементовза базовый(отправной)вектор следуетпринять векторнапряжения(см. лекцию №8), ориентируяотносительнонего векторытоков в параллельныхветвях.

Длянаглядногоопределениявеличины ифазы напряжениямежду различнымиточками электрическойцепи удобноиспользоватьтопографическиедиаграммы.Они представляютсобой соединенныесоответственносхеме электрическойцепи точкина комплекснойплоскости,отображающиеих потенциалы.На топографическойдиаграмме,представляющейсобой в принципевекторнуюдиаграмму,порядок расположениявекторовнапряженийстрого соответствуетпорядку расположенияэлементов всхеме, а векторпадения напряженияна каждомпоследующемэлементепримыкает кконцу векторанапряженияна каждомпредыдущемэлементе.

В качествепримера построимвекторнуюдиаграммутоков, а такжетопографическуюдиаграммупотенциаловдля схемы, расчеткоторой былприведен влекции № 5 (см.рис. 1).

П

араметрысхемы:
 
 
 

Приданных параметрахи заданномнапряжениина входе схемы

 найденныезначения токов(см. лекцию №5) равны:
;
;
.

Припостроениивекторнойдиаграммызададимсямасштабамитоков и напряжений(см. рис. 2). Векторнуюдиаграммуможно строить,имея записькомплекса впоказательнойформе, т.е. позначенияммодуля и фазы. Однако напрактике удобнеепроводитьпостроения,используяалгебраическуюформу записи,посколькупри этом вещественнаяи мнимая составляющиекомплекснойвеличинынепосредственнооткладываютсяна соответствующихосях комплекснойплоскости,определяяположениеточки на ней.

Построениевекторнойдиаграммытоков осуществляетсянепосредственнона основанииизвестныхзначений ихкомплексов.Для построениятопографическойдиаграммыпредварительноосуществимрасчет комплексныхпотенциалов(другой вариантпостроениятопографическойдиаграммыпредполагаетрасчет комплексовнапряженийна элементахцепи с последующимсуммированиемвекторовнапряженийвдоль контуранепосредственнона комплекснойплоскости).

Припостроениитопографическойдиаграммыобход контуровможно производитьпо направлениютока или против.Чаще используютвторой вариант.

В этомслучае с учетом того, чтов электротехникепринято, чтоток течет отбольшегопотенциалак меньшему,потенциалискомой точкиравен потенциалупредыдущейплюс падениенапряженияна элементемежду этимиточками. Еслина пути обходавстречаетсяисточник ЭДС,то потенциалискомой точкибудет равенпотенциалупредыдущейплюс величинаэтой ЭДС, еслинаправлениеобхода совпадаетс направлениемЭДС, и минусвеличина ЭДС,если не совпадает.Это вытекаетиз того, чтонапряжениена источникеЭДС имеетнаправление,противоположноеЭДС.

Обозначивна схеме порис. 1 точкимежду элементамицепи e и a и принявпотенциалточки а за нуль(

),определимпотенциалыэтих точек:

или

Такимобразом, врезультатепроведенныхвычисленийполучено, что

.Но разностьпотенциаловточек еи аравно напряжениюU, приложенномук цепи, а оноравно 120 В. Такимобразом, второйзакон Кирхгофавыполняется,а следовательно,вычислениявыполненыверно. В соответствиис полученнымирезультатамистроитсятопографическаядиаграммана рис. 2. Следуетобратить вниманиена ориентациювекторов,составляющихтопографическуюдиаграмму,относительновекторов тока:для резистивныхэлементовсоответствующиевекторы параллельны,для индуктивногои емкостных– ортогональны.

В заключениезаметим, чтовекторы напряженийориентированыотносительноточек топографическойдиаграммыпротивоположноположительнымнаправлениямнапряженийотносительносоответствующихточек электрическойцепи. В этойсвязи допускаетсяне указыватьна топографическойдиаграмменаправлениявекторовнапряжений.


Потенциальнаядиаграмма

Потенциальнаядиаграммаприменяетсяпри анализецепей постоянноготока. Она представляетсобой графикраспределенияпотенциалавдоль участкацепи или контура,при этом пооси абсциссоткладываютсясопротивлениярезистивныхэлементов,встречающихсяна пути обходаветви иликонтура, а пооси ординат– потенциалысоответствующихточек. Такимобразом, каждойточке рассматриваемогоучастка иликонтура соответствуетточка на потенциальнойдиаграмме.

Рассмотримпостроениепотенциальнойдиаграммына примересхемы на рис.3.

Припараметрахсхемы

;
;
;
;
 и
 токив ветвях схемыравны:
;
;
.

Построимпотенциальнуюдиаграммудля контураabcda.

Длявыбора масштабапо оси абсцисспросуммируемсопротивлениярезистороввдоль рассматриваемогоконтура:

 послечего определимпотенциалыточек контураотносительнопотенциалапроизвольновыбраннойточки a, потенциалкоторой принятза нуль:

Такимобразом, координатыточек потенциальнойдиаграммы:а(0;0);b(4;-20);c(4;17); d(7;2).С учетом выбранныхмасштабовна рис. 4 построенапотенциальнаядиаграммадля выбранногоконтура.


Преобразованиелинейныхэлектрическихсхем

Дляупрощениярасчета иповышениянаглядностианализа сложныхэлектрическихцепей во многихслучаях рациональноподвергнутьих предварительномупреобразованию.Очевидно, чтопреобразованиедолжно приводитьк упрощениюисходной схемыза счет уменьшениячисла ее ветвейи (или) узлов.Такое преобразованиеназываетсяцелесообразным.При этом прилюбых способахпреобразованийдолжно выполнятьсяусловие неизменноститоков в ветвяхучастков схемы,не затронутыхэтими преобразованиями.Из последнеговытекает, что,если преобразованиюподвергаютсяучастки цепи,не содержащиеисточниковэнергии, томощности висходной иэквивалентнойсхемах одинаковы.Если в преобразуемыеучастки входятисточникиэнергии, тов общем случаемощности висходной ипреобразованнойцепях будутразличны.

Рассмотримнаиболее важныеслучаи преобразованияэлектрическихцепей.

1,Преобразованиепоследовательносоединенныхэлементов

Рассмотримучасток цепина рис. 5,а. Прирасчете внешнейпо отношениюк этому участкуцепи даннуюветвь можносвести к видуна рис. 5,б, где

 

(1)

или

.

(2)



Приэтом при вычисленииэквивалентнойЭДС

 k-яЭДС беретсясо знаком “+”,если ее направлениесовпадает снаправлениемэквивалентнойЭДС, и “-”, еслине совпадает.

2 Преобразованиепараллельносоединенныхветвей

Пустьимеем схемуна рис. 6,а.


Согласнозакону Омадля участкацепи с источникомЭДС

,

где   

.

Тогда

 ,

где

;

(3)


,

(4)


причемсо знаком “+”в (4) записываютсяЭДС

 иток
,если они направленык тому же узлу,что и ЭДС
;в противномслучае онизаписываютсясо знаком “-”.

3. Взаимныепреобразования“треугольник-звезда”

В

ряде случаевмогут встретитьсясхемы, соединенияв которых нельзяотнести ник последовательному,ни к параллельномутипу (см. рис.7). В таких случаяхпреобразованияносят болеесложный характер:преобразованиетреугольникав звезду инаоборот.

Преобразоватьтреугольникв звезду – значитзаменить трисопротивления,соединенныхв треугольникмежду какими-тотремя узлами,другими тремясопротивлениями,соединеннымив звезду междутеми же точками.При этом научастках схемы,не затронутыхэтими преобразованиями,токи должныостатьсянеизменными.

Безвывода запишемформулы эквивалентныхпреобразований

Треугольник

звезда 


Звезда

треугольник


Литература

  1. Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.

  2. БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш.шк.,1978. –528с.

Контрольныевопросы и задачи

  1. Чтопредставляютсобой векторныедиаграммы?

  2. Чтотакое топографическиедиаграммы,для чего онислужат?

  3. Вчем сходствои различиетопографическойи потенциальнойдиаграмм?

  4. Какойпрактическийсмысл преобразованийэлектрическихцепей?

  5. Вчем заключаетсяпринципэквивалентностипреобразований?

  6. Построитьпотенциальныедиаграммыдля левогои внешнегоконтуров цепирис.3.

  7. Полагаяв цепи на рис.8 известнымиток 

     ипараметрывсех ее элементов,качественнопостроитьвекторнуюдиаграммутоков и топографическуюдиаграммупотенциаловдля нее.
  8. Определитьвходное сопротивлениецепи на рис.8, если

     
    .

Ответ:

.
  1. Определитьсопротивленияветвей треугольника,эквивалентногозвезде междуузлами a,c и d вцепи на рис.8.

Ответ:

;
;
.
  1. Определитьсопротивленияветвей звезды,эквивалентнойтреугольникув цепи на рис.8, состоящемуиз элементов

    ,
     и
    .

Ответ:

;
;

   Теория/ ТОЭ/ Лекция N 10.Анализ цепейс индуктивносвязаннымиэлементами.


Электрическиецепи могутсодержатьэлементы,индуктивносвязанныедруг с другом.Такие элементымогут  связыватьцепи, электрически(гальванически)разделенныедруг от друга.

Втом случае,когда изменениетока в одномиз элементовцепи приводитк появлениюЭДС в другомэлементе цепи,говорят, чтоэти два элементаиндуктивносвязаны,а возникающуюЭДС называютЭДСвзаимнойиндукции.Степень индуктивнойсвязи элементовхарактеризуетсякоэффициентомсвязи

гдеМ – взаимнаяиндуктивностьэлементовцепи (размерность– Гн);

 и
 -собственныеиндуктивностиэтих элементов.

С

леуетотметить, чтовсегда к

Пустьимеем две соосныекатушки в общемслучае с ферромагнитнымсердечником(см. рис. 1). На рис.1 схематичнопоказана картинамагнитногополя при наличиитока i1 в первойкатушке (направлениесиловых линиймагнитногопотока определяетсяпо правилуправого буравчика).Витки первойкатушки сцепленыс магнитнымпотоком самоиндукцииФ11, а витки второйкатушки – смагнитнымпотоком взаимнойиндукции Ф21,который отличаетсяот Ф11 (Ф21

Поопределению



;

(2)


.

(3)

Еслитеперь наоборотпропуститьток i2по второйкатушке, тосоответственнополучим

;

(4)


.

(5)

Приэтом

.

(6)

Следуетотметить, чтокоэффициентсвязи мог быбыть равным1, если бы

 и
,то есть когдавесь поток,создаваемыйодной катушкой,полностьюпронизывалбы витки другойкатушки. Практическидаже различныевитки однойи той же катушкипронизываютсяразными потоками.Поэтому с учетомрассеяния
 и
.В этой связи

.

Рассмотримцепь переменноготока на рис.2, в которуюпоследовательновключены двекатушки индуктивности

 и
,индуктивносвязанныедруг с другом,и резисторR.

П

риизменениитока i в цепив катушкахиндуцируютсяЭДС само- ивзаимоиндукции.При этом ЭДСвзаимной индукциидолжна по законуЛенца иметьтакое направление,чтобы препятствоватьизменениюпотока взаимнойиндукции.

Тогда,если в цепипротекаетгармоническиизменяющийсяток

,то в первойкатушке индуцируетсяЭДС

,

(7)

а вовторой –

.  

(8)

Катушкиможно включитьтак, что ЭДСсамоиндукциибудет суммироватьсяс ЭДС взаимоиндукции;при переключенииодной из катушекЭДС взаимоиндукциибудет вычитатьсяиз ЭДС самоиндукции.Один из зажимовкаждой катушкина схеме помечают,например точкойили звездочкой.Этот знакозначает, чтопри увеличении,например, токав первой катушке,протекающегоот точки, вовторой катушкеиндуцируетсяЭДС взаимоиндукции,действующаяот другогоконца к точке.Различаютсогласноеивстречноевключениякатушек.При согласномвключениитоки в катушкаходинаковоориентированыпо отношениюк их одноименнымзажимам. Приэтом ЭДС само-и взаимоиндукциискладываются– случай, показанныйна рис. 2. Привстречномвключениикатушек токиориентированыотносительноодноименныхзажимов различно.В этом случаеЭДС само- ивзаимоиндукциивычитаются.Таким образом,тип включениякатушек (согласноеили встречное)определяютсясовместноспособом намоткикатушек инаправлениитоков в них.

Перейдяк комплекснойформе записи(7) и (8), получим

;   

(9)


,  

(10)

где

 -сопротивлениевзаимоиндукции(Ом).

Дляопределениятока в цепина рис. 2 запишем

,

откуда

.

Воздушный(линейный)трансформатор

Однимиз важнейшихэлементовэлектрическихцепей являетсятрансформатор,служащий дляпреобразованиявеличин токови напряжений.В простейшемслучае трансформаторсостоит издвух гальваническинесвязанныхи неподвижныхкатушек безферромагнитногосердечника.Такой трансформаторназываетсявоздушным.Он являетсялинейным. Наличиеферромагнитногосердечникаобусловилобы нелинейныесвойстватрансформатора.

Н

арис. 3 представленасхема замещениятрансформатора,первичнаяобмотка котороговключена нанапряжениеU1, а от вторичнойобмотки получаетпитание приемникс сопротивлением
.

Втрансформатореэнергия изпервичнойцепи передаетсяво вторичнуюпосредствоммагнитногополя. Если впервичнойцепи под действиемнапряженияисточникавозникаетпеременныйток, то во вторичнойцепи за счетмагнитнойсвязи катушекиндуцируетсяЭДС, вызывающаяпротеканиетока в нагрузке.

Повторому законуКирхгофа дляпервичной ивторичнойцепей трансформатораможно записать

;

.

Такимобразом, уравнениявоздушноготрансформатораимеют вид:

;        

(11)


,    .

(12)

где

 и
 -активныесопротивленияобмоток;
.

Еслиуравнения(11) и (12) решитьотносительно

,предварительноподставив в(12)
 иобозначив
;
,то получим

,

(13)

где

;
 -вносимые активноеи реактивноесопротивления.

Такимобразом, согласно(13) воздушныйтрансформаторсо стороныпервичнойобмотки можетрассматриватьсякак двухполюсникс сопротивлением

.

Б

алансмощностей вцепях с индуктивносвязаннымиэлементами

Пустьимеем схемупо рис. 4, где А– некоторыйактивныйчетырехполюсник.Для даннойцепи можнозаписать

;

.

Обозначимтоки

 и
 как:
;
.

Тогдадля комплексовполных мощностейпервой и второйветвей соответственноможно записать:

      

;

.

Рассмотримв этих уравненияхчлены со взаимнойиндуктивностью:

    

(14)


 .

(15)

где

.

Из (14)и (15) вытекает,что

;   

(16)


.  

(17)

Соотношение(16) показывает,что активнаямощностьпередаетсяот первой катушкико второй. Приэтом суммарнаяреактивнаямощность,обусловленнаявзаимнойиндукцией,равна нулю,т.к.

.Это означает,что на общийбаланс активноймощности цепииндуктивносвязанныеэлементы невлияют.

Суммарнаяреактивнаямощность,обусловленнаявзаимоиндукцией,равна

.

Такимобразом, общееуравнениебаланса мощностейс учетом индуктивносвязанныхэлементовимеет вид

,        

(18)

г

дезнак “+”  ставитсяпри согласномвключениикатушек, а “-”– при встречном.

Расчетразветвленныхцепей при наличиивзаимнойиндуктивностиможет бытьосуществленпутем составленияуравненийпо законамКирхгофа илиметодом контурныхтоков. Непосредственноеприменениеметода узловыхпотенциаловдля расчетатаких цепейнеприемлемо,поскольку вэтом случаеток в ветвизависит такжеот токов другихветвей, которыенаводят ЭДСвзаимнойиндукции.

В качествепримера расчетацепей с индуктивносвязаннымиэлементамисоставимконтурныеуравнениядля цепи нарис. 5:

Ч

тобыобойти указанноевыше ограничениев отношениипримененияметода узловыхпотенциаловдля расчетарассматриваемыхсхем можноиспользоватьэквивалентныепреобразования,которые иллюстрируютсхемы на рис.6, где цепь нарис. 6,б эквивалентнацепи на рис.6,а. При этомверхние знакиставятся присогласномвключениикатушек, а нижние– при встречном.

Литература

  1. Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А. Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-еизд.,перераб.–М.:Энергоатомиздат,1989. -528с.

  2. БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.


Контрольныевопросы и задачи

  1. Какиеэлементыназываютсяиндуктивносвязанными?

  2. Чтотакое коэффициентсвязи, и в какихпределах онизменяется?

  3. Чтотакое воздушныйтрансформатор?Почему онназываетсялинейным?

  4. Запишитеуравнениявоздушноготрансформатора,нарисуйтеего схемузамещения.

  5. Каквлияют индуктивносвязанныеэлементы набаланс мощностей?

  6. Какиеметоды расчетаможно использоватьдля анализацепей с индуктивносвязаннымиэлементами?

  7. Записатьуравнениядля расчетацепи на рис.5, используязаконы Кирхгофа.

  8. Записатьконтурныеуравнениядля цепи нарис. 5, используяэквивалентнуюзамену индуктивныхсвязей.

  9. Сиспользованиемэквивалентнойзамены индуктивныхсвязей записатьузловые уравнениядля цепи нарис. 5.

  10. Рассчитатьвходное сопротивлениена рис. 3, если

    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    .

Ответ:


   Теория/ ТОЭ/ Лекция N 11.Особенностисоставленияматричныхуравненийпри наличиииндуктивныхсвязей и ветвейс идеальнымиисточниками.


            Матрицысопротивленийи проводимостейдля цепей совзаимнойиндукцией

Какбыло показаноранее (см. лекциюN 6 ), для схем, несодержащихиндуктивносвязанныеэлементы, матрицысопротивленийи проводимостейветвей являютсядиагональными,т.е. все их элементы,за исключениемстоящих наглавной диагонали,равны нулю.

В общемслучае разветвленнойцепи со взаимнойиндукциейматрица сопротивленийветвей имеетвид 

.


Здесьэлементы главнойдиагонали

,
,…
-комплексныесопротивленияветвей схемы;элементы внеглавной диагонали
 -комплексныесопротивленияиндуктивнойсвязи i- й и k –й ветвей (знак“+” ставитсяпри одинаковойориентацииветвей относительноодноименныхзажимов, впротивномслучае ставитсязнак “-”).

Матрицапроводимостейветвей в цепяхсо взаимнойиндукциейопределяетсясогласно

Y= Z –1.

Знаяматрицы и Y ,можно составитьконтурныеуравнения,а также узловые,т.е. в матричнойформе методузловых потенциаловраспространяетсяна анализ цепейс индуктивносвязаннымиэлементами.

Следуетотметить, чтообычно не всеветви схемыиндуктивносвязаны междусобой. В этомслучае с помощьюсоответствующейнумерацииветвей графаматрице  Zцелесообразнопридатьквазидиагональнуюформу

,

чтооблегчаетее обращение,поскольку

,

гдеподматрицы

 могутбыть квадратнымидиагональнымиили недиагональными.

Вкачестве примерасоставим матрицыZиY длясхемы на рис.1,а, граф которойприведен нарис. 1,б.