Фильтрация газов(баротермический эффект) (стр. 3 из 8)
1.3. Описание задачи
Рассмотрим температурную задачу в полярной системе координат, где среда представлена одной бесконечной областью (рис.1). Область является пористой и насыщена газом. Будем рассматривать случай радиального движения газа из бесконечности к скважине радиуса
, ось которой совпадает с осью 
Рис. 1. постановка задачи
При описании температурной задачи примем следующие допущения:
- пористый пласт считается однородным и изотропным по гидродинамическим и теплофизическим свойствам;
- давления в скважине и на контуре питания остаются неизменными;
- породы, окружающие пласт предполагаются непроницаемыми и однородными по своим теплофизическим свойствам;
- температуры газа и скелета пористой среды в каждой точке совпадают;
- естественное тепловое поле Земли считается стационарным;
- пласт расположен на глубине порядка 1 – 2 км, поэтому суточные и сезонные колебания температуры не достигают пласта;
- адиабатическим эффектом, обусловленным гравитационным полем пренебрегаем.
1.4. Математическая постановка задачи
Математическая постановка задачи включает температурную задачу, гидродинамическую задачу, уравнение состояния и соотношение для поля скорости конвективного переноса тепла. Ниже рассматриваются соответствующие постановки задач.
1.4.1. Математическая постановка температурной задачи
Математическая постановка задачи для всех областей представляется уравнением (I.2.1). Температурное поле в этом случае описывается уравнением Чекалюка в пренебрежении теплопроводностью и адиабатическим эффектом и с учетом закона фильтрации Дарси:
 . | (I.4.1.1) |
Будем рассматривать задачу при следующих условиях температуры:
начальном
 , | (I.4.1.2) |
и граничном
 . | (I.4.1.3) |
1.4.2. Математическая постановка гидродинамической задачи
Математическая постановка гидродинамической задачи в полярной системе координат примет следующий вид. Учитывая, что для осесимметричного течения поле давления является функцией координаты r уравнение можно представить в виде:
 , | (1.4.2.1) |
Будем рассматривать задачу при следующих условиях. Пусть PC – давление на границе контура питания. При значении радиуса, равном радиусу контура питания
 , | (1.4.2.2) |
давление поддерживается равным Рс:
 , | (1.4.2.3) |
Pс – давление на контуре питания.
При значении радиуса, равном радиусу скважины
 , | (1.4.1.3) |
давление поддерживается равным PW:
 , | (1.4.1.4) |
где PW – давление в скважине.
1.4. Основные идеи метода характеристик[6]
В данном разделе рассмотрим метод характеристик. Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых переменных) может быть записано в следующем виде:
 | (1.4.1) |
где а, b, с, d, e, f, g — заданные непрерывные функции от x и y (или в частном случае, постоянные).
Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых переменных:
 | (1.4.2) |
Здесь x и h — новые независимые переменные. Функции j и y, связывающие новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать, что система уравнений (1.4.2) может быть однозначно разрешена относительно х и у; это надо понимать следующим образом: если функции j и y и отображают некоторую область G плоскости Оху в область G* плоскости Oxh, то при этом каждой точке (x ,h) области G* соответствует только одна точка области G (иначе говоря, отображение области G на G*, даваемое функциями j и y, является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы якобиан преобразования (т. е. определитель
) нигде в области G не обращался в нуль.Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные производные от функции u по х и у через производные от и по x и h:
 | (1.4.31) |
 | (1.4.32) |
Это записано на основании правила дифференцирования сложной функции от двух переменных (здесь u зависит от x и h, которые, в свою очередь, зависят от x и у). Для того чтобы выразить
, через производные по x и h, учтем формулу (1.4.31) и применим снова правило дифференцирования сложной функции:  |
Следовательно,
 | (1.4.41) |
Аналогично найдем:
 | (1.4.42) |
 | (1.4.43) |
Правые части равенств (1.4.31), (1.4.32), (1.4.41), (1.4.42), (1.4.43) представляют собой линейные функции относительно частных производных
, 
Подставляя u'x, u'y, u'xx,... из этих формул в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка с неизвестной функцией и и независимыми переменнымиx и h:  | (1.4.5) |
где
 | (1.4.5’) |
a
— функция, линейная относительно и’x , u’h , u .Уравнение (1.4.5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты а и с окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (1.4.1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных
 |
подобрав функции j и y так, чтобы они являлись решениями уравнения:
 | (1.4.6) |
Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.