Лекции по физике (стр. 32 из 42)

Определив, с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость с₁^дв распространения света по лучу для поступательно равномерно прямолинейно движущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом Ферма для определения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с движущейся Землей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма, для истинного пути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной точки А и приходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный интеграл

представляющий собой время распространения света по лучу, должен принять минимальное значение. Здесь ds - длина элемента дуги кривой ALB.

Пренебрегая членами второго порядка малости v²/c²₁ в вышеприведенной формуле для 1/ с₁^дв, получаем следующую простую формулу для времени t для любого мысленно воображаемого пути ALB:

Множитель v мы вынесли из-под знака интеграла, так как скорость движения среды - постоянна. Учтем далее, что показатель преломления Среды определяется формулой

из которой сразу получаем с₁n=c, где с - скорость света в пустоте, - некоторая универсальная константа. Таки м образом, множитель имеет постоянное значение, и его тоже можно вынести из-под знака интеграла. Так приходим к формуле для времени распространения света по лучу ALB

Легко видеть, что второй интеграл не зависитот формы пути ALB, так как он равен длине проекции прямолинейного отрезка АВ на направление эфирного ветра в нашей прозрачной среде. Первый интеграл не зависит от скорости движения среды, так как с₁ - это линейная скорость света в неподвижной среде.

При отыскании минимума времени t для различных путей ALB, соединяющих фиксированные точки А и В, второй интеграл, не зависящий от формы пути ALB, можно поэтому игнорировать. А так как первый интеграл не зависит от скорости движения нашей среды, т.е. оптического прибора, то мы видим, что форма пути истинного луча между точками А и В в движущемся оптическом приборе будет в точности такой же, как и в покоящемся приборе.

Тем самым теорема Лоренца доказана.

4.7. Теория аберрации Стокса.

В 1845 г. Стокс опубликовал знаменитую работу “Об аберрации света”, в которой изложил свою теорию аберрации. В момент написания этой работы Стокс не знал еще работы Френеля 1818 г. по теории аберрации, о чем свидетельствует отсутствие ссылок на работу Френеля в его работе 1845 г. и его статья, появившаяся через несколько месяцев, уже в 1846 г., в которой Стокс подробно излагает по-своему теорию Френеля, называет ее “замечательной” и дает ей интересное дальнейшее развитие. Однако здесь же, в этой статье 1846г. Стокс отмечает, что теперь “мы столкнулись с любопытным случаем существования двух совершенно различных теорий, одинаково хорошо объясняющих явление”. И здесь же говорит о том, что не может проверить “без хорошего доказательства”, что эфир может свободно проходить через твердую массу Земли.

В работе 1845 г. Стокс пишет упоминает только об известном элементарном объяснении аберрации с помощью корпускулярной теории света, говорили о больших успехах волновой теории света, которая “просто и красиво объяснила многие сложные явления”, об отсутствии объяснения аберрации в рамках волновой теории.

Приступим к изложению содержания работы Стокса 1845 г. Однако несколько формализуем рассуждения Стокса, для лучшего понимания их сути.

Стокс предполагает, что Земля, двигаясь с постоянной скоростью в межпланетном пространстве переносит какую-то часть эфира с собой, вследствие того, что эфир вблизи её поверхности покоится относительно её поверхности, как бы “прилипает” к ней, причём скорость эфира нарастает при удалении от поверхности Земли, пока на не очень большом расстоянии, она не станет равной скорости эфира, покоящегося в межпланетном пространстве, относительно Земли. Таким образом, можно предположить, что в системе отсчёта, жёстко связанной с Землёй, эфир натекает на Землю стационарным сплошным потоком, обтекая её со всех сторон, с некоторым полем скоростей

, не зависящим от времени t.

Предположим, что положение фронта световой волны, распространяющейся в стационарно движущемся эфире, в момент времени t, даётся уравнением вида

составим дифференциальное уравнение, которое позволило бы определить последовательные положения фронта световой волны в различные моменты времени, т.е. определить эволюцию волнового фронта. Для этого надо найти функцию ¦.

Возмущение эфира, каковым является световая волна, в случае покоящегося эфира перемещается за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z в точку с координатами

где с — скорость света в покоящемся эфире и где считаем, что возмущение распространяется по нормали к поверхности ¦=0, взятой в точке x,y,z. Возмущение в движущемся эфире, с заданным полем скоростей, по определению Стокса, за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z перемещается в точку с координатами т.е. Стокс считает, что распространяющееся в эфире возмущение просто сносится движением эфира. Таким образом, положение фронта в движущемся эфире в момент времени t+dt даётся уравнением . Разлагая последнее уравнение по малости dt, получаем искомое уравнение, описывающее эволюцию волнового фронта оптической волны, распространяющейся в движущемся эфире: или ;

Хотя этого рассуждения Стокс и не приводит, но оно неявно содержится в его рассуждениях. Знак ± соответствует неопределённости направления нормали, задаваемой вектором с компонентами

Будем теперь считать, что скорость эфира, т.е. величины u, u, w малы по сравнению со скоростью света с и построим частное приближённое решение дифференциального уравнения, которое Стокс фактически и рассматривает в своей работе 1845 г. по теории аберрации.

Нулевое приближение. Положим u = u = w = 0 в приведённом уравнении для ¦, т.е. рассмотрим покоящийся эфир. Тогда легко убедиться, что уравнение нулевого приближения имеет следующее частное решение:

, это решение описывает оптическую плоскую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси z. Действительно, уравнение нулевого приближения имеет вид здесь мы взяли знак минус перед корнем, причём для приведенной нулевой функции справедливы соотношения: перед корнем мы берём знак “-”.

Первое приближение. Считая теперь скорости u, u, w малыми величинами, первого порядка малости, найдём приближённое решение приведённого полного уравнения, со знаком “-” перед корнем, переходящее при пренебрежении величинами u, u, w в решение ¦₀ , в виде функции

где является малой величиной первого порядка малости по u, u, w . Следуя Стоксу, считаем, что поправочная функция z зависит только от координат x, y и не зависит от координаты z. Это предположение, разумеется, несколько ограничивает произвол отыскиваемого решения. Но если нам удастся его построить, то всё в порядке. Из полного уравнения, которому удовлетворяет функция ¦, со знаком “-” перед корнем, имеем следующее приближённое уравнение для определение функции z : из которого непосредственно получаем приближённое уравнение для определения функции z. Интегрируя полученное уравнение по t, приходим к соотношению

Таким образом, окончательно приходим к следующему приближённому уравнению для определения положения фронта рассматриваемой волны в момент времени t:

Составим выражения для компонент ненормированной нормали к этой поверхности волнового фронта в точке x,y,z = - ct в момент времени t. Имеем