Смекни!
smekni.com

Лекции по физике (стр. 5 из 13)

Вычислим производную по времени от циркуляции скорости с учё­том подвижности контура. Временное дифференцирование по координа­там обозначим знаком ..., знак ... - дифференцирование по времени. Будем учитывать, что меняются скорость и сам контур.

...

По определению скорость ... это производная радиус-вектора ...

...

Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала ра­вен нулю и остаётся

...

Из уравнений Эйлера имеем

...

Применим формулу Стокса, получаем тогда (поскольку ........)

...

Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим око­нчательно:

... или ...

Мы приходим к результату, что в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остаётся неизменной со временем.

Это утверждение называется теоремой Томсона или законом со­хранения циркуляции скорости. Соотношение получено путём использо­вания уравнений Эйлера с использованием предположения об изэнтро­пичности движения жидкости.

Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому кон­туру ... и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:

...

где ... - элемент поверхности, опирающейся на контур ... Вектор ....... часто называется завихренностью течения жидкости в данной её точке. Постоянство произведения ...................... ... можно использовать, сказав, что завихренность переносит­ся вместе с движущейся жидкостью.

2. Потенциальное движение

Движение жидкости, при котором во всём пространстве

...

называется потенциальным (или безвихревым) в противополож­ность вихревому движению, при котором ротор скорости отличен от нуля.

Таким образом, мы пришли бы к выводу, что стационарное обте­кание взятого тела натекающим из бесконечности однородным потоком

должно быть потенциальным. Поскольку на бесконечности натекающий

поток однороден, его скорость ... , так что ... = 0 на всех

линиях тока.

Однако, ввиду наличия стенки нельзя провести в жидкости за­мкнутый контур, который охватывал бы такую линию тока.

...

...

В результате возникает картина течения, характеризующаяся наличием отходящей от тела "поверхности тангенциального разрыва", на которой скорость жидкости терпит разрыв непрерывности.

Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде гра­диента от некоторого скаляра, называемого потенциалом скорости ...

...

Напишем уравнения Эйлера в виде

...

и подставив в него ........, получаем

...

Откуда находим следующе равенство

...

где ... произвольная функция времени. Это равенство представ­ляет собой первый интеграл уравнений потенциального движения.

При стационарном движении имеем ... = 0, ......... и интеграл переходит в уравнение Бернулли

...

Отметим существенные отличия между уравнениями Бернулли в случае потенциального и непотенциального движения. ..... в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждой линии тока, но вообще говоря, различная для разных линий тока.

При потенциальном же движении ... в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всём объёме жидкости.

3. Несжимаемые жидкости

Для плоских течений жидкостей их плотность можно считать по­стоянной вдоль всего объёма жидкости в течение всего времени движе­ния. Такое движение называется движением несжимаемой жидкости.

Общие уравнения гидродинамики для несжимаемой жидкости упро­щаются. Уравнение неразрывности при ......... принимает простой вид

...

уравнения Эйлера не меняют своего вида, запишем их в виде

...

Для несжимаемой жидкости тепловая функция записывается следу­ющим образом

...

Тогда уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости имеет вид

...

Особенно упрощается уравнение для потенциального течения не­сжимаемой жидкости.

При подстановке ........ в уравнение неразрывности ..... = 0, получим

...

то есть уравнение Лапласа для потенциала ... .

Граничные условия. К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхности соприкосновения жидкости с твёр­дыми телами:

- на неподвижных твёрдых поверхностях нормальная к поверхнос­ти компонента ... скорости жидкости должна быть равна нулю, для движущихся тел ... должна быть равна проекции скорости движения те­ла на направление той же нормали.

С другой стороны, скорость ... равна производной от потенциала ... по направлению нормали

...

Таким образом, граничные условия гласят в общем случае, что .... является на границах заданной функцией координат и времени.

При потенциальном движении скорость связана с давлением для несжимаемой жидкости соотношением

...

Если движение жидкости является потенциальным и вызвано дви­жением некоторого тела то уравнение Лапласа не содержит явно вре­мени, время входит в решение через граничные условия.

Из уравнения Бернулли ..................... видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкости вне поля тяжести на­ибольшее значение давления достигается в точках, где скорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обте­каемого жидкостью тела (точка О) и называется критической точкой. Если ... - скорость набегающего на тело потока жидкости (скорость на бесконечности), а ... - давление в критической точке равно

...

Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух координат, то о таком течении говорят как о двумер­ном или плоском. Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда удобнее использовать функцию тока. Из уравнения не­разрывности

...

видно, что компоненты скорости могут быть записаны в виде про­изводных

...

от некоторой функции ... , называемой функцией тока. Урав­нение неразрывности при этом удовлетворяется автоматически.

...

Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму ли­ний тока для стационарного движения жидкости. Дифференциальное уравнение линий тока

...

или

...

оно выражает условие параллельности касательной к линии тока и направления вектора скорости.

Подставляя сюда выражение для скоростей через функцию тока

...

откуда ........ Таким образом, линии тока представ-

ляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции

тока ... постоянной.

Если между точками 1 и 2 в плоскости .... провести кривую,

то поток жидкости ... через эту кривую определится разностью зна­чений функции тока в этих точках независимо от формы кривой.

Действительно, если ... - проекция скорости на нормаль к кри­вой в данной точке, то

...

или

...

Мощные методы решения задач о простом потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексной переменной.


Тема 6

ГИДРОСТАТИКА

1. Силы, действующие на жидкость. Давление.

Единицы измерения давления.

2. Закон Паскаля.

3. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости.

4. Виды давления ( барометрическое, абсолютное, избыточное, манометрическое ).

5. Приборы для измерения давления.

6. Сила давления жидкости на плоскую стенку.

7. Простейшие гидравлические машины.

8. Закон Архимеда.

9. Равновесие и остойчивость тел, полностью погруженных в жидкость.

1. Силы, действующие на жидкость. Давление.

Единицы измерения давления

Рассечем жидкость, находящуюся в объеме ... (например, сосуде) некоторой поверхностью на две части I и II.

Рассмотрим жидкость в объеме I. Все, что окружает этот объем, отбросим (дно, боковые стенки и т.д.) и действие отброшенного заменим соответствующими силами. Эти силы называются поверхностными.

Кроме них на жидкость действуют еще массовые силы (силы тяжести и инерции), которые пропорциональны массе тела.

Выделим из жидкости некоторый объем. Возьмем на поверхности этого объема бесконечно малую площадку ... . Hа эту площадку действует поверхностная сила ... . Разложим эту силу на нормальную ... и касательную ...

Hормальная сила, приходящаяся на единицу площади, называется давлением и обозначается буквой ... , т.е.

...

Измеряется давление в ....

Сила трения (касательная сила), приходящаяся на единицу площади, обозначается буквой ..., т.е.

...

Сила трения обычно пропорциональна градиенту скорости ... . Для жидкости, находящейся в равновесии (в покое), сила трения равна нулю, так как в этом случае ... .

2. Закон Паскаля

Если в жидкости взять любую точку, то на основании основного уравнения гидростатики

...

давление в этой точке равно давлению, приложенному к

свободной поверхности, плюс ..., где ... - глубина точки.

Таким образом

Закон Паскаля

Давление, приложенное к свободной поверхности, передается во все точки жидкости без изменения.

3. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости

Запишем уравнение Эйлера

...

Если жидкость покоится

...

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости в проекции на оси декартовой системы координат могут быть записаны так

...

Здесь ... - проекции на оси ... сил, действующих на единицу массы рассматриваемой жидкости.

Умножая давления соответственно на ... и складывая их, получаем

...

Левая часть уравнения представляет полный дифференциал

...

следовательно, и правая часть должна быть также полным дифференциалом, для этого необходимо и достаточно, при постоянном ..., чтобы существовала функция ... такая что

...

Имеем

...

Проинтегрировав, получим

...

где С - постоянная интегрирования.

Если в какой-либо точке известно давление ... и постоянная функция ..., то ...

из интеграла имеем

...

В частности, когда жидкость находится в поле сил тяжести

...

Следовательно,

...

Уравнение для давления принимает вид

...

Свободная поверхность жидкости плоская ... . При равновесии жидкости в поле земного тяготения поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.