Лекции по физике (стр. 20 из 42)
точками даётся известным выражением
r2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.
Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат в пространстве. Если x1’ , y1’ , z1’ и x2’ , y2’ , x2’ обозначают
координаты взятых точек относительно другой декартовой системы К’ ,
то имеем равенство
r’2 = (x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2=
= (x2 - x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2= r2,
причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преоброзования координат.
Так, если система К’ получается из системы К поворотом на угол Ф,про-
изводимым по правому винту вокруг оси z,то указанные формулы преоб-
разования имеют вид:
x’ = x cos Ф - y sin Ф,
y’ = x cos Ф - y cos Ф,
z’ = z.
В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию между двумя точками. Это - “расстоя-
ние” двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгно-
венных точечных события М1 и М2 с координатами x1, y1, z1, t1 и x2, y2,
z2, t2 отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с
координатами x1’,y1’,z1’,t1’ и x2’,y2’,z2’, t2’ отсчитанными относительно
другой инерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразо-ваний Лоренца, т.е. выбора системы отсчёта К и К’,инвариантна величина
квадрата так называемого четырёхмерного ,или релятивистского интер-
вала:
s’2=(x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2-c2(t2’-t1’)2=
=(x2 -x1 )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2-c2(t2 -t1 )2= s2
В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действи-
тельно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые
мы рассматривали выше:
x - vt t - xv/c2
x’= , y’=y, z’=z, t’=1-v2/c 2 1-v2/c2
Действительно,
1
s’2=(x2’-x1’)2-c2(t2’-t1’)2= *1 - v2/c2
*{(x2-vt2-x1-vt1)2 - c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2} =
1
= {(x2-x1)2 - 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2}-1-v2/c2
1
- {-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2 (x2-x1)2}=1-v2/c2
=(x2-x1)2 - c2(t2-t1)2=s2
Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s2
играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырех-
мерном пространстве.
В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном
трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпа-
дающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат реляти-
вистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадаю-
щих точек, “расстояния” между которымиравно нулю. Например,
рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости
xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем усло-
вие x2-c2t2= 0,
или
(x-ct)(x+ct)=0.
Следовательно,искомым геометрическим местом нескольких точек бу-
дут две прямые, симметрично расположенные относительно оси вре-мени. t
x=-ct x=ct 
x
0В четырехмерном мире, или в прстранстве - времени множество точек,
удаленных от начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью которого является ось времен. Конус называется световым.
Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные
квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Точки, расположенные вне светового конуса,имеют положительные
квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от начала коорди-
нат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид,
окружающий световой конус.
| |  |
t  |  |
x x
 |  |
y z z y  |  |
Рассматриваемое нами преобразование Лоренца- простейшее; оно
затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном
мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый “по-
ворот”, который называется “гиперболическим”, в плоскости xt.
Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t
в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict.
Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих
формул:
1 v/c
x1’ = x1 + i x4 , 
1- v2/c2 1-v2/c2v/c 1
x1’ = i x1 + x4 
1-v2/c2 1-v2/c2
x2’ = x2, x3’=x3
Здесь x1ºx, x2ºy, x3º z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного поворота в влоскости x0 , x1на угол j , которые имеют
вид
