Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр) (стр. 16 из 27)

В координатном представлении оператор

изобразится так:

Тогда уравнение

на собственные значения перепишется в координатном представлении таким образом: . Сейчас мы его перепишем так: . Это уже знакомое уравнение, это уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это означает то, что мы с вами делали, мы решали задачу на собственные значения оператора энергии.

Для свободной частицы должно оказаться, что спектр собственных значений непрерывен, проверим. Для свободной частицы никакой потенциальной энергии нет:

. Тогда задача на собственные векторы приводит к такому уравнению: (я не пишу индексы, потому что на самом деле они и не появятся) или , обозначим , тогда легко убедиться, что функция является решением этого уравнения.1)

Собственные значения нумеруются вектором

, мы можем написать так: , или в координатном представлении . Мораль такая: задайте любой вектор , этому вектору будет отвечать функция с таким собственным значением: . И, действительно, мы видим, что спектр собственных значений непрерывен, потому что вектор любой.

5. Оператор импульса

Физическая проблема такая: энергия квантуется, координата, как мы видели, не квантуется, спрашивается, квантуется ли импульс (то есть в результате измерений может получаться любое число или какие-то дискретные величины)?1)

В координатном представлении оператор импульса есть:

. Уравнение на собственные векторы выглядит так: , в координатном представлении вектор задаётся некоторой функцией и должен изобразиться так: , а уравнение на собственные векторы в координатном представлении сводится к такому , и в компонентах: или . Поскольку это функция от x только, то можно писать прямую производную:

Решение находится сразу:

. Общий результат такой:

Это собственная функция оператора импульса, отвечающая собственному значению

. Можно рассматривать это как наводящие соображения. Вернёмся к уравнению .

Утверждение. Функция

является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставляя эту функцию в уравнение, мы получаем:

Функция

является собственной функцией оператора импульса, соответствующей собственному значению .

Отсюда видно, что собственным значением оператора импульса может быть любой вектор.

Если операторы двух переменных коммутируют, то эти переменные могут быть заданы и измерены одновременно, а операторы имеют одинаковые собственные векторы, ну и поэтому собственные значения могут быть заданы одновременно. То, что нельзя одновременно задавать координату и импульс, мы обсуждали, можно ли одновременно задать координату и энергию? Ответ зависит от того, коммутируют или нет операторы координаты и энергии. Ответ такой: оператор энергии

, очевидно, что операторы и не коммутируют, потому что оператор со вторым слагаемым прокоммутирует, а с первым нет (это следует из коммутационного соотношения). Это означает, что координату и энергию задать вместе нельзя никогда, то есть не может быть утверждений, что частица находится в некоторой точке пространства и имеет такую-то полную энергию (они не коммутируют). Другой вопрос: импульс и энергию задать можно или нет? Вроде бы ответ напрашивается, что в коммутационное соотношение координата и импульс входят симметрично, но оператор энергии координата и импульс входят несимметрично, . Например, для свободной частицы, когда , оператор импульса с оператором энергии прокоммутирует. И, стало быть, импульс и энергия свободной частицы могут быть измерены одновременно. И действительно, это мы уже видели, а функция является одновременно собственной функцией оператора импульса и энергии, собственные значения связаны так: , . Но если частица не свободна, то оператор импульса не коммутирует с оператором энергии.

11

Мы нашли, что

, и мы нашли вид этого вектора в координатном представлении: .1) Векторы могут быть выбраны сами в качестве базиса, в котором можно выражать все другие векторы, это называется импульсное представление.

Чтобы покончить совсем с оператором импульса и собственными значениями оператора импульса, окончательно оформим это так: оператор

действуя на вектор даст: , при этом собственные значения оператора будут равняться , а вектор изобразится так: .

6. Момент импульса (собственные векторы, собственные значения)

Мы разобрались с оператором координаты, с оператором импульса, с оператором энергии, есть ещё одна переменная – момент импульса. Вот разберёмся с моментом импульса.

Надеюсь, кто-нибудь из вас помнит ещё что это такое, а если не помнит, то я напишу:

. Если частица в плоскости движется по окружности, то момент импульса это вектор перпендикулярный плоскости орбиты частицы. Оператор момента импульса это будет произведение оператора координаты и оператора импульса: . Ещё можно ввести оператор . Мы имеем три проекции момента на координатные оси и оператор , который даёт полную величину момента. Непосредственным вычислением можно убедиться, что операторы между собой не коммутируют, например , это математический факт, физически этому соответствует важное обстоятельство – проекции момента на координатные оси не могут быть заданы одновременно. Но легко убедиться, что коммутирует с , а поскольку xничем не лучше y, z, то это будет означать, что коммутирует , коммутирует , коммутирует с , сами компоненты между собой не коммутируют, но каждая компонента коммутирует с абсолютным значением момента импульса. Это означает, что можно задать величину момента и проекцию его на одну из координатных осей, но только на одну. Обычно в качестве такой проекции выбирают ось z.