Техника и электроника СВЧ (Часть 1)

Лекція1

Існуютьлокаційніпристрої, якіповинні працюватина ~мм,~100ГГц.Оскільки~1м маютьмалу роздільнуздатність, аоптичний діапазоншвидко поглинаютьсяпостає необхідністьвивчення НВЧдіапазону.

Перші НВЧприлади виниклипід час 2-ї світовоївійни при створенніРЛС. ЗастосуванняНВЧ електроніки:

1. Малопотужнаелектроніка:НВЧ телебачення– супутникове,мобільні телефони,комп’ютери.

2. Потужнаелектроніка:НВЧ - піч, РЛ –електроніка.

Фізичніпричини виділеннядіапазону НВЧ

D –розмір об’єкта.При

-закон Кірхгофа,Ома, -використовуютьсязакони променевоїоптики, - НВЧ діапазон,диференційнаінтерференція.Отже в НВЧ неможемо користуватисьзаконами Кірхгофаі геометричноїоптики. ЗакониКірхгофа маютьмісце до якихосьчастот та швидкостірозповсюдженняінформації– швидкостісвітла.

Р

озглянемомалюнок. Данийланцюг можнарозрахуватиза допомогоюзакону Ома,поки генератор– постійногоструму. Розглянемозмінну напругу:електрон почнерух тоді, колисигнал пропотенціал дійдедо нього: .Якщо частотагенераторатака, що ,то в той час,як електронрухається водну сторону,генератор вжесформувавзворотнійпотенціал,тобто існуютьструми в різнихнапрямках. Отжене можна використовуватизвичайні закони.

Описанийефект – ефектзапізнення.

1. на частоті
   при таких
   працюютьРЛС. На частоті10ГГцпри
   ніякихзаконів Кірхгофа,Ома вже застосовуватине можна.

2. Виникненнявипромінювання.При змінномуструмі можливевипромінювання,на його характеристикивпливає відстаньміж дротамипо відношеннюдо

   .50Гц: ~100км.Тому зі збільшеннямчастоти основнаенергія знаходитьсяпоза провідникому вигляді поля.

3. При високійчастоті – густинаструму розподіленанерівномірно,електронирухаються вскін шарі товщиною~1мкм.Тому опір потрібнорахувати іншимизаконами.

Найбільшрозвинутийоптичнийдіапазон НВЧ.

РівнянняМаксвела 2-огопорядку описуютьвсі електромагнітніявища:

де

-густина струму, -напруженістьЕП, -напруженістьМП, -індукція МП, -індукція ЕП, -густина заряду, -поверхневийструм.

Поки що монопольДірака не виявлено.

Знакирозставленовідповіднодо положеннявекторів

, та напрямкурозповсюдженняхвилі -утворюють правутрійку. Це – невсі рівнянняМаксвела, утакій форміїх іноді називаютьрівняннямиГерца.

Рівняннязаписано вСГСЕ. В системіСІ не буде

, -це зручно, алев СІ опір вільногопростору скінчений,що немає фізичногозмісту.

Ці диференційнірівняння вчастиннихпохідних другогопорядку неоднорідні.Хоча з точкизору математикирівняння Максвелалінійні. Алелінійні рівнянняніколи не описуютьпідсилення,генерації іт.д. Електромагнітніпроцеси нелінійні.Нелінійністьобумовлюєтьсяречовиною, якуописують рівняння:

.Народженняелектрону -позитивноїпари в вакуумі– нелінійнийпроцес. Крімцього можнагенеруватигармоніки, 1 з10⁵⁰фотонів зливаютьсяі дають новийфотон.

, (А/см²),поверхневийструм - , (А/см).

Матеріальнерівняння –рівняннянеперервності.

.Ніякого струмуне може бутиякщо заряд невиноситься.

-що виноситься

-що залишаєтьсяв середині.

-це рівнянняв частиннихпохідних, томудуже важливіграничні тапочатковіумови. Всі фізичніполя неперервніз точки зоруфізики.

Граничніумови:

, .

Магнітнеполе всерединіметалу(маєуявні розриви):

.

Не буваєнульової товщинитому всерединіметалу будеплавний перехід,тому що полянеперервні.

В векторномувигляді:

(1)

(2)

Якщо змінимограничні умови,то все повністюзмінюється.

-права трійка.Тому знак “-“в .

У рівнянняхв комплекснійформі цьогонемає. Мінустам може бутив 1-му і 2-му рівняннів системі (*).

Граничніумови в металі:

.

Граничнаумова в ідеальномуметалі:

(для нетензорногосередовища). -для металу.

Якщо присутнє

,то за рахуноксили Лоренцавиникає струм.Для напівпровідника:

У застосуванніграничних умовголовне те, щоми не розв’язуєморівняння всередині матеріалу,а розв’язуєморівняння лишена поверхні.

Лекція10

Реальнийсмушковийнесиметричнийхвильовід.

У попереднійзадачі ми нехтуваливсіма розмірами– розглядалиідеальнийвипадок. Теперрозглянемореальний:скористаємосятими самимимоделями: нехайрозповсюджуєтьсяТ – хвиля, а мирозглядаємоодну половину(симетрія).

Використаємоконформнівідображення:

.Тут , , , , , .

Точка

визначаєтьсяобраним масштабом;ми знайдемоїї потім з граничнихумов. Такимчином ми маємо: .Проінтегрувавши,маємо: .

Лініяз втратами

Нехайіснують лишевтрати в металі.Для їх розрахункупотрібно знайтиструм

.Для цього можнавикористативектор Умова-Пойтінга.Треба розрахуватипотік енергіїз лінії в метал.Знайдемо частину :

.Оскільки мирозглядаємоТ – хвилю, то ;тому втратенергії немає(це для ідеальноїхвилі). Щоб наблизитизадачу до реальної,потрібно використатиграничні умовиЛеонтовича: .Тоді все рівно але друга складовазберігається: .Підставивши,одержимо: ,тут -середовищекуди іде хвиля.

Теперзнайдемо повнупотужність,що входить уметал: це

,але можна розрахуватина одиницюдовжини хвильовода.Для цього розрахуємо по контуру ,і це буде потужністьна 1 см.

.Тоді втратихарактеризуються -потужність,що розповсюджуєтьсяв лінії. Воназменшуєтьсяз відстанню: .

Сталазатухання:

.

М

изнаємо ,знайдемо .Для цього запишемовектор Умова-Пойтінгадля хвилі, щорозповсюджуєтьсяв хвилеводі: .Ця хвиля розповсюджуєтьсяпо всій площині ,тому .Ми одержалив (*) знак “-“. Однакми не будемоставити його(оскільки призміні напрямкузнак змінюється,то вважатимемопросто завдяки симетріїзадачі). Такимчином: .Оцінимо цювеличину:

Введемонаближення:будемо враховуватиполе лише узаштрихованійділянці, оскількитут більшачастина (тому,що ця потужністьзумовленаємністю, а вонасконцентрованав цій ділянці).

- характеризуєякість лінії,але частішевикористовуютьдобротністьлінії: ,де (по аналогіїз добротністюКК: ).

Для

• Хвильоводів-

  ;

• Коаксіальнихкабелів -

  ;

• Мікросмушковихліній -

  .

Оцінимодовжину хвильовода,в якому хвилязатухає в

разів при : .Крім втрат уметалі, існуютьі інші механізми– для них тежможна обчислити ,яке додаєтьсядо нашого. Наприклад,це витрати навипромінювання(радіаційні): .Де -опір лінії.Існують такождіелектричнівтрати (розглянемонижче); найкращийдіелектрик– тефлон.

Розглянемохвильовий опірлінії:

;або ,де С – ємністьлінії. Обчислившиїї, одержимо: [Ом].

Лекція11

С

иметричнасмушкова хвильовід.

Скористаємосятими самиминаближеннями:

1. Т– хвиля;

   рівняння Лапласа
   конформнівідображення.

2. Розглянемополовину (симетрія).

ЗастосуємоперетворенняКристофеля-Шварца.Далі – аналогічнопопереднімзадачам. Розв’язавши,одержимо картинкуполів:

Її параметри:

.Тут менше, аніж упопереднійлінії, оскількиємність тутбільша. Однак,тут менше не в 2 рази,оскільки упопередньомухвильоводіємність враховуваласьі до верхньоїсторони верхньоїсмужки, і донижньої (див.Мал.), тому тамємність більша,аніж у звичайномуконденсаторі.

Довжинахвилі для симетричносмушкової лінії

,якщо всі трисмушки знаходятьсяв середовищі .

В

ідкритілінії.

Тут смужкана шарі діелектрику.Тоді:

• Зверху-

  .

• Знизу-

  .

Томувикористовуютьдеяке ефективне

: ,треба знайтичастину енергії,яка йде подіелектрику.Нехай ця частина в .Тоді: .Часто використовуютьтаку наближенуформулу: .

Лекція12

Повільніхвилі.

Для багатьохелектричнихприладів необхідноотримати хвилю,що рухаєтьсязі швидкістю

.Це зокремастосуєтьсяприладів, уяких відбуваєтьсяпередача енергіїта інформаціївід хвилі іншимносіям. Однак,згідно Ейнштейну,хвилі у вакуумірухаються зішвидкістюсвітла, а будь-якийінший носій(наприклад )не може рухатисязі швидкістю .

1. Д

   лястворенняуповільнениххвиль використовуютьсярізні спеціальніхвильоводи:

Передачаенергії віделектричногопотоку до ЕМ– поля називаєтьсяефектом Вавілова-Черенкова.Він виникає,коли швидкостіелектричногопотоку та ЕМ– хвилі рівні.

2. 
   .Метод передачіенергії: вдіелектрику– вузький канал,куди запускаютьпотік електронів.

3. Метод уповільнення:використовуютьсядифракційніефекти.

Розглянемопрямокутнийхвильовід здіелектрику:

Розповсюдженняхвилі в брускуз діелектриком– за рахунокповного відбиття.Це – відкритідіелектричніхвильоводи(бо немає металевихстінок) абосвітловоди.На практицівикористовуютьсякруглі волокна(див. мал.) – fiber-glass.

Досягненняполягає в тому,що немає металу,яким обумовленабільшістьвтрат. Ця лініятакож є уповільнюючою,бо:

1. 

2. непрямолінійнерозповсюдженняхвилі,

   .

Хвиля існуєне лише в хвильоводі,але й в металі,бо хвильовід– відкритий.

ВисновкиЕйнштейна проте, що фотон увакуумі рухаєтьсязі швидкістю

,стосуєтьсявільногонескінченногопростору, томуза межами хвильоводанеподалік віднього поле є,і воно рухаєтьсязі швидкістю ;проте на поля бути неможе черезекспоненційнеспадання поля.

З іншихміркувань:хвиля не виходитьз діелектрику,тому, що всерединішвидкість

тобто імпульс ;і згідно з закономзбереженняімпульсу хвиляне може вийтиз хвильоводу,бо за його межамиімпульс маєбути .Єдина умовавиходу хвиліз хвильоводу– тоді, колишвидкість хвилів хвильоводістане рівноюс (імпульсивсередині ізовні – однакові).

Розрахуємополе у fiber-glass:шукаємо хвилюЕ або ТМ.

Розв’язкиобох рівнянь(для зовнішньогота внутрішньогосередовища)необхідноприрівнятипри

(на границі): ; .

В циліндричнійСК:

.Запишемо рівняннядля скалярноїфункції: .Розглянемосиметричнірозв’язки: . .

.

Якщо областьмістить точку

;то розв’язокзручно братиу вигляді функційХанкеля, босаме в базисі є функція, щоекспоненційнопрямує до нуляпри .

- йде в з хвильовода, -йде з в хвильовід.

Отже,розв’язок требабрати у вигляді:

, ,тобто .

Граничніумови для похідних

.Врахуємо для або ; циліндричнафункція. Тоді .Таким чиномз граничнихумов одержали: .Це – лінійнаодноріднасистема відносноА та В. Вона маєрозв’язок заумови : . .

Розв’язокпозначається

(перший індексв -нуль, бо брали ).

Знайдемосталу розповсюдження:

,тоді одержуємо: .

Тут такожіснує критичнадовжина хвилі,яка відповідає

: .Однак існуєбільш жорсткаумова – умоватого, щоб хвиляне пішла зхвильоводу: : .Умовою визначеннякритичної хвиліу відкритихсистемах є нерівність сталоїрозповсюдження ,а більш жорсткаумова .Це – умованевитіканняхвилі з хвильоводу.Фізично вонає законом збереженняімпульсу (колиімпульси зовніі всерединіспівпадають,з’являєтьсяможливістьдля витіканняхвилі.

П

риблизнакартина розподілу та у хвильоводіта зовні показанана малюнку:

Ця картина- для

( ,1 – номер кореня).

Лекція13

Гібридніхвилі.

Раніше мирозглядаливсі види хвиль(Е, Н чи Т) окремо.Однак у загальномувипадку хвиляє суперпозицієюЕ, Н, Т – повнийрозв’язокрівняння Максвела.

Гібриднахвиля– це хвиля, якамає всі компоненти;це суперпозиціяЕ, Н, Т.

У випадкурозглянутомувище, хвильовода(стержня), мимаємо три граничніумови і двіконстанти врівняннях, атому рівнянняв загальномувипадку не будемати розв’язків.Однак, тут нампотрібно розглядатине тільки

, , ,а і хвилю : .Тепер полеописуєтьсячотирма константамиі відповідночотирма граничнимиумовами.

Методузгодженняпоперечногоімпедансу.Гофра.

Покажемо,що ця система– уповільнююча.Розглянемомодель:

Уявимо,що в цій системідійсно існуєхвиля, близькадо хвилі білякруглого хвильоводу.Нехай це будеЕ – хвиля, щорозповсюджуєтьсяв напрямку

.По аналогіїзі стержнем .Виходячи зцього, можназнайти іншікомпоненти: .

Це – компонентизовні. Що будевсередині?Всерединібудуть стоячіхвилі:

.Це – дві Т - хвилі(пряма і відбита).

Можнарозглянутитаке рішеннядля

всередині: .Тоді

Пом’якшимоумову (це методузгодженняпоперечногоімпедансу) так,щоб неперервнібули відношенняполів.

Тоді

.

Поперечнастала розповсюдженняхвилі

.

Т

оді . .В точках отримаємо .

Іноді будуютьфотонну криву:

Маємоділянку, де

,тобто маємоуповільнення. Це – звичайнийрезонатор дляЕМ – хвилі. Прирозрахункаху нас переходилов ,а це можливопри .Це – ще однаумова.

Спіраль.

Тут

, .Така системапо своїй конструкціїуповільнююча,з коефіцієнтомуповільнення .Але тут теж єрезонансніефекти, що призводятьдо уповільнення,якщо .

Лекція14

Об’ємнірезонатори.

У них хвиля“б’ється” міжстінками (див.Мал.):

,тоді хвиля, щозаходить урезонатор, івідбита, будутьу фазі; тобтоце – умова резонансу.

Розв’яжеморівняння Максвеладля даної системи– знайдемоколивання, щоіснують у ційкоробці.

.З урахуваннямграничних умовна боковихстінках (стінкаххвильовода): .Накладемо щедві граничніумови: звідки одержимо - неправильно.Це тому, що неврахуваливідбиття відторців; правильнобуде записати:

.Тоді при накладанніумови одержимо .

.

Розглянемо

,одержимо .Тоді .

Типи коливань:(останній індекс– кількістьпівхвиль)

В кругломурезонаторі:

Існує дужебагато типіврезонаторів.Наприклад,резонаторхвилі, що біжить,такий резонаторще називаютькільцевим.Резонанс:

.

Добротністьрезонаторів

.

Для будь-якогорезонаторазвичайно існуєАЧХ, яка маєширину.

Напівширина

вимірюєтьсядля на 0.5; а для вихідноїамплітуди –на 0.7 висотиконтуру. .Хвиля затухаєіз декрементом : , .Доведемо, що .Це випливаєз розв’язкурівняння: .Втрати - тут добротність .Втрати можутьбути в металі,на випромінюванняв діелектрику:

Підрахуємодобротність,пов’язану звтратами удіелектрику:

Таким чином,

( - коливаннярезонатораз діелектриком, - порожнього).

,де ,отже .Таким чиномми одержали , .Для розрахунку в металі требазнайти потікенергії (як усмушковомурезонаторі).

Лекція15

Відкритірезонатори.

Це резонаторина основі відкритихліній передач.Вони маютьелектромагнітнийконтакт з відкритимпростором.Звичайновикористовуютьсяв лазерах сферичнідіелектричнірезонатори.Нас цікавлятьшари діелектрикадля лінії

.Тут не можнавикористовуватигеометричнінаближення,потрібно розв’язуватирівняння Максвела.

Розв’яжеморівняння Максвеладля сферичногодіелектричногорезонатора.Тут потрібновикористатиССК:

, .

В сферичнійСК не можнаперейти доскалярнихрівнянь звичайнимчином. Використовуютьзаміну:

, , , , , .

Це – ТМ чи Е – заміна,оскільки

.Аналогічноможна зробитиН – заміну:

Ми будемовикористовуватиЕ – заміну,перейшовшидо потенціалу

,в результатіодержимо: .

Щоб отриматисаме хвильоверівняння, дебула б ще й похідна

,необхіднозробити заміну: .Потенціали та називаютьпотенціаламиДебаю. Вонимають методичнезначення. Розв’яжемопростіше рівняннядля та - методом відокремленихзмінних: тоді .

Рівняннядля

- це рівнянняЛежандра. Йогорозв’язки –поліноми Лежандра.Рівняння для можна звестидо рівнянняБесселя заміною .Це рівняннядля сферичнихфункцій Бесселя(або функційБесселя напівцілоговигляду). Стандартнийвигляд рівняння: ,його розв’язки :

.

Таким чиномрозв’язки:

.

Щоб використатиграничні умови,необхідновиразити

, через .

,

о

тримаємодва рівняннядля А та В, причомуА і В будутьвідмінні віднуля лише тоді,коли системи рівнанулю. Користуючисьвиразами для та ,отримаємо: з цього рівнянняотримаємо .Для : .Поле має вигляд:

Таким чином,поля тут ідутьтаким же чином,як і в кільці,по якому біжитьструм.

Це була строга,точна теоріярезонаторівсферичноїформи. Проте,їх важко виготовляти,вони незручніу використанні.Використовують:

Розрахуватитаку системунеможливо, бонемає регулярнихграничних умов(наприклад при

).

Можна вважати,що резонансначастота є проміжнимзначенням міжрезонансноючастотою увписаній таописаній кулі.

Відмінністьформуванняграничних умов:

- регулярнагранична умова

- нерегулярнагранична умова

Коли єметалева поверхня,можна записати

.Це так званіелектричністінки.

Лекція16

Методмагнітноїстінки.

Він застосовуєтьсяпри аналізідіелектричнихрезонаторів.

Оберненаситуація –хвиля виходитьз металу (абодіелектрика)в вакуум.

Зліва – стоячахвиля, справа– біжуча, звичайна,зі сталою амплітудою.

Тількитаким чиномможна досягтивиконання умов:

, ;якщо на границіЕП має максимум,а МП – мінімум(вузол).

В серединіз великим

ЕП сильнопоглинається,а МП залишаєтьсясталим.

Магнітнастінка виникаєпри виходіхвилі з діелектриказ

.Це означає, щона межі (на відміну віделектричноїстінки, якаутворюєтьсяпри виходіхвилі, де ).

Метал:

.

Діелектрик

: .

Самостійно:Знайти умовиіснуванняхвилі, частотиза аналогієюз задачею дляметалу.

Вимушеніколивання.

Лема Лоренцаі теорема взаємності.

В лінійнихполях немаєвзаємодії міжполями. Однак,існують випадки,коли лінійніполя впливаютьодне на одне.Уявимо, що єдва незалежнихЕМ – процеси:

- диференціальнийвигляд лемиЛоренца.

- лемаЛоренца. (поляне незалежні,а залежать одневід одного).

Р

озглянемоситуацію, коли : ,бо на всі фотонизатухають. , .

Р

озглянемодва диполі:

- енергіяпершого диполяу полі .

- теоремавзаємності.

Приймач нетільки приймає,але й випромінює.Для того, щобдесь збудитиполе, потрібно,щоб це полезбуджувалострум в нашійантені тобтопотрібно розміститиантену в центрі,де поле найбільше.

Збудженняхвиль у хвильоводі.

У хвильоводіможуть існуватилише Е та Н –хвилі.

Лекція17

Ортогональністьвласних хвильу хвильоводі.

Запишемолему Лоренцадля цього випадку.(

- стала розповсюдження.)

У виглядіхвилі візьмемовластивістьхвилі у хвильоводі:

; -позначення.

бо розглядаємовласні хвиліі зовнішніхструмів немає.Таким чином:

.

Незалежновід поверхні

.

Для того,щоб це булаконстанта,необхідно

.Сталість небуде залежативід ,коли хвиля йде ,і також хвиляйде ;для всіх іншиххвиль =0.

.

Підрахуємонорму хвилі(співвідношенняортогональне)для хвилі

.

, .

-це .Доведемоортонормованість.Уявимо, що єдеякий хвильовіді струми (див.Мал.)

.Звернемосядо леми Лоренца.Будемо вважати,що: , - зворотна власнахвиля.

- формуладля визначеннякоефіцієнтівчерез струми.

Нехай,наприклад, упрямокутномухвильоводічерез отвіру точці

введений стержень,по якому відгенератораГйде струм .Необхіднорозрахуватиамплітуду хвилі . ,де , .Отже : ,бачимо, що амплітудахвиль максимальна,якщо ,і дорівнюєнулю, коли стерженьколо стінки: .

Лекція18

Збудженняоб’ємних резонаторів.

1. Доведемоортонормованістьвласних функційрезонатора.

, ,бо задача провласні коливаннярозв’язуєтьсябез струмів.Для другогоколивання: .

,

.

Проінтегрувавшиобидві рівностіпо всьому об’ємута врахувавшивластивості

векторногодобутку, отримаємо:

,

.

Враховуючи,що

та позначивши маємо лінійнуодноріднусистему відносно з коефіцієнтами та :

.Система маєнетрівіальнірозв’язки якщо ; .Тоді ,тобто .Таким чиноммаємо ортонормованістьвласних функційрезонатораз нормою ,яку легко знайти.

2. Знайдемополя

   та
   всерединірезонаторапри наявностіструмів.

- рівнянняМаксвела.

Псевдовекторв математиці– вектор, щозмінює свійнапрямок приінверсії системикоординат(напрямок, векторнийдобуток). У фізиціпсевдовекторзмінює напрямокпри інверсіїчасу

.Наприклад, приінверсії часуелектрон починаєобертатисяв протилежномунапрямку, авідповіднозмінює і напрямокМП.

Такимчином, МП –псевдовектор,ЕП – вектор.Звідси можназробити висновок,що гамільтоніанне може містити

(щоб він бувінваріантнийдо інверсіїчасу). Ще одинвисновок – щонемає магнітногоп’єзоефекту.

І

снуєіще одна класифікація:

соленоїдальніта потенціальні.

Потенціальний(поздовжній):

- немаєвихорів.

С

оленоїдальний(поперечний):

- немаєвузлів.

Записавши

ми зробилипомилку, бо неврахувалипотенційніполя, пов’язаніз електростатичнимиполями зарядів,що збуджуютьструми.

Отже,

, ,де , .Взагалі то, ,бо магнітнихзарядів неіснує. Проте,є припущенняпро існуваннямагнітнихзарядів – монопольДірака;тоді .

,

.

Підставимов рівнянняМаксвела:

.Прирівнявшивідповіднікоефіцієнтипри базиснихфункціях та ,одержимо - з рівнянняа). Оскільки ,то .

. ; .

Такимчином, длягармонічнихполів:

.Тоді .Використаємо , . , бо .Таким чином,довели строгерівняння Пуансонадля електростатичноїчастини полів.

Проінтегруємо

по ,попередньопомножившина :

.

В результатіотримаємо:

,маємо системудвох рівняньз двома невідомими.Амплітуда .

Ми отрималиформулу длярезонансногозбудження. Тутне врахованодисипацію,тому можливо

.Якщо дисипаціюврахуватинаступнимчином: ,то отримаємоЛоренцівськурезонанснукриву: .

Лекція19

Неоднорідностіу хвильоводі.

Неоднорідностіє в будь-якомухвильоводі,вони маютьрізний характер.Для цих системполя можнарозбити на:

1. Дальню зону(де не відчуваєтьсянеоднорідність).

2. Ближню зону(неоднорідністьвідчуваєтьсясуттєво).

Наприклад,якщо буде заклепкана стінці хвильовода,то:

По хвильоводубуде розповсюджуватисялише одна хвиля

за рахуноквибору розмірів.Отже, білянеоднорідностібуде зона зенергією, якане розповсюджується.Тому це деякийеквівалентіндуктивностіабо ємності.

Нам необхідно:

1. Розв’язатирівняння Максвелаі знайти Г(коефіцієнтвідбиття) і Т(коефіцієнтпрозорості),далі в позначеннях

   та
   .

2. ,де
   - лінія,
   -перешкода,тобто отримуємо
   знаючи
   .
   .

Розглянемонеоднорідністьяка називаєтьсяДіафрагма.Вона може бутиіндуктивначи ємнісна узалежностівід опору.

Діафрагма.

Ми розглянемолише індуктивнудіафрагму, дляіншої – аналогічно.

Припущення:

1. діафрагманескінченнотонка і розташованау площині

   .

2. Симетріязадачі така,що крім хвиліН інших хвильне існує.

Тоді можназаписати, щопри

: ,тобто хвиляє сумою прямої,відбитої (р –коефіцієнтвідбиття) хвиліта вищих хвиль,що виникаютьна діафрагмі.Всі інші компонентирозраховуютьсяза допомогоюсистеми рівняньМаксвела:

Такимчином, ми маємовсі компонентиполя зліва віддіафрагми.Тепер запишемохвилю справа

: ,де - коефіцієнтпропускання(діафрагмагенерує в обохнапрямках).

Такимчином ми розв’язалирівняння Максвела,не розв’язуючиїх. (Зауваження:ми не враховувалиелектростатичнихполів).Тепер зашиєморозв’язкисправа та зліва,наклавши граничніумови при

(всі поля повиннібути неперервні):

.

Розглянемо:

1. Граничніумови для

   :
   
   ,помножимо церівняння на
   і проінтегруємовід 0 до
   ,в результатіодержимо:
   ,
   .Роблячи тесаме для полясправа віддіафрагми
   ,одержимо:
   ,
   .

2. Підставляючи

   ,
   ,
   в рівняння для
   і провівшианалогічнірозрахунки, отримаємонаступне рівняння:
   .Таким чином,маємо системуінтегральнихрівняннь (*) та(**), можемо знайти
   та
   .
   ;
   ;де
   ;
   .
   .

Фізичніміркування:

повинна бути чи в межах діафрагми.

З

найдемо :оскільки ;то буде ; .

Таким чином,це дійсно індуктивнадіафрагма.

Лекція2

Класифікаціяелектромагнітнихявищ

Існуютьзагальні підходидля спрощення:

1. Рівняннястаціонарногоелектромагнітногополя. Інколиможна розглядатипостійні струми.При цьому врівнянні (*)зникають похідні:

   Прикладвикористання:розрахунокнаводок.

2. Розглянемосистему рівняньу вакуумі,де

   .Рівняннямагнітостатики:
   ,рівнянняелектростатики:
   .Рівняннямагнітостатикимає місце ітам, де
   .РівнянняМаксвела нехвильове.Хвильовим воностає в однорідномуізотропномусередовищі.Звідси
   тобто
   звідки одержуєморівняння Лапласа:
   (зурахуваннямзаряду), Пуасона:
   (без).

3. Квазістатичненаближення:

   ,
   -розмір об’єкту.Тоді рівнянняМаксвеласпрощуються.Розглянемометал: тампросторовіпереходи дужешвидко зростають(швидке затухання)тобто частиннимипохіднимиможна знехтувати.

4. Длямонохроматичноголінійного поляможна використатиметодкомплекснихамплітуд:позбавляємосячастиннихпохідних тобтоспрощуєморівняння Максвела.Рівняння ЕМПв комплекснійформі будеморозглядатилише для лінійнихрівнянь, хочаіснує методі для нелінійних.Розглянеморівняння:

   .Зробимо наступнузаміну:
   ,та аналогічно
   .Підставившиотримаємо:
   ,прирівнявшикоефіцієнтиотримуємо:
   -ми спростилирівняння. Длятого, щоб записатилінійне ДР укомплекснихамплітудах,потрібно: а)замість дійснихзмінних записатикомплекснізмінні; б) замістьпохідних почасу требазаписати
   .Для того щобзнайти розв’язокрівняння, потрібнорозв’язатиспрощене рівняння,а потім знайтиреальну частинувід одного звиразів:
   або
   .Часто рівняннязаписують зурахуваннямтого, що хвильовийвектор
   ,де
   .Надалі ми будемопрацювати вкомплекснихамплітудах.

Було б зручнозвести рівнянняМаксвела дохвильових, алеце можна зробитилише у деякихвипадках, якіі розглянемо.

Плоскіхвилі

Розглядатимемоплоскі хвилів однорідномуізотропномусередовищі.

Задача:знайти характеристикиплоскої хвилів такому середовищі.

Розв’язок:

1. Обираємодекартовусистему координат;

2. РівнянняМаксвела:

   ;де
   .У плоскої хвиліна хвильовомуфронті амплітудаі фаза однакова.Нехай хвилярозповсюджуєтьсяв напрямку
   ,то
   .Отримаємо
   (з
   ).Розв’язокотриманогрівняннняосцилятора:
   .

Перейдемодо справжньоїкомпонентиполя:

де -рівняння хвильовогофронту (фаза ).Цей фронтрозповсюджуєтьсязліва направо.Якби ми взялизамість компоненту ,то одержалиб -фронт, що рухаєтьсясправа наліво.

Розглянемо

.

. ; ,тобто маємодійсно правутрійку .Оскільки ,то .

Такимчином у плоскійхвилі

і залежнівеличини: якщоодне з них задане,то друге визначаєтьсялише серидовищем(див. *). Це в СГСЕ,в інших системахпо іншому. Наприклад,в СІ у вакуумі 377(Ом) – опір вільногопростору (хвильовийопір простору).

Затуханняелектромагнітниххвиль (ЕМХ).

Нехайвздовж осі

розповсюджуєтьсяЕМХ: ;тут .Розглянемов середовищі,де ,(найрозповсюдженішийвипадок); .Тоді .З’явиласядійсна величина векспоненті.Тобто кожнахвиля затухає.

Лекція3

Затуханняу металі, скін– шар.

У попередньомупункті ми записалиЕМХ як

,для металу ,тоді маємо .Оскільки ,то .В металі хвилязатухає як .Глибина, наякій хвиляспадає в разназиваєтьсяскін – шаром. .Для постійногополя .

Перехідхвилі з одногосередовищав інше.

Р

озглянемотакий випадок:(див. Мал.)

Це – граничназадача електродинаміки.

Для її розв’язкунеобхідно:

1. Розв’язатирівняння Максвелау кожномусередовищі.

2. Прирівнятирозв’язки награниці.

3. З отриманихалгебраїчнихрівнянь одержативсі характеристикиЕМП.

Спочаткуобираємо повнусистему рівняньМаксвела, однакоскільки обидвасередовища– однорідніізотропні,можна використативекторне рівнянняМаксвела:

.

Межа – пряма,тому обираємодекартову СК:

.У даних середовищахбуде:

Нехай

,тоді .

З

апишемограничні умови:

Підставившиодержимо:

-система несумісна.Ми не врахувалите, що існуєтакож відбитахвиля у середовищі(1):

.При відбиттітрійка векторівзалишаєтьсяправою, томунапрямок вектора змінюється,тому у виразідля - мінус:

.

Підставившиодержимо:

Таким чином,найбільша(повна) передачаенергії в другесередовищепри

-коефіцієнтвідбиття .По аналогіїз електротехнікоювеличини називаютьопорами.

Лекція4

Узагальненаплоска хвиля.

Для рівняння

загальнийрозв’язок (можнаперевіритипідстановкою).Таким чиномхвиля розповсюджуєтьсяв багатьохнапрямках:

-хвиля в напрямку .

-хвиля в напрямку .

Задача:Нехай хвиляпадає під кутом

до поверхнісередовища,знайти характеристикивідбитої хвиліта заломленої.

Розв’язок:Вважаємо, що

.Раніше ми показали,що розв’язкомрівнянь Максвелає узагальненерівняння хвилі.Тоді для даниххвиль:

( ми розглянулиплоску задачув

).

Граничнаумова:

.Тоді ,де ; ; ;коефіцієнти не повиннізалежати від .В цьому випадку (*).Тоді (**).

Виходячиз (*), маємо

.(очевидно якщовідкластивідрізки намалюнку). Аналогічно .

-перший законСмеліуса.

- другий законСмеліуса.

Наближеніграничні умовиЛеонтовича.

Р

озглянемоідеальну металевуповерхню. Длянеї граничніумови: ; .Однак, тут - не враховувалисявтрати в металі.Їх врахувавЛеонтович:

1. Нехай хвиляпадає під кутомдо поверхні.Леонтовичвважав, що якбихвиля не падала,вона йде нормальнодо поверхні.Це можна пояснититим, що в металі

   ,тому кут заломленнядуже малий:
   .Це наближенаумова.

2. Леонтовичвважав, що вметалі розповсюджуєтьсязвичайнаелектромагнітнахвиля, в якій

   ,де
   .Ця рівністьзберігаєтьсяі на межі металу.У вакуумі
   ,при цьому
   ;
   .Це і є наближенагранична умова.

В

ідбиваннявід ідеальнопровідноїграниці (метал)ТЕ, ТМ хвилі.

- падаючахвиля (індекс“п”). Обираємознак “+” для .Тоді .Сумарне поленад металом

Таким чином,сумарна хвилярозповсюджуєтьсяв напрямку

.Отже в результатірозв’язкурівняння Максвелами маємо хвилю,що падає, і хвилю,що відбита.Сума цих полівдає нову хвилю,що розповсюджуєтьсявздовж і є сумою цихдвох хвиль.Падаюча і відбитахвиля називаютьсяпарціальними;Сумарна зветьсянеоднорідноюплоскою хвилею.Неодноріднаплоска хвилятеж є розв’язкомрівняння Максвела.

Властивостінеоднорідноїплоскої хвилі:

1. Ця хвиля маєпоздовжнікомпонентиполів: якщоз’являється а)

   -
   -хвиля(ТЕ); б)
   -
   -хвиля(ТМ).

2. Її амплітудавздовж хвильовогофронту змінюється:

   - через це їїназиваютьнеоднорідною.Плоскою називаютьтому, що фронтдо напрямкурозповсюдження
   .

3. довжинасумарної хвилі
   вихідних. Фазовашвидкість цієїхвилі
   ,оскільки в тойчас, коли вихіднахвиля апроходить,сумарна хвиляпроходить
   .За цей же часенергія переноситьсяна відстань
   -групова швидкість
   .

а

Висновок:Існують неоднорідніплоскі хвилі:

; ; ; .Існують компоненти , .

Лекція5

РівнянняМаксвела дляТ, ТЕ, ТМ хвиль.

Для однорідногоізотропногосередовищав декартовійСК:

.

Т - хвилярозповсюджуєтьсязі швидкістюсвітла,

.Для неї .Підставимов рівнянняМаксвела: ;

оскільки

,таким чиномдля Т – хвилі: - рівняння Лапласа.Для ТЕ та ТМ: , (хвиля розповсюджуєтьсяв напрямку ). .

Маємо

- для ТЕ, ТМ.

Ми отрималисистему рівняньМаксвела:

.

Т – хвиляіснує там, деє розв’язокрівняння Лапласа(електрика). Мизнаємо, що рівняннямЛапласа описуєтьсяелектростатичнеполе, наприкладу конденсаторі.Тому якщо існуєелектростатичнеполе, то можеіснувати і Т– хвиля. Такимчином вона можеіснувати уконденсаторі,коаксіальномукабелі.

Оскількиодне рівнянняі однаковіграничні умовидля електростатичногополя і Т – хвиля,то їх силовілінії співпадають.

Для того, щоброзв’язатизадачу прохвилю, требазнайти:

1. Картину полів;

2. Сталу розповсюдження(швидкість);

З

найдемоЕМ – поля між║ пластинами:

Тут можеіснувати Т –хвиля, бо існуєрозв’язокрівняння Лапласадля конденсатора.Картина полівзображена намалюнку, такимчином ми розв’язализадачу безвикладок. А чиможе у цій системірозповсюджуватисяЕ чи Н хвиля?Для того щобвідповістина це запитання,необхіднорозв’язатизадачу (розрахуватикартину поліві знайти

):

,будемо вважати,що .Ми отримализадачу Коші: .Її розв’язок . ; .

. .Де -довжина хвиліу хвилі у хвилеводі.

Очевидно,що

при ;тобто існуєдеяка критичнадовжина хвилі -така, що при хвиляне буде розповсюджуватисяу хвилеводі:при : -уявне, тобтоприсутнє затухання.

;нижня .

Таким чиному хвилевідзайде Т – хвиляз будь-яким

і Е – хвиля лишез .Можна отримати,що .Якщо зменшувати ,то збільшується.Також змінюється при зміні .Існує критичначастота, коли ,тоді хвиля нерозповсюджується. -довжина Т –хвилі у вільномупросторі , ;

Таким чином,в результатірозв’язкурівняння Максвелами знайшли лишеодну компонентухвилі

.Однак для побудовикартини необхіднознайти всі іншікомпоненти (у ТЕ та ТМ хвильможе бути небільше п’ятикомпонент).СкористаємосярівняннямиМаксвела: будемовиходити з .

А

налогічнодля ,таким чином,для неоднорідноїхвилі ми отрималиповний розв’язок: .Розглянемопари: .В нашій Е – хвиліобов’язково ,тоді з системилегко отриматиінші компоненти: .Таким чиноммаємо картинуполів ТМ (Е –хвилі). Для ТЕ– хвилі – аналогічно.

Лекція6

П

рямокутнийхвильовід.

В серединіметалевогопроводу не можебути електростатичнихполів. Можутьбути лише Е, Н.

.Граничні умови: Нехай ;тоді ; ; ; ; .

такимчином . .

Тут

;звідси .Аналогічно .

за симетрією .

отже .

.

Розв’язок:

;де ,можна такожзнайти ,але .

Ця задачав частиннихпохідних маєбезліч розв’язків

.Загальна хвилябуде .Розглянемоодин з розв’язків: -цехвиля .

Отримаємо

.Інші компоненти: ,тут .

У хвилеводібудуть розповсюджуватисяхвилі з

.

Визначимофізичний змістіндексів: розглянемо

. - по одна півхвиля.Таким чином,перший індекс означає скількиваріацій маєполе в напрямку .Другий індекс -вздовж .

Розглянемотипову картинуполів у хвильоводідля

:

Оскількихвиля рухаєтьсяз певною швидкістю,

зсунутев часі на (в формулі це ),тому маємокартину не а)а б).

Для хвилі

:

Для хвилі

завдяки граничнимумовам на стінках ,а по певнійкоординаті(там, де індекс= 0 ) це поле однорідне,тоді будевсюди, тобтоцієї хвилі небуде.

Лекція7

Хвильовийопір хвильовода.

Для Т –хвилі:

(для вакууму).Для ТЕ, ТМ хвильвведення хвильовогоопору не єоднозначноюзадачею, боіснує кількакомпонент.Домовилисьвідносити опірдо поперечноїкомпоненти: .

Електродинамічніпотенціали

Векторнийі скалярнийпотенціаливводятьсянаступнимчином:

; .У першому рівнянні,очевидно, можна задаватиз точністю до .При цьому рівнянняМаксвела:

Тоді отримаєморівняння дляЕД потенціалів:

Рівняннядля Т, ТЕ, ТМ хвильрізні. Щоб звестиїх до одноговиду, використовуючипотенціали

, ,де -електричнаскалярна функція, -магнітна скалярнафункція. Якщодля Т – хвилі завжди, то ,а перетворюєтьсяв нуль завдяки .Рівняння для :

.

При цьомукомпоненти

.

Іншікомпонентиможна отриматиметодом, якийрозглядавсяраніше. ДляциліндричноїСК:

.

Круглийхвильовід.

Очевидно,будемо користуватисяциліндричноюСК

:

Шукатимемохвилю

.Можна розв’язати ,однак ми розв’яжеморівняння дляскалярнихпотенціалів: .З урахуваннямвигляду оператораЛапласа уциліндричнійсистемі координатодержимо: .

Використаємометод відокремленнязмінних:

;

.Звідки очевидно,що:

а)

,тут - будь-який кутповороту, залежитьлише від виборукоординат(з’явився черезсиметрію задачі).Оберемо .

б)

-ЛДР зі зміннимикоефіцієнтами,тому звичайнимшляхом йогорозв’язуватинеможливо;потрібно застосуватиспеціальніфункції. Приведеморівняння достандартноговигляду: заміною воно зводитьсядо рівнянняБесселя:

.

Його розв’язкамиє циліндричніфункції (функціїБесселя):

(*)

ФункціїНеймана

,а тому очевидно,що ,тому що полепри повинно бутискінченим.Таким чином,якщо в задачііснує точка ,то розв’язокзавжди беретьсяу вигляді (*), де ,тобто у виглядіфункції Бесселя: .

Таким чином,

, .

Скористаємосяграничнимиумовами. Оскільки

;а ;то можна записати: .Отже, -це є умова длявизначення .Корені цьогорівняння аналітичноне отримуються,але їх можназнайти чисельно:

,де -номер хвилі, -номер рядку.

	1	2
0	3.83	-
1	1.84	-

Отже,

.Таким чином,для хвилі .Критична довжинахвилі у хвилеводівизначаєтьсяз умови .Аналогічно .

Тепер знайдемокартину хвиль.Для цьогоскористаємосятопологічнимиперетвореннями:

Перетворюючи

в декартовуСК, одержали в циліндричнійСК.

Першийіндекс – зміннапо

,другий – зміннапо .Таким чиному кругломухвильоводі“головною”,“найкращою”є хвиля (в той час як уквадратному- .

Лекція8

К

оаксіальналінія.

Тут можутьрозповсюджуватисьхвилі Т (бо тутможна утворитиконденсатор),ТЕ, ТМ.

, , .

.

Розглянемохвилю Т. Намнеобхіднорозв’язатирівняння

.Зробимо цеметодом конформнихвідображень.Його можназастосуватидля аналітичнихфункцій (тих,що задовольняютьрівнянню Лапласа),яким і є полеТ-хвиль.

Для того, щобскористатисьметодом КВ,необхідно:

1. Знайтивідображення,яке переводитьнашу область,де існує ЕМ –поле, у плоскийконденсатор;

2. Розв’язатирівняння Лапласау плоскомуконденсаторі;

3. Зворотнімконформнимперетвореннямзнов перейтив нашу область– це і будерозв’язокзадачі:

Метод конформнихвідображеньможна застосуватидля Т – хвилі,бо вона є розв’язкомрівняння Лапласа:

, .Доведемо, щовідображення перетворюєциліндричнийконденсаторв плоский: , ,тобто , .Таким чином,якщо . , .

Т

акимчином, можнаперетворитимежу циліндричноїобласті в межуплоскої. Томуй область перетворюєтьсяв область .Розв’язокзадачі в плоскомуконденсаторі: маєвигляд: .Поклавши (скориставшисьтим, що потенціалвизначаєтьсяз точністю доконстанти),маємо: .Скориставшисьзворотнімперетворенням,одержимо: .

Знайдемополе:

, .Хвильовий опір: .Проте такийопір не вимірюється.Більш практичнеозначенняхвильовогоопору: - відношеннянапруг лініїдо струмів уцій лінії. Знайдемо для Т – лінії,використавшиінтегральнірівняння Максвела: ,тут -заряд, -ємність наодиницю довжини.З урахуванням можна записати: . .Окрім Т – хвилі,в коаксіальномукабелі можеіснувати щей ТЕ чи ТМ хвиля: .

Картина хвиль:

.Наприклад, дляR₁=1мм,R₂=6мм: .

Лекція9

Лініїпередач дляінтегральнихсхем.

В інтегральнійелектроніцівикористовуютьсяв основномуплоскі лінії.

1. Симетрично– смушковалінія (ССЛ): вонавідкрита, томумає втрати.

2. Не симетрично– смушковалінія (НСЛ):

3. Мікросмушковалінія (microstripline) – МСЛ. Тутємність дужевелика, енергіясконцентрована.Підкладка здіелектрика

   .Лінія двоповерхова– це не дужезручно.

4. Щілинна лінія(slot line).Вона є одноповерховою:

5. Компланарнийхвильовід –все в однійплощині.

Поляв несиметрично– смушковійлінії.

Складністьрозв’язанняцієї задачіполягає в тому,що граничніумови тут –нерегулярні;не можна покласти,що на поверхні

.Використовуютьнаближеніметоди; зокремаконформнихвідображень.

Наближення:Існує Т – хвиля(нехтуємовипромінюванням).Використаємосиметрію задачі.Цікавимосявипромінюваннямна краю.

Т

ребарозв’язатизадачу: знайтирозв’язокрівняння Лапласау верхній площиніз напівнескінченнимрозрізом.Використаємометод конформнихвідображень:тут застосовуєтьсяінтегральнеконформнеперетворенняКристофеля– Шварца.

Розглянемоламану лінію,що в точці азмінює напрямокна кут

:

.Якщо є два зломи,то ,де , , .В нашій конкретнійзадачі ламануможна податиу вигляді:

К

утвідраховуєтьсяпроти годинниковоїстрілки віднаступногонапрямку допопереднього. , ,перенесемоточки: .

Проінтегрувавшиотримаємошукане перетворення:

.Константи та визначаютьсяз умов: ,отже .Умовою ми не можемоскористатися,бо одержимо .Використаємофізичні міркування:

Загальнийвид відображення

;бо областьінваріантавідносно зсувувздовж ОХ(трансляційнасиметрія).

Зрозуміло,у нашій задачіобласть при

.При перетвореннянабуває вигляду: .Порівнюючиз , .Отже шуканеперетворення: .

Для того, щобзнайти розв’язоку верхній півплощині,необхідноперетворитиїї в конденсатор,використовуючиперетвореннязворотне до

: .Тоді відображення,що перетворитьвихідну область( )(край конденсатора)у конденсатор( ),має вигляд: .

Тепер необхіднорозв’язатирівняння уплоскому конденсаторіта скористатисьзворотнімперетворенням:

, . .

Таким чином:

.

Запишеморівнянняеквіпотенційнихповерхонь:

.

ЕПП

переходитьв .

ЕПП

переходитьв .

Таким чином,отримаємо такукартину еквіпотенціальнихповерхонь:

Тепер знайдемоелектричнісилові лінії.Ці лінії перпендикулярніЕПП, однак мизнайдемо їхв аналітичнийспосіб. Очевидно,в (

)такі силовілінії, як намалюнку. Знайдемообраз цих лінійу просторі ( ).Наприклад, , .Отримаємокартину ЕП в( ):

Часто важливознайти напруженістьполя в певнійточці:

.