Лекции по механике (стр. 6 из 9)

§ 2- 5. Динамика вращательного движения материальной точки.

N v mg r Рис.9. Силы при вращательном движении.

Специфика такого движения состоит в том, что для его описания приходится прибегать к некоторым ухищрениям для выбора системы отсчета, в которых можно записать уравнение движения. Если выбирать обычную неподвижную систему координат, то направления скоростей и ускорения точки будут ежесекундно изменяться относительно координатных осей, что не совсем удобно. Поэтому оперируют с так называемой следящей системой координат, т.е. с такой системой, начало которой неподвижно и совпадает в выбранный момент времени с движущейся материальной точкой, а направ-

ления ее осей совпадает с направлением скорости тела в этот момент времени и с
направлением радиуса вращения, проведенного в точку, где расположено тело в этот же момент времени. Важно отметить, что выбранная таким образом система
отсчета является неподвижной относительно инерциальной системы отсчета (на-пример, Земли), и в ней справедливы законы Ньютона.

Рассмотрим в качестве примера движение автомашины по выпуклому мосту, радиус которого r (см. рис.9) .Направим одну из осей следящей системы координат к центру моста, а другую - вдоль направления скорости v. Уравнение движения в этом случае имеет вид ( в проекции на вертикальную ось):

ma_ц = mg - N, ( 2-15 )

где через N обозначена сила реакции моста, а mg - сила тяжести. Решая это уравнение относительно N, получаем :

N = mg - ma_ц = m(g -

), ( 2-16 )

откуда следует, что при

= g сила реакции моста будет равна 0 . Но это означает, что автомашина в этот момент времени не оказывает никакого давления на мост, т.е. она находится в состоянии невесомости.

Лекция 3 Динамика системы материальных точек.
§ 3 - 1. Центр масс системы материальных точек.

Y

m₁

А ·

r₁₌l₁ ·

R l₂ · В

r₂ m₂

X

Рис.10. К опреде-
лению центра

масс.

Центром масс двух материальных точек А и В с массами m₁ и m₂ соответственно называется точка С, лежащая на отрезке, соединяющем А и В, на расстояниях l₁ и l₂ от А и В, обратно пропорциональных массам точек (см. рис.10.), т.е.

. ( 3-1 )

Если положения точек А и В задаются радиус-векторами r₁ и r₂ , то положение центра масс определяется радиусом - вектором R. Из рис.10 следует, что

R = r₁ + l₁ и R = r₂ + l₂ , ( 3-2 )

Умножая первое из этих уравнений на m₁, а второе - на m₂ и складывая их, получим:

. ( 3-3 )

Из рис.10 и равенства ( 3-1 ) следует, что m₂l₂ = - m₁l₁. С учетом этого соотношения из выражения ( 3-3 ) можно определить значение радиуса - вектора R:

. ( 3-4 )

Обобщая это выражение для произвольного числа материальных точек, получим:

, ( 3-5 )

где

= М - полная масса системы точек.

Скорость центра масс такой системы определяется дифференцированием ( 3-5 ):

. ( 3-6 )

Величины m_iv_i представляют собой импульсы отдельных точек, поэтому урав-нение ( 3-6 ) можно переписать в следующем виде:

= Р, ( 3-7 )

где через Р обозначен суммарный импульс системы. Дифференцируя ( 3-7 ), находим выражение для ускорения центра масс системы А:

. ( 3-8 )

§ 3 -2 Закон изменения импульса системы материальных точек.

Для простоты рассмотрим движение системы, состоящей из трех точек, на
каждую из которых действуют внутренние силы f_ik и внешние - F_i , где индекс i представляет номер точки. Уравнения движения для каждой точки имеют вид:

( 3-9 )