Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) (стр. 3 из 8)

Если w соответствует частоте резонанса, магнитный диполь поглощает энергию поля, создаваемого катушкой, вследствие чего вектор магнитного момента отклоняется в направлении к плоскости ху и во второй (приемной) катушке, расположенной вдоль оси у, наводится э.д.с.

Т.о., рассмотренная здесь классическая модель резонанса, объясняя суть явления, указывает и на экспериментальное его проявление, состоящее в непрерывном поглощении электромагнитной энергии поля Н₁.

2.2.Квантово-механическое рассмотрение условий резонанса.

При включении магнитного поля

каждое ядро приобретает дополнительную энергию -m

, которую называют зеемановской. Гамильтониан в этом случае имеет очень простой вид

H=-m

(2.8)

Направляя ось z вдоль приложенного постоянного магнитного поля

₀, получаем

H=-gh

₀I_z (2.9)

Собственные значения этого гамильтониана являются произведениями величины gh

₀ на собственные значения оператора I_z . поэтому возможные значения энергии равны

Е=-gh

₀m , m= I , I-1 , … , -I . (2.10)

Чаще всего для наблюдения магнитного резонанса применяют переменное магнитное поле, направленное перпендикулярно постоянному полю. Если амплитуду переменного поля обозначить через H⁰_x, то часть полного гамильтониана, приводящая к переходам, будет иметь вид

H_возм=-gh

⁰_xI_xcoswt (2.11)

Оператор I_xимеет отличные от нуля матричные элементы (m^’êI_x êm), связывающие состояния m и m^’, только в случае выполнения равенства m^’=m+\-1. В соответствии с этим разрешены переходы только между соседними уровнями, что дает

hw=DE=gh

₀ (2.12)

или

w=g

₀ (2.13)

Это соотношение позволяет вычислить частоту, при которой можно наблюдать резонанс, если известно, каким образом можно определить g.

Вычислим магнитный и механический моменты частицы массой mи заряда e, движущейся по окружности радиуса r с периодом Т. В этом случае механический момент

J=mvr=m(2pr²/T), (2.14)

а магнитный момент

m=iA (2.15)

(рассматриваем систему как контур тока i, охватывающий площадь А). Поскольку i= (e/c)(1/T), получаем

m=(е/c)(pr²/T). (2.16)

Сравнение вычисленных значений m и J дает g=m/J=e/2mc. Помимо оценки порядка величины g эта формула позволяет сделать вывод о том, что g для ядер должна быть на три порядка меньше величины g для электронов. Следует пользоваться самыми сильными магнитными полями, какие могут быть получены в лабораторных условиях, т.к. при этом возрастает величина поглощаемых квантов, и сигнал резонанса увеличивается.

Эксперимент Штерна – Герлаха.

Существенным для понимания свойств магнитного момента микрочастиц является его квантование, т.е. наличие у микрочастицы дискретных состояний с различными магнитными свойствами.

Классический эксперимент по доказательству дискретных свойств магнитного момента был впервые осуществлен Штерном и Герлахом. Простейшая схема этого опыта, проведенного сначала для электрона, состоит в следующем (рис.3.). Катод, на который нанесен слой натрия, разогревается в вакууме. Пучок атомов натрия с помощью системы фокусирующих щелей направляется в пространство между полюсами магнита, магнитное поле которого неоднородно; в частности, компонента поля Н_z (вдоль оси магнита) зависит от z-координаты, т.е. дН_z/дz ≠ 0. за магнитом располагают пластину, на которой регистрируют пучок атомов натрия. Если магнитное поле отсутствует, то пучок фокусируется в центре пластины (Δl=0). Если предположить, что 2s-электрон атома натрия обладает собственным магнитным моментом μ_е, то при наложении неоднородного магнитного поля на электрон будет действовать сила F, проекция которой на ось z равна

F_z=(μ_e)_z*(дН/дz), (2.17)

где (μ_е )_z – проекция магнитного момента электрона на ось z . эта сила будет вызывать отклонение пучка от центра. Т.о., измерение величины отклонения пучка Δl можно использовать для определения величины проекции магнитного момента электрона (μ_е)_z.

Рис.3. Схема эксперимента Штерна – Герлаха.

Наиболее интересный результат этих экспериментов состоит в том, что на пластине обнаруживается две компоненты (дуплет), расположенные слева и справа от центра на расстояниях ±Δl. Этот результат свидетельствует о наличии у ансамбля частиц двух подсистем, характеризующихся разными значениями проекции магнитного момента ±(μ_е)_z.

При определенных модификациях, вызванных главным образом исключительной малостью ядерных магнитных моментов, эксперименты Штерна – Герлаха могут быть проведены и для случая ядер. При этом, однако, оказывается, что для некоторых ядер наблюдается не две, а большее число компонент.

2.3. Спин- решеточная релаксация.

Ядерные спины всегда взаимодействуют со своим окружением (решеткой), но вследствие того, что это взаимодействие мало, допустимо различать спиновую температуру и температуру решетки. Однако, благодаря имеющемуся слабому взаимодействию между двумя системами, устанавливается тепловое равновесие. Поэтому необходимо рассмотреть скорость установления равновесия. Этот процесс играет существенную роль для установления природы ЯМР.

Рассмотрим систему ядер, помещенную в постоянное магнитное поле

₀ (поле ₁ отсутствует). Для термического перехода, помимо взаимодействия системы спинов ядер с решеткой, требуется существование определенного энергетического состояния этой системы (решетки), при котором возможен переход. Это можно проиллюстрировать, предположив, что резервуар (решетка) имеет только два уровня энергии, расстояние между которыми точно такое же, как и у ядерной системы.

Если ядро и резервуар вначале находятся в противоположных состояниях (рис. 4а), то одновременный переход, указанный стрелками, удовлетворяет закону сохранения энергии. Следовательно, ядро может отдавать энергию решетке. С другой стороны, если обе системы находятся в верхнем состоянии (рис. 4б), то одновременный переход невозможен, т.к. при этом не сохраняется энергия. Вероятности переходов с поглощением и испусканием одинаковы. При наличии спин- решеточного взаимодействия это равенство нарушается, т.к. в этом случае скорость ядерного перехода зависит от вероятности того, что резервуар находится в состоянии, при котором возможен переход.

Рис.4. Переходы: а - разрешенный; б - запрещенный.

Возвращаясь к нашей системе, получим:

(n – n_равн.)=(n – n_равн.)₀exp(- t/T₁), (2.18)

n – разность заселенности двух уровней или избыток заселенности.

Т.о., разность между избыточным числом ядер в произвольный момент времени и его значение в состоянии теплового равновесия (т.е. к моменту, когда t=Т₁) уменьшится в е раз. Это время характеризует скорость, с которой система ядерных спинов приходит в тепловое равновесие с другими степенями свободы данного образца (решетки). Величину Т₁ обычно называют временем спин- решеточной релаксации. В течение этого времени устанавливается разность заселенности уровней, отвечающая данному значению Н₀ и температуры. Результатом этой разности является появление результирующего макроскопического магнитного момента образца. Поэтому можно сказать, что Т₁ представляет собой время, необходимое для намагничивания образца.

Процесс спин- решеточной релаксации приводит к уширению резонансной линии, т.к. переходы, индуцируемые другими степенями свободы молекулы, делают конечным время жизни ядра в данном состоянии. Порядок величины уширения, вызванного этим процессом, равна:

Dn»p¤2Dt, (2.19)

где Dn [Гц].

В выражении (2.19) Dt – характеристическое время того процесса, который приводит неопределенности в значении резонансной частоты, т.е. обуславливает уширение сигнала. Т.о., ширина линии в единицах частоты, обусловленная спин- решеточной релаксацией, приблизительно равна 1/Т₁.

Время спин- решеточной релаксации существенно зависит от окружающей среды и типа ядра. Передача магнитной энергии от протонов и других ядер со спином 1/2 к другим степеням свободы может происходить только одним путем – посредством флуктуаций локальных магнитных полей. Ядра с более высокими значениями спина имеют электрические квадрупольные моменты, которые могут взаимодействовать с флуктуирующими электрическими полями. Поэтому значения Т₁ для таких ядер меньше. Для жидкостей значения времен спин- решеточной релаксации лежат в пределах 10^-2 – 10² с. в твердых телах Т₁ меняется от 10^-4 – 10⁴ с.