Оптимизация профиля отражения частотных фильтров излучения с использованием модулированных сверхрешеток (стр. 2 из 5)

С учетом соотношения (8) систему уравнений (5) можно представить в матричном виде [11]

= ikM , (10)

где

М =

(11)

- блочная матрица, составленная из операторов (12)

A =

q^x

qa - bq

I

B =

I I - b

b (12)

C = -

a

a - q^x q^x

D = -

aq q^x- I qb

здесь

и - тензоры, взаимные к транспонированным тензорам

и соответственно.

В прозрачных средах

и - эрмитовы: , при вещественном параметре b имеют место равенства

B⁺ = B, C⁺ = C, D⁺ = A (13)

В координатной записи уравнение (10) представляет собой систему четырех линейных дифференциальных уравнений для тангенциальных составляющих векторов H и E. Подобная система рассматривалась в [12].

Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами выражается через экспоненциал от матрицы коэффициентов этой системы.

В нашем случае [7] имеет место

= P , P = , F= (14)

Р – характеристическая матрица плоскослоистой анизотропной системы, которая связывает значения полей на первой и последней границах системы. Для системы из N-1 слоев матрицу Р можно представить в виде

Р = Р_N-1P_N-2…P_P…P₁, где Р_Р =

, р = 1, 2, …,N-1 – характеристическая матрица р-го слоя.

Если в пределах некоторого слоя значения функции М(

) в двух произвольных точках ₁ и ₂ коммутируют между собой, то есть

М(

₁) М( ₂) = М( ₂)М( ₁) , _1,2 Î [z_P-1, z_P], то матрица Р этого слоя принимает вид [7] P = exp (ik ). Для однородной среды соответствующий интеграл сводится [4] к экспоненциальному оператору

Р = exp (iklM), где l – толщина слоя.

А такое уравнение легко алгоритмизуется. Ниже будет приведен листинг программы с комментариями.

3. Немодулированные бинарные структуры.

Под немодулированными бинарными структурами будем понимать набор из нескольких чередующихся слоев с разными показателями преломления, но с одинаковыми толщинами.

Схематично их можно представить следующим образом:

2.2 2.2 2.2 2.2 2.2

1.44 1.44 1.44 1.44 1.44 1.44

Рисунок 1. Схематичное представление немодулированных бинарных структур.

Двухслойная немодулированная бинарная структура.

График1. Схематичное изображение оптического пути для двухслойной

немодулированной структуры.

График 2. Зависимости отражения волны для двухслойной

немодулированной структуры при угле падения 0⁰ от частоты.

График 3. Зависимости отражения волны для двухслойной

немодулированной структуры при угле падения 45⁰ от частоты.

Структура же состоящая всего из 4 слоев дает картину, существенно отличающуюся.

График 4. Схематичное изображение оптического пути для четырехслойной

немодулированной структуры.

График 5. Зависимости отражения волны для четырехслойной

немодулированной структуры при угле падения 0⁰ от частоты.

График 6. Зависимости отражения волны для четырехслойной

немодулированной структуры при угле падения 45⁰ от частоты.

Выглядит уже лучше, в том смысле, что существуют зоны полного пропускания. А вот зон полного отражения (с коэффициентом 1) нет ни при каких углах падения .

Ну и рассмотрим структуру, состоящую из 24 слоев:

График 7. Схематичное изображение оптического пути для

двадцатичетырехслойной немодулированной структуры.

График 8. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

немодулированной структуры при угле падения 0⁰ от частоты.

График 9. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

немодулированной структуры при угле падения 45⁰ от частоты.

Явно вырисовываются четкие пики отражения и возмущенные области пропускания. Но пики отражения смещаются при изменении угла падения луча. А единственный несмещенный пик имеет коэффициент отражения при угле падения 0⁰ всего 0.8.

4. Модулированные бинарные структуры.

4.1 Ступенчато модулированные решетки.

Сейчас посмотрим на первую из объявленных модуляций – «ступени». Схематично подобная структура выглядит так:

2.2 2.2 2.2 2.2

1.44 1.44 1.44 1.44

Рисунок 2. Схематичное представление ступенчато модулированных бинарных

структур.

Луч в данном случае падает со стороны наиболее тонких слоев. Это получатся восходящие ступени. Ежели направить луч со стороны толстых слоев, ступени будут нисходящими. Почему модуляция называется ступенчатой, станет понятно, если взглянуть на график № 10. На графиках (№13) и (№16) на ступенчатую модуляцию накладывается функция Гаусса.

Ступенчато модулированная структура:

График 10. Схематичное изображение оптического пути для

двадцатичетырехслойной ступенчато модулированной структуры

(восходящей).

График 11. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

ступенчато модулированной структуры при угле падения 0⁰

(восходящей) от частоты.

График 12. Зависимости отражения волны для двадцатичетырехслойной

ступенчато модулированной структуры при угле падения 45⁰