Лекции по физике (стр. 36 из 42)
Пусть x, y, z, t - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x', y', z', t' - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К'.
Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x', считая что всегда y' = yи z' = z. Тогда в системах отсчета К и К' координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, tи x', t' соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время - x, t.
Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К'), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида
x' = j(x, t), t' = y(x, t).
Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К'.
Наша конечная цель - найти вид функцийjи yв приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем.
Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x1оси x в момент t1 мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t2этот импульс оказался в точке x2оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t3 этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x3 = x1.
Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K'. Мы увидим, что в точке x1'в момент времени t' был испущен в положительном направлении оси x' короткий световой импульс, который в момент времени t2' достиг точки x2', отразился в ней и в момент времени t3' оказался в точке x3', причем теперьx3'¹x1'.
Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета KиK' имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K:
x3 = x1и в системе отсчета K':
Точка x1 = x3 на оси xсистемы отсчета K движется со скоростью u в отрицательном направлении оси x', если ее наблюдать в системе отсчета K'.
Мы сформулировали шестьосновныхсоотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций jи y.
Нахождение функции j. Составим функциональное уравнение для определения функции j. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:
Вычитая первое соотношение из третьего, получаем
Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству
Следовательно,
или
Таким образом, видим, что функция j удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
В этом уравнении величины x1, t1, x2, t2, x3, t3, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины:x1, x2и t1. Величины x3, t2и t3 можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем
следовательно,
Далее, из второго соотношения имеем
а следовательно,
мы воспользовались выражением для t2 и условием x3 = x1.
Таким образом, получаем следующее окончательноефункциональноеуравнение для определения функции j:
которое должно выполняться для произвольных значений x1, x2и t1.
Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x2. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированнымфункциональнымуравнением
на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от
). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь 
и 
. Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению: 
Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным
и 
и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид 
Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид
где F — пока произвольная функция.
Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для
в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение: 
После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что
или
Так как при произвольных
аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что 
а следовательно,
F
где
— некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.Итак, мы показали, что исходная функция
имеет следующий вид: где
— некоторые пока не определенные постоянные.Нахождение функции 
. Найдем теперь аналогичным образом функцию
. Три основных соотношения для системы отсчета 
представим в виде: