1. Физическое описание явления фильтрации жидкости
1.1. Закон фильтрации однородной жидкости
Фильтрация представляет собой движение жидкости в пористой среде под действием перепада давления. Основной характеристикой фильтрационного движения является вектор скорости фильтрации u определяемый следующим образом. Выберем точку М пористой среды и проведем через нее элементарную площадку S. Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости Q. Тогда проекция вектора u на нормаль к выделенной площадке равна lim Δ Q/(p S), где p – плотность жидкости. Подчеркнем, что масса жидкости делится на полную площадь S, а не на ее часть, занятую порами.
Основное соотношение теории фильтрации - закон фильтрации - устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное движение. Некоторые сведения о законе фильтрации можно получить, исходя из самых общих представлений.
Окружим точку пористой среды некоторой малой окрестностью; поле скоростей фильтрации в этой окрестности можно считать непрерывным, а все параметры пористой среды и насыщающей ее жидкости - постоянным. Нельзя пренебречь лишь изменением давления, как бы мало оно не было, поскольку при постоянном по пространству давлении движение полностью отсутствует (по существу это утверждение является основной гипотезой). Поскольку изменение давления в окрестности данной точки определяется градиентом давления, основное предположение при установлении вида закона фильтрации состоит в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой среды определяется свойствами жидкости и пористой среды и градиентом давления grad p. Пористая среда характеризуется геометрическими параметрами - характерным размером d и некоторыми безразмерными характеристиками: пористостью m, безразмерными параметрами кривой распределения и др. Закон фильтрации должен являться следствием уравнений количества движения жидкости в поровом пространстве, поэтому в систему определяющих величин следует включить также те характеристики жидкости, которые входят в эти уравнения, т.е. плотность p и вязкостьm. Таким образом, предполагается, что существует зависимость градиента давления grad p от вектора скорости фильтрации u, геометрических характеристик пористой среды m, d и т.д. и характеристик жидкости r и m. Среди величин, от которых зависит grad p, только скорость фильтрации u является вектором. В силу изотропии среды (т.е. независимости ее свойств от вращений и отражений системы отсчета) зависимость grad p от u должна быть инвариантной относительно вращения вокруг направления вектора u.
Поэтому вектор grad p должен быть направлен по одной прямой с вектором u. В самом деле, предположим обратное, т.е. пусть вектор grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u. Если повернуть выбранную произвольную систему координат относительно направления вектора u на некоторый угол, то ни вектор u , ни какой-либо другой из определяющих параметров не изменится. Следовательно, не должен измениться и вектор grad p, зависящий только от этих параметров. Но если grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u, то при повороте его направление относительно координатных осей обязательно изменится. Отсюда вытекает, что вектор grad p может обращен только по направлению вектора u, так что
grad p= - си, (1)
где с - некоторая скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости u, а также величин d, m, p, m.
Рассмотрим сначала такие фильтрационные движения, для которых несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений принадлежит, в силу их крайней медленности, большинство фильтрационных движений, встречающихся на практике. При этом плотность р, характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при безынерционных движениях величина c зависит только от u, d, m и m. Выпишем размерности интересующих нас величин:
(2)
Из пяти величин (2) можно выбрать три с независимыми размерностями (например, u, m, и d). Тогда, согласно p - теореме, анализа размерностей искомая зависимость будет связывать две безразмерные комбинации указанных величин. В качестве одной из безразмерных величин удобно взять пористость m, в качестве другой выберем cd2/m. Таким образом, имеем
cd2/m= f (m), c=md-2f(m). (3)
После этого уравнение (1) может быть представлено в виде:
(4)
Это соотношение называется законом фильтрации Дарси (по имени французского ученого, установившего его экспериментально в 1856г.). Величина k=d2/f(m), вводимая уравнением (4), носит название проницаемости. Проницаемость имеет разномерность площади; она не зависит от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой пористой среды.
В физической системе единиц проницаемость измеряется в см2. Однако проницаемость большинства горных пород выражается при этом весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет 10-8-10-9см2; проницаемость плотных песчаников - около 10-10 см2. Ввиду этого в нефтепромысловой практике получила распространение единица проницаемости 1Д (дарси)= 1,02× 10-8 см2.
В практике гидротехнических расчетов вместо давления обычно используется напор H = p/rg, и закон Дарси записывается в виде:
(5) Величина C, имеющая размерность скорости, называется коэффициентом фильтрации.
Функция f в выражении (3) зависит не только от пористости, но и от других безразмерных характеристик геометрии порового пространства. Были сделаны многочисленные попытки представить в качестве функции пористости и характерного размера для типичных пористых сред как путем рассмотрения простейших моделей, так и путем обработки опытных данных. Все полученные результаты носят частный характер и имеют узкую область применимости. Наибольшей известностью из формул этого рода пользуется уравнение Козени - Кармана, полученное на основе аналогии между пористой средой и системой параллельных трубок, выражающее проницаемость через удельную поверхность å и пористость m:
(6)
Постоянная К определяется из опыта и оказывается разной для пористых сред различной структуры. Формула (6) используется главным образом при расчетах фильтрационных сопротивлений искусственных пористых сред, применяемых в химических аппаратах; ею пользуются также при определении удельной поверхности порошков.
Закон Дарси является следствием предположения о безинерционности движения жидкости. Фильтрационное течение, следующее закону Дарси, является частным случаем ползущего течения (широко известным примером ползущего течения является стоксовское обтекание сферы). Течения такого типа характеризуются преобладанием вязких сил над инерционными, т. е. очень малыми числами Рейнольдса (Re << 1). Поэтому представляются нецелесообразными многочисленные попытки получить закон Дарси путем осреднения уравнений Навье - Стокса. Ясно, что любой такой вывод будет сводиться в конечном счете к попытке вычислить проницаемость по известной геометрической структуре пористой среды.
Закон Дарси имеет весьма широкую область приложения и на его основе получены основные результаты теории фильтрации. Существуют, однако, случаи, когда линейный закон фильтрации Дарси не применим. Эти случаи, необходимые обобщения закона Дарси и возникающие при этом нелинейные задачи теории фильтрации будут рассмотрены ниже. Пока же будем считать все рассматриваемые движения подчиняющимися закону Дарси.
До сих пор предполагалось, что пористая среда изотропна. Если пористая среда не является изотропной, то из общих соображений можно утверждать, что в произвольной ортогональной декартовой системе координат х1, х2, х3 компоненты вектора grad p выражаются через компоненты ui вектора
следующим образом:(7)
где cij - некоторый тензор. В случае безинерционных движений компоненты тензора cij могут зависеть только от вязкости жидкости m, тех или иных геометрических характеристик пористой среды и модуля вектора скорости фильтрации
. Аналогично выводу формулы (7) можно показать, что cij=mrij, где тензор rij зависит только от геометрических характеристик пористой среды и вызывает тензором удельных фильтрационных сопротивлений; компоненты тензора rij имеют размерность обратной площади. Выражая, наоборот, компоненты вектора скорости через компоненты вектора градиента давления, получаем
(8)
где тензор kij является обратным тензору rij, также зависит от геометрических характеристик пористой среды, имеет размерность площади называется тензором проницаемости. Эта зависимость представляет собой закон Дарси для анизотропной пористой среды.
Покажем теперь, что тензор сопротивлений rij и тензор kij являются симметричными, т.е. rij = rij, kij = kij. В самом деле, на пористую среду со стороны фильтрующейся жидкости действует объемная сила, пропорциональная градиенту давления; безразмерный множитель пропорциональности зависит только от геометрических характеристик пористой среды. Удельная работа этой силы, т.е. работа за единицу времени на единицу объема системы жидкость - пористая среда, равная удельной диссипации энергии жидкостью в пористой среде, равна скалярному произведению