При таком, сравнении получим, что
Очевидно не существует действительного угла
, который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы
Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,
Как видим, значение мнимого угла
, определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой , илиТогда формулы преобразования Лоренца примут вид
Это формулы так называемого гиперболического поворота- Поясним геометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость
, где Тогда имеем формулы преобразования4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки.
Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этимивекторами, в частности длина вектора а равна
и косинус угла между векторами а и b равен ,где - скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z, в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равенВ четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x,y,z,tв некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести "4-радиус-вектор"c компонентами
причем квадрат длины этого вектора равенМгновенной скорость материальной точки
не является лоренц-инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее вчетырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную "4-скорость", которая имеет компоненты
- интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds - релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки и соотношением , т.е.где v - обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что
Аналогичным образом релятивистски инвариантное "4-ускорение " Минковский определил следующим образом:
Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом:
где
- так называемая "масса покоя" материальной точки - компоненты так называемой "4-силы " Минковского.Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всего очевидно, что
так что
т.е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с.
Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциала собственного времени, имеем следующие
уравнения движения:
Три уравнения, в которые входят
легко сопоставить с уравнениями Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса mматериальной точки зависит от скорости по законуа импульс движущейся материальной точки определяется формулой
где v - вектор мгновенной скорости материальной точки.
Четвертое уравнение, в которое входит
, оказывается, выражает уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравнения Минковского на и на - , соответственно и сложим. Получим тогда уравнениеОтсюда можно найти
. Имеемгде
- мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким образом,и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид :
Таким образом, величину
следует считать энергией движущейся материальной точки. Если
, то приближенно получаемВторое слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки
а первое слагаемое - так называемая "энергия покоя". Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину