Фильтрация газов(баротермический эффект) (стр. 5 из 8)
 | (2.1.3) |
Функцию Лейбензона представим в виде:
 , | (2.1.4) |
где величины
и А задаются граничными условиями. Подставляя функцию Лейбензона в уравнение (2.1.3), получим:  . | (2.1.5) |
Учитывая, что для осесимметричного течения поле давлений является функцией координаты
, уравнение (2.1.5) можно представить в виде:  | (2.1.6) |
Решение этого уравнения представим в виде:
 , | (2.1.7) |
где
и 
- постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями. Пусть 
- давление на границе контура питания (при 
), 
- давление в скважине (при 
), тогда согласно (2.1.4) и (2.1.7)  | (2.1.8) |
 | (2.1.9) |
Отсюда найдем выражение для
и 
:  | (2.1.10) |
 | (2.1.11) |
Подставив эти выражения в уравнение (2.1.7), получим:
 | (2.1.12) |
Выражение (2.1.12) представляет неявную зависимость давления Р от координаты r, если известна зависимость плотности от давления
. Очевидно, что при рассмотрении баротермического эффекта в пластах газ нельзя рассматривать как идеальный, поскольку коэффициент Джоуля-Томсона для идеального газа равен нулю. Поэтому в дальнейшем плотность газа будем представлять в виде какого-либо уравнения для реального газа (например, уравнения Ван-дер-Ваальса). 
Используя (2.1.12), получим выражение для градиента давления в виде:
 | (2.1.13) |
Найденное выражение для градиента давления позволяет преобразовать температурную задачу к виду удобному для аналитического решения. Решение температурной задачи рассматривается в следующем параграфе.
2.2. Решение температурной задачи
С учетом (2.1.13) и закона фильтрации Дарси (2.1.2) задача (I.4.1.1) – (I.4.1.3) преобразуется к виду:
 | (2.2.1) |
Условия (I.4.1.1) – (I.4.1.3) остаются неизменными. Вводя обозначение
 | (2.2.2) |
представим уравнение Чекалюка в виде:
 | (2.2.3) |
Будем рассматривать задачу при следующих условиях для температуры:
начальном
 | (2.2.4) |
и граничном
 | (2.2.5) |
Решение уравнения (2.2.3) методом характеристик дает зависимость координаты
от времени 
:  . | (2.2.6) |
Характеристика, удовлетворяющая условию
:  | (2.2.7) |
определяет область применимости нестационарного решения
 | (2.2.8) |
Уравнение (2.2.3) с учетом (2.2.6) можно представить в виде:
 | (2.2.9) |
откуда
 | (2.2.10) |
где
 | (2.2.11) |
Исключив константу С из (2.2.10) и (2.2.11), окончательно получаем нестационарное решение:
 . | (2.2.12) |
Пределы применимости этого решения ограничены областью (2.2.8). Следовательно, рассматриваемое время
должно удовлетворять условию: 
. Для моментов времени 
значения 
больше, чем 
, что соответствует зоне, по которой волна температуры уже прошла и где распределение температуры уже установилось, то есть 
. Для этой области  | (2.2.13) |
и стационарное решение, удовлетворяющее условию (2.2.5), имеет вид:
 | (2.2.14) |
Выражения (2.2.12) и (2.2.14) полностью решают поставленную задачу для любого уравнения состояния
2.3. Выводы
В данной главе представлено аналитическое решение задачи о баротермическом эффекте с учетом реального уравнения состояния, которая включает в себя температурную и гидродинамическую задачи.
Глава 3. Получение Аналитических выражений решения задачи о баротермическом эффекте с учетом барической сжимаемости
3.1. Решение гидродинамической задачи для линеаризованного уравнения состояния
Выпишем полученные решения для линеаризованного баротропного уравнения состояния