Лекции по физике (стр. 37 из 42)
Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение
т.е. уравнение
Видим, что функция 
удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
в котором величины
не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины 
и 
. Величины 
и 
выразим через указанные величины: 
Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции:
которое выполняется при произвольных значениях
и 
.Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по
: 
производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от
. Положим теперь в выведенном уравнении,и тогда придем к дифференциальному уравнению
или уравнение
Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным
и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид
Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:
в котором
— пока произвольная функция.Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции
в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение 
или соотношение
Так как аргументы у функций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях
и 
совершенно произвольны, то получаем, что 
а следовательно,
где
— пока неопределенные постоянные.Определение констант
. Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного события в инерциальных системах отсчета и имеют вид 
Для нахождения констант
привлечем дополнительное требование.Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и
согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),и наоборот.Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что
и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид: 
Теперь неопределенными остались только константы
и 
.Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант
и . Имеем: 
Таким образом, приходим к заключению, что константы
и равны друг другу: = и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:
где
— пока что неопределенная постоянная.Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно
и 
. Имеем уравнения 
Следовательно,
и поэтому
Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:
которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и
друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси 
с некоторой положительной скоростью 
(положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь 
— некоторое пока неизвестное нам число.Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:
из которых непосредственно заключаем, что
