Фильтрация газов(баротермический эффект) (стр. 4 из 8)
Теорема. Для того чтобы функция z = f(x, у) во всех точках области G удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство
 | (1.4.7) |
было общим интегралом уравнения
 | (1.4.8) |
в той же области G.
Доказательство. Необходимость. Пусть z = f(x, у)— решение уравнения (1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у) — k и докажем, что любая кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).
В любой точке, лежащей на кривой f(x, у) = k (где k — фиксировано), выполняется следующее равенство:
 |
действительно вдоль данной кривой функция f(x, у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.
Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:
 |
обозначим каждое из этих отношений через l; тогда
 |
Подставляя эти выражения для dx и dy в левую часть уравнения (1.4.8), получим:
 |
Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (1.4.6). Следовательно, во всех точках нашей кривой имеет место равенство
 |
откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравнения (1.4.8).
Итак, любая кривая вида f(x, у) = k является интегральной кривой уравнения (1.4.8); с другой стороны, через каждую точку области G проходит кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена всюду в области G и поэтому, например, через точку (х0, у0) проходит кривая f(x,y)=f(x0,y0).
Отсюда следует, что семейство f(x, у) = k является общим интегралом уравнения (1.4.8).
Достаточность. Пусть семейство f(х, у)= k будет общим интегралом уравнения (1.4.8). Возьмем произвольную точку (х0, у0) из G и выделим ту кривую семейства, которая проходит через эту точку:
f(x, у) = k0.
Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду вдоль этой кривой выполняется равенство
 |
откуда
 | (1.4.10) |
Так как кривая является интегральной кривой уравнения (1.4.8), то при подстановке в это уравнение dx и dy из (1.4.10), получим тождество:
 |
или, после сокращения на l2:
 |
В частности, в точке (х0, у0) имеет место:
 |
Но последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у) удовлетворяет в точке (х0, у0) уравнению (1.4.7). Так как точка (х0, y0) была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет уравнению (1.4.7) во всех точках этой области, т. е. эта функция является одним из решений уравнения (1.4.7).
Таким образом, теорема доказана.
Рассмотренная теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения (1.4.1). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (1.4.8); оно называется характеристическим уравнением для данного уравнения (1.4.1). Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно y’x (предварительно разделив все члены уравнения на dx2), получим два уравнения:
 | (1.4.101) |
 | (1.4.102) |
(предполагается, что ас — b2<0, b2 —ас>0 всюду в области G). Пусть общий интеграл уравнения (1.4.101) имеет вид
| j(х, у)= k , | (1.4.111) |
а общий интеграл уравнения (1.4.102)
| y(х, у)= k. | (1.4.112) |
Интегральные кривые характеристического уравнения (т. е. все кривые, входящие в семейства (1.4.111) и (1.4.112)) называются характеристиками заданного дифференциального уравнения (1.4.1). В связи с этим рассматриваемый метод упрощения уравнения (1.4.1) называется методом характеристик.
Семейства (1.4.111) и (1.4.112) можно рассматривать, как общие интегралы уравнения (1.4.8) (это уравнение распадается на два уравнения (1.4.101) и (1.4.102)).
Следовательно, согласно доказанной теореме, функции
z=j(х, у) и z=y(х, у)
являются решениями уравнения в частных производных (1.4.6).
Функции j(х, у) и y(х, у) независимы друг от друга (можно доказать, что их якобиан отличен от нуля, если ас- b2<0). Поэтому, возвращаясь к уравнению (1.4.1), мы можем в нем сделать замену переменных:
 |
Так как функции j и y удовлетворяют уравнению (1.4.6), то в результате этой замены переменных окажется
и 
. Следовательно, уравнение (1.4.1) преобразуется к виду:  |
или, после деления на 2b и переноса в другую часть равенства:
 |
где
– функция, линейная относительно и’x , u’h , u (см. выше, формула (1.4.5)).Полученное уравнение имеет более простой вид, чем исходное уравнение (1.4.1); если мы его сможем решить (т. е. найти и как функцию от x и h), то для того, чтобы найти решение исходного уравнения, достаточно вернуться к старым переменным (выразив x и h через х и у).
1.5. Выводы
В данной главе представлены основные уравнения состояния реального газа, уравнения, описывающие процесс фильтрации газа в пористой среде. Дано описание задачи. Сформулированы физическая и математическая постановки температурной и гидродинамической задач. Описан метод характеристик, который использован для получения решения задачи в главе 2.
Глава 2. Аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния
В данной главе приведены аналитические решения гидродинамической и температурной задач для произвольного уравнения состояния.
2.1. Решение гидродинамической задачи
Решение уравнения (I.4.1.1) приводит к необходимости решения дополнительной гидродинамической задачи для отыскания поля давления. Для описания движения газа воспользуемся квазистационарным уравнением неразрывности:
 . | (2.1.1) |
Скорость фильтрации газа сквозь пористую среду определяется законом Дарси:
 . | (2.1.2) |
Здесь
- проницаемость пористой среды, 
- вязкость газа. Полагая, что 
и не меняются при движении газа к скважине, и что плотность газа зависит только от давления (баротропное приближение), перепишем уравнение неразрывности в следующем виде: